(15)直线与圆-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习单元检测卷/数学 8,某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面《单位：m)如图所示，因边形 AFED为矩彩，AB,CD.FE均与圆O相切，B,C为切点，零件的截面BC段为团O (十五)直线与圆 的一段兹，已知nnm一 3am2- ,期该零件的载面的周长（单位：cm)为 (考试时间120分伸，满分150分) 一、选择题《本圈共8小题，每小圈5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已卸过A(3m,2》,BH一3脚：m一1)两点的直线的顿斜角是60，用点A到原点)的 距高为 A.81十6x 队80十5e C.75十5g D.82十6 A.4 k5琴 C2盟 二，选择盟（本题共3小题，每小题6分，共18分。，在每小题给出的选项中，有多项符合 7 D.10 盟目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 2,若方程x十y+4z一2y+5m一0表示图，则a的取值范是 9,已知直线1：4r十2y十3a=0和直规：3r+4g一1)y+7一a=0.则下列说法正绳 A.(1,+0》 (-o0,1) C.[1.十oo) 入f-oo+L] 的是 3,陀螺是中国民间较早的提乐工具之一，它可以近似地视为 由一个圆准和一个新柱组合而成的几问体，知图1是一种 A当a-号时，dL 木蛇螺，其直混得如图2所示，A,B分别为国柱上，下底面 .当a-一2时.l∥ 属的圆名，P为圆锥的顶点，若图维的样面图周长为2,2x C,直线4过定点〔-3.0，直线1过定点（一2,1） 高为2，圆柱的母线长为2，则该儿何体的体积是 A普 B4✉ n当么山平行时，两直线的离为 0,已知直线：m￥+y一1一2m=0与网0小：十y一炉(0》总有同个不同的公共点 C2+2@ A.B,则 3 D.(4十22]x 4.已知周C2十y=16与图C:x十y+士十y+m一16=0交于A,B两点，当为度 A.直线1过定点2,1) 我.当4时，线段AB长的最小值为2可 化时，A时的最小值为4，则m一 C.半径r的取值范用是(0，3 D,当一4时，)A·B有最小值为一18 A.0 战土1 C.士2 D.±3 11.如图，在边长为43的等边元角形ABC中，国D与△ABC ,在△ABC中，角A.B.C的对边分别为4，，若acsB-号且C+C丽- 的三条边相切，图D与圆D,相切且与ADAC相切，…，图 D,与置D.相切且与AH,AC相切，设新D.的半径为「.： CA-C,则∠A 圆D,的外切正三角形的边长为a,(∈N·),期下列说法正 A晋 我 c 确的是 A4.=2、3 6.如图，已知两点A(4,0),B0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线 AB反财后财到直线B上，再经直线OB反射后射到P点，则光 B毁列(，是首项为2，公比为的等比数列，且八= 3 线所经过的路程PM十MN+1NP等干 A.38 B.2 10 仁当时D的半径小于时n的最小值为 C.5 D.25+o D,数列{，的能m项和小于3 7,过间C:(x十1+y=1上的两点A,B分别作圆C的切线，若两切线的交点M恰好 靡级 性名 分整 在直线x十y一2一0上，则AB·C的最小值为 10 11 B.3 C.32 D.T可 数举第1页（共页1 衡水全卷·先享赠·高三一轮复习单元检测卷十五 数学第2页（共页） HN 三，填空题（本图共3小周，每小题5分，共5分） 17.(本小题斜分15分) 12.已知圆C:+yY2一2a一2y+1-0关于直线x一3y一1=0对称，圆C与x轴相交于 如图，在梯形AD中，∠ABC-∠BAD-90”,AD一2BC-2AB一2，E为AD的 A,B两点，期AB一 中点，将△ABE沿E折起至△PBE的位置，PC一1， 已卸P(层圆子+y-2红一2y+1=0上任意一点，则号的取值他 (1)1证明：PC⊥PD: 用 (2)点Q在线段PD上，若DQ=DP,求平面PC与平面QBC夹角的余：值. 14.古希肝著名数学家阿被罗尼斯发现：平面内到两个定点死离之比为定值A(>D且 A≠1)的点的姨连是屏，此圆被称为“可被罗尼斯圆”，在平面直角坐标系Oy中，已 知点A(0.3),图C:x一a)+(y一2：+4=1若图C上存在点M.使1A=2: 则实数a的取值范围是 四，解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步露） 15,(本小题满分13分) 已知圆C:2+2r+y-4y-4-0, ()求题C的标雀方程，并写出圆C的题心学标和半径： (2)若直线x十y一网一0与圆C交于A,B两点，且4B一25，求两的值. 18.(本小愿清分17分) 已知闭Cx2十y+2r一1y十1-0，周Cx2十y2一山x-5-0. (1)试判质圆：与两C是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程：若不相 交，请说明理由。 (2)若直线y=x十1与屏C交于A,B两点.且0A⊥OB(O为毫标原点)：求实数无 的值 16.(本小圈满分15分) 如图所示，在第十四届VEX亚洲机器人锦标赛中国选拔赛中，主办方设计了一个题 形坐标场地ACD(包含边界和内部，A为坐标原点)，AD长为10米，在AB边上 离A点4米的F处放置一只电子冀，在距离A点2米的E处做置一个机器人，机器 人行走速度为，电子物行走速度为2，若电子狗和机器人在场魏内沿直线方向同 19,(本小题满分17分》 时到达场地内某点M,那么电子狗将被机器人辅获，点M叫成功点。 已知线段AB的物点B的坐标是〔6，，到点A的运动轨连是曲线C,线段AB的中 (1)求在这个矩形场地内成功点的轨迹方程： 点M的轨连方程是(x一4)2十(y一2=1. (2)P为矩形场地AD边上的一点，若电子判在浅段下P上都能志脱，问：P点应在 (1)求曲线C的方程， 问处： (2)已知斜米为k的直线1与曲线C相交于E,F两点（异于原点，直线OE,(F 的斜率分别为：：，且，一5， ①证明：在线1过定点P,并求出点P的坐标： ②若BD⊥EF,D为垂足，证明：存在定点Q,使得引DQ为定值. 数学第3夏{共4页) 衡水金整·先享题·离三一轮复习单元检测蜂十五 数学第页〔共4页 网高三一轮复习HN ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十五） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ⑤ ⑧ 档次系数 由直线的倾斜角求参， 1 选择题 5 0.80 求两点间距离 易 2 选择题 5 二元方程与圆的关系 易 0.78 3 选择题 5 圆柱与圆维的体积 L 0.72 4 选择题 5 圆与圆的位置关系 0.65 5 选择题 5 正弦定理的应用 中 0.55 6 选择题 光的反射，点关于直线 5 公 0.50 对称的问题 选择题 5 直线与圆相切的应用 L 0.45 直线与圆位置关系的 8 选择题 实际应用 名 0.40 选择题 两直线位置关系的 9 6 中 0.60 应用 10 选择题 6 直线与圆的位置关系 中 0.40 11 选择题 两圆位置关系与数列 6 的综合 小 难」 0.25 12 填空题 圆关于直线对称，求相 交弦长 的 0.71 13 填空题 利用点在圆上求代数 0.45 式的取值范围 填空题 与圆有关的数学文 14 5 0.28 化题 ·87· ·数学· 参考答案及解析 圆的一般方程与标准 15 解答题 13 方程的互化，圆的弦长 公 0.60 公式的应用 16 解答题 点的轨迹问题，直线与 15 圆的实际应用 公 0.50 17 线线垂直的判定，求二 解答题 15 面角余弦值 名 0.45 求两圆公共弦的方程， 18 解答题 17 利用韦达定理解决直 √ 线与圆的位置关系 中0.32 问题 与圆有关的轨迹问题， 19 解容题 17 证明直线过定点，解决 难 0.25 定值问题 香者管桌及解析 一、选择题 为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以 1.C 【解析】由题知一 =mn60°=√3，解 2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B.sin Acos B- cos Asin B=0,所以sin(A-B)=0,因为A,B∈ 得a-号，放A(2)则1401-√需+1 (0,x).所以A=B,故∠A=不故选C 严放选心 6.B【解析】易知直线AB的方程为y=一x+4,设点 P(2.0)关于直线AB的对称点P(a,b,则2= 2.B【解析】因为方程x2+y2+4x一2y十5m=0表示 圆，所以42十（一2）2一4×5m>0,解得m<1.故 且台-空+4，解得a=4,b=2.即R（4,2,又 2 选B 点P(2,0)关于y轴的对称点P,(一2,0)，由光的反 3.A【解析】设圆锥的底而半径为广，因为圆锥的底面 射规律可知，M,N,P共线，M,N,P共线，从而M, 圆周长为2√2π所以2πr=22π，解得r=V2,又圆 V,P,P:共线，所以光线所经过的路程长为 锥的高为2，圆柱的母线长为2，所以该儿何体的体积 PM+MN+NP=PM+MNI+ 是V=Vm+t=弓x(2)产×2+x(2)X2= |NP|=|PP|=√(4+2)+2=2√/10.故 选B. 9,故选入 4.C【解析】由题意得直线AB:y=一kx一m,圆C的 圆心到直线AB的距离d=m,因为1AB1= √R+I 216-正≥4V3,解得d≤2，当k=0时，d取得最大 P.O 值m,所以m=2,故m=士2.故选C 5.C【解析】由|CA+C=1CA-C1可得Ci. 7.D【解析】因为圆C的方程为(x十1)2十y2=1,所 以圆心C(-1,0),半径为r=1, Ci=0,故Ci1C京，∠C=受.因为acos B=令，所以 2 acos B=c,由正弦定理得2 sin Acos B=sinC,又因 ·88· 高三一轮复习HN ·数学· 2,故A正确：对于B,当a=一2时，直线l1为x一y 十3=0，直线1为x一y十3=0，此时两直线重合，故 B错误：对于C,由直线：a.x十2y十3a=0.整理得 (x十3)十2y=0,故直线1过定点（一3,0），由直线 l2:3x+(a-1)y+7-a=0,整理得a(y-1)+3x y十7=0，故直线l过定点(-2,1)，故C正确：对于 D,当41，l平行时，有a(a-1)=6,即a2一a一6=0， 解得a=3或a=一2，当a=一2时，两直线重合， 因为MA,MB是圆C的两条切线，所以MA⊥AC, 去：当a=3时，直线l4为3x+2y+9=0,直线4为 MB⊥BC,由圆的知识可知，A,M,B,C四点共圆，且 AB⊥MC,MA|=|MB|,所以|AB|·MC|= 3x+2y十4=0，此时两直线的距离d=9-4L √3+2 4SAww=4X号XIMA×1ACI=2IMA1,又 5v13 13 ,故D正确，故选ACD, |MA|=√TMC-I,所以当|MC|最小，即MCI I时，|AB·|MC取得最小值，此时|MC1= 10.ABD【解析】由直线1：mx十y一1一2m=0,可化为 -1+0-2=3yE,所以(1AB|·MC|) mx-2)+(y-1)=0,由方程组/-2-0 y1-0解得 ② 2 x=2,y=1,即直线l过定点M(2,1),所以A正确： 2MA=2√号)-1=.故选D 当r=4时，圆O的方程为x”十y=16,可得圆心 O(0,0),则|OM=√5，可得线段AB长的最小值为 8.A【解析】以A为原点，AD为x轴，AF为y轴建立 2√P一OM下=2√T,所以B正确：因为直线1 平面直角坐标系如图所示： 与圆O总有两个公共点，可得点M(2,1)在圆O内 部，所以2+1<，解得r>√5，所以C不正确：当 r=4时，圆0的方程为x2+y2=16,则OA·OB 1A1OB|cos∠AOB=16cos∠AOB,当直线1过 圆心O(0,0),此时∠AOB=x,可得cos∠AOB的最 小值为-1.所以Oi·O店有最小值为一16，所以D 正确.故选ABD. 则A(0,0),D(35,0),义tana=3tan月- ，所以 11.ABD【解析】如图，圆D,的外切正三角形的面积 直线AB的方程为y=一号，即钉十3y=0,直线 为停。-·3a整理可得a,-2原故A正 确：设圆D.(n∈N')切AC于点M.,易知 3 CD的方程为y=号(x-35),即3r-4y-105=0, △AD.M.K△AM则部- 直线EF的方程为y=12,设圆心为O(a,b),则圆心 D.M, 到直线AB,直线CD、直线y=12的距离均相等且等 TDM,且∠D.AM.=30°，1AD.|=2 于，则r=L4a+361=3a-46-1051=12-b1, |AD+1|=|AD.|-|DD.+1|=2r.-(r.+r+1) 5 5 AD. DM. 解得a=15,b=0,r=12,所以0(15,0)，|OB= =r一，由TAD什=TD.M可得 |OC=12.由题可知k·km=一1，即AB⊥CD, 2r 又OB1AB,OC⊥CD,所以可得1AB=号=9， 左，整理可得1=子.由a=28n 1CD1=435①=16，BC对应孤长为圆的周长， =43,得n=2,所以数列{r,)是首项为2，公比为 5 号的等比数列，放八=2×（兮）川 品B正 故该零件的截面的周长为9+16+24+35+2 2 4 1 确：由=3一<27，得31>2×27，即3”>162.因 84+6r(cm).故选A. 二、选择题 为3<162<3，故正整数n的最小值为5，故C错 ,ACD【解桥】对于A,当a=号时，直线4为x十5y +3=0,直线为5x-y+11=0,此时两直线的斜率 讽：数列)的的n项和为王=3一品<3，故 13 分别为，=一吉和e=5,则e·:=-1.所以41 D正确.故选ABD. ·89 ·数学· 参考答案及解析 16.解：(1)分别以AD,AB为x轴，y轴，建立平面直角 坐标系， M -.M D M A D x 则E(0,2),F(0,4), 4D3 三、填空题 设成功点M(r,y),可得ME-MFL 12.25【解析】圆C:x2+y-2a.r-2y+1=0,即 即V+(y-2) +(y-4) (x-a)2+(y-1)2=a2,圆心C(a,1),半径r=a, 2 (4分) 因为圆C关于直线x一y一1=0对称，所以a一1 1=0,解得a=2,所以圆C:(x-2)2十(y-1)2 化简得r+(音)厂-9 9 4,圆心C(2.1),半径r=2.则圆心C(2,1)到x轴 因为点M需在矩形场地内，所以0≤≤专 的距离d=1,所以|AB|=2√-d=25. 13. -4-7-4+7 故所求轨迹方程为+（一号）广=9(0≤x≤ 3， 3 【解析】设k=出十！ 一3·变形 可得玉一3)一头一1=0，则兰+号的几何意义为 ) (8分) (2)当线段FP与(1)中所求圆M相切时， 直线1：k(x-3)一y一1=0的斜率，又P(x)是 圆Cx2+y-2x-2十1=0上任意一点，则圆心C(1 3 1D到直线1的距离4≤1，即k1一3)-二1-1山≤1， sin∠AFP= (12分) 4- √k+I 解得。<<兮豆，即头号的取位范国 3 3 所以∠AFP=30°，所以1AP1=4ian30°-43 3 所以，若电子狗在线段FP上都能逃脱，则P点的横 (15分) 14[0,号]【解折】由C:一a)+(y一2a+4)= 坐标取值范围是(5,10] 17.解：(1)连接CE,由已知可得BC=1,PC=1,PB= 1可知圆心C(a,2a一4)，设M(x,y),因为|MA| AB=√2 21MO,所以√π+(y-3)下=2√T+y,化简得 在△PBC中，PC+BC=PB, x+(y+1)=4,所以点M在以D(0,-1)为圆 所以PC⊥BC. 心，2为半径的圆上，则圆C与圆D有公共点，满足 又AD∥BC,所以PC⊥AD. (3分) 2-1≤1CD≤2+1，即1≤√a+(2a-3)7≤3.即 在△PEC中，PE=AE=1,EC=AB=√2， 15a°-12a+8> 所以PC+PE=EC,所以PC⊥PE, 15a-12a≤0 0,解得0<a<号 又PE∩AD=E,PEC平面PDE,ADC平面PDE, 四、解答题 所以PC⊥平面PDE, 15.解：(1)由x2+2x+y2-4y-4=0, 因为PDC平面PDE,所以PC⊥PD. (5分) 得z2+2.x+1+y2-4y+4=9, (2)取EC的中点O,连接OP 则圆C的标准方程为(.x+1)+(y一2)=9，(4分) 由(I)知PC⊥BC,EC⊥BC, 圆C的圆心坐标C(一1,2)，半径为3. (6分) 又PCOEC=C,PCC平面PEC,ECC平面PEC, (2)由|AB=25,得圆心C到直线x十y-m=0 所以BC⊥平面PEC 的矩离为√-（丁 又OPC平面PEC,所以BC⊥OP. =2, (9分) 因为PC=PE,O为EC中点， 则圆心C(一1,2)到直线x十y一m=0的距离d= 所以OP⊥EC, 1-1+2-m=2, 又BC∩EC=C,BCC平面ABCE,ECC平面 (11分) √+平 ABCE. 故OP⊥平面ABCE. 解得m=1士22. (13分) 以过点O作平行于BC的直线为x轴，(OC,OP所在 直线分别为y轴，：轴，建立如图所示的空间直角坐 ·90 高三一轮复习HN ·数学· 标系 所以0十=-22 2 一+=一1十E 所以y=(kx1十1)(kr十1)=kx1x:+k(x十 )+1=2-2k+1 k2十1 (13分) 由OA⊥OB可得x1x2+1=0, 所以一2k-1=0.即-2k-1=0. +1 解得k=1一√2或k=1十√2. (17分) 19.解：(1)设A(x,y),M(rm,), 则c(o,号0小B(-1号.0.D(1,-号0) -T十6 由中点坐标公式得 2· P(00,) 6+4 2 故成-1,0.0.元-(o.号，-号）， 因为点M的轨迹方程是(x一4)2十(y2)产=1， (8分) 设平面PBC的法向量为m=(·y,)· 所以（安-4）'+（生-2）=1 :海 整理得(x一2)2+y2=4, 即曲线C的方程为(x一2)2+y2=4. (4分) 1y一1=0， (2)①设直线1的方程为y=x十m,E(y), 取y=1.则m=(0.1,1). F(y),x1≠0， 由DQDn.可得Q(,-82号)， 联立- 所以à-（停，-号》 (11分) 得(1+k2)x2+2(km-2)x十m2=0, (6分) 所以△=4(km-2)2一4m2(1十k)=-4(4km十 设平面QBC的法向量为n=(,,) m2一4)>0，即4km十m2-4<0, 曲/…武-0. 加 ln·C0=0, 所以+=-2(km-2) 1十k2 1y=1+ x=0, 所以k,k,=当业=（十m)(k十m) 得372 TIty I! +装z0, =西十km(+)十m TITt 取=1，则n=(0,1,7) (13分) 设平面PBC与平面QBC的夹角为0， 2km(2-km)+m 1十k 则cos0=c0s(m,m>l-2X/1+4西 1+7 =k+ 1+ 所以平面PBC与平面QBC夹角的余弦值为手， =k+hm一2km十m+产m=1+垫=5， 1 (15分) 18.解：(1)圆C化成标准方程为(x十1)+(y一2) 所以m=k且m+快m一4<0，即<告， =4,圆心C(-1,2),半径r1=2, 所以直线1的方程为y=kx十k=k(x十1)，即直线1 圆C:化成标准方程为(x一2)2十y2=9,圆心 过定点P(一1,0). (11分) C(2,0),半径rn=3, ②如图所示， 由于|n-r|=1<|CC|=√⑨+4=√3<n 十=5，故两圆相交. (4分) 两圆方程作差得(x2十y+2.x-4y十1)-(x2十y -4x-5)=6x-4y+6=0, 即公共弦所在直线的方程为3.x一2y十3=0.(8分) (2)设A(x1,),B(x2,2), 将y=kx+1代人x2+y2+2x-4y+1=0, 得x2十(k:x+1)2+2.x-4(kx+1)十1=0， 因为|BP|=√65为定值，且BD⊥EF于D, 整理得(1十)x2+(2-2k)x一2=0,4 所以△BDP为直角三角形，BP为斜边， (2-2k)2+8(1+k2)>0, (11分) ·91· ·数学· 参考答案及解析 所以当点Q是BP的中点时，此时|QD= 所以由中点坐标公式得Q(受2)， 引B即=为定值 所以存在定点Q(号，2)使得1DQ为定值.(17分) 因为B(6,4),P(-1,0), ·92·