(12)数列求和、数列的综合应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习单元检测卷/数学 二、选择题（本周共3小圆，每小题行分，共18分。在每小题给出的选中，有多项符合 题日要求。全部选对的得6分，器分选对的得部分分，有选惜的得0分) (十二)数列求和、数列的综合应用 9.已知数列{山的前w项积为T.,=2,T,一2=3T(∈N·),则下列结论正确的是 (考试时间120分快，满分10分) A.T.=3-1 B.a。)为递增数列 C. 山T,的前n项和为受 3 一、选择题《本圈共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题日要求的) 10.已知数列a,满足“-11一2a∈N1,数列满楚6.-a…记数列 已知数列a,的前n项和为S.者8=∈N,斯 点的前程项和为S。,则 人-司 c A为等差数列R2-1+】 。 得a是 C.5.<-1 n5>- 2.在数列{m中，d。 n+/行8为a.的前项和，若8-一8，则m 1 1】,有一种被称为汉诺塔的益智游戏，该游戏是一块板装置上，有三根杆（骗号A,B。 C),在A杆自下面上，由大到小按颗序放置若干个有孔金盘（如下图）.等戏的目标 A.77 出.78 把A杆上的金盘全都移到C杆上，并保持原有颗序叠好.慢作提则知下：每次只能 C.79 D.80 移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过 3,授活期存人根行10000元，年利零是0.72%，那么按肌单利（单利指利不生利），第5 程中盘子可以置于A,B,C任一杆上.记个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移 年末的本利知是 动次数为g,,数列a.的)程项和为S。,阳 A.10260元 B10280元 C.1036元 1D.10430元 1.”数列a,}为等比数列”是”数列1}为等比数列”的 A.充分不必要条件 且必要不充分条件 A4,=7 B0g=2网+1 C,充要条件 D.属不充分也不必要条件 C.le(d.十1)是等差数列 DS=2+1-w-2 5,若数列{4.}的通项公式为g,一（一1(3n一2），则十1+…十n 肝规 名 分数 A.-30 -15 C.15 D.30 号1 2 5 10 6,在中国古代，人用丰表测量日影长度来确定节气：一年之中日影最长的一天被宦为 答室 冬至。从冬至算起依次有冬至、小寒.大桌，立春，用水、惊豐，春分，清明、谷雨，立夏。 小满，芒件这十二个节气，其日零长依次成等差数列，若冬至，立春，春分日移长之和 三，填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分》 为31.5尺，小寒.丽水，清明日影长之和为28,5尺.则谷用日题长为 12.若数列，满足4+H+1■C心(=1,2,3，w,用a,的前项和为 A.8.5尺 段7.5尺 C.6.5尺 D.5.5尺 13.某高校为迎接2024年世界新能源汽车大会，决定达深一批志总者参与志凰根务，计 7.已知函数f(r)=一十c(6>0,之>0》的两个零点分别为，·若1，，一1三 划首批次先选深1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生根名积极，学校丧定改 个数适当剥整颗序后可为等差数列，也可为等比数列，州不等式二≤0的解集为 变取遗计划，若将原计划聚量的各批次人数看成数列{“。1，保特数列{4.1中各项先 这+ 后颗序不变的情况下，在，与a+1一1,2，…)之福插人2，使它们和原数列的项 A.[1,5) B.《-1,5] 依次构成一个新的数列61，若按照新数列{6.的各项依次深遣学生，则简20批次 C.4-o9,-1)U[3,+091 D(-9,-JU1.+十o) 共派道学生的人数为 8.已知数列1,1,1,2,2,1,2,4,3,1,2,4,8,4,1,2,4,8,16,5，…，其中第一项是2，第二 4.已知点A,Ad…,A…和数列6满足A-(e@票，m婴到 项是1，接着两项为2,2，接君下一项是2，接着三项是，2,2，接着下-…项是3，依 此类推。记虞数列的前：项和为S。,谢满足S>3000的最小的正最数w的值为 {知∈N”),4。AA1十.+1A+A一0，)，若a-1,5.,T.分别为数列a., A.65 &67 C.75 0).77 ,的的程项和，则5十2T= 数举，第1页共页」 衡水全善·先享赠·高三一轮复习单元检测W十日 数学第2页（共（页） HN 四、解答题（本圈共5小圆，共77分。解答应可山必要的文字说明，证明过程或滴算少盛） 18.(本小题清分17分) 15,(本小题满分13分) 已知各奥均为正数的数列.1，其前：嘆和S。满是：S.>1,且88一 已知等差数列仙.的各项均为整数，其前性项和为S,从①m,一一7，②a:十5d=: (4+1)(4.+2),aEN“ ⑦S,一S=9这三个条件中法出两个作为已知条件，解决下列问题， (1求a,的通项公式 (1)求{4.的通项公式： (2)设数到6.1满是.(2一1》=1，并记T。为点》的前n项和，求证：3T。十1 3X2m' (2)若6一2)2一，数列6的能n项和为T,证明工<1. 10wz{g。+3),w∈N1 注：如果选择不同的组合分别解答，波第一个解答计分， 19.(本小愿满分17分》 16.(本小题博分15分》 教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户，存人规定数领贤金，用于教育 已知：，是等整数列，6.1是公比不为1且各项为正的等比数列，4一么际一年一 目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付津义务敦育所需教育金的专项储蓄，储蓄 8,41-. 存教享受免征利息税的政策，若你的父母在你2岁生日当天向你的银行教有储蓄 (11求a。》和的通项公式： 账户存人200元，并且每年在你生日当天存人20的元，连续存8年：在你十八岁 (2若6。-岩，求么的胸知项和刀 生日当天一次性取出，假设数育储蓄存款的年利率为10%， (1)在你十八岁生日天时，一次性取出的金福总数为多少？（参考数据：」. 1.95) (2)高考毕业，为了增加白己的数育储蓄，你利用暑假刻一家离场勤工俭学，该商场 向你蜡供了三种付儡方案： 第一种，每天支付38元： 第二种，第1天付（元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元： 17.(本小题满分15分) 第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天丽一而（即增加1倍）. 在△AC中，内角A.B,C所对的边分别是4b,,且aA+sB-1 你会达择屏种方式领取报隔性 口)证明，c,b成等比数列 (2)求(1)中数列的公比的取值范圆. 数学第3夏{共4项) 衡水金静·先享题·离三一轮复习单元检测馋十日 数学第4页〔共4页引 H网高三一轮复习HN ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十二） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) L ①② ③④ 档次系数 1 选择题 由数列前n项和求特 定项 易 0.80 2 选择题 5 裂项相消法求和 领 0.78 选择题 数列的应用 5 单利 √ 问题 多 0.72 4 选择题 等比数列与充分必要 0.65 性的综合 公 选择题 分组求和法求和 % 0.55 6 选择题 5 等差数列的实际应用 中 0.50 7 选择题 5 等差数列、等比数列与 不等式的综合 中 0.45 8 选择题 5 数阵问题 公 0.40 9 选择题 6 数列前”项积问题 中 0.60 由数列的递推式求通 10 选择题 6 项公式，裂项相消法 中 0.40 求和 11 选择题 等比数列与等差数列、 6 / 分组求和法的综合 难 0.25 12 填空题 5 倒序相加法求和 易 0.71 13 填空题 等差、等比数列的实际 父 0.50 应用 14 填空题 周期数列与向量的 5 综合 维 0.28 等差数列的通项与前 15 解答题 13 易 0.72 项和，裂项相消法求和 ·65· ·数学· 参考答案及解析 等差、等比数列的通项 16 解答题 15 及前刀项和，错位相减 公 0.55 法求和 17 解答题 解三角形与数列的 15 综合 公 0.45 等差数列的通项及前 18 解答题 项和，放缩法证明数列 % 0.40 型不等式 数列求和在经济生活 19 解答题 17 中的应用 难 0.25 香考管案及解析 一、选择题 a:十4d=9.5一4=5.5，即谷雨日影长为5.5尺.故 1.A【解析】因为S=,所以=S=十=1，因为 选D. 7.B【解析】由函数f(x)=一x十c(b>0.c>0)的 S-a十a:=子所以=名-1-合放选人 两个零点分别为：x4,可知是方程x2一br十 c=0的两个实数根，则x1十=b,=c,因为b> 2D【解析】依题意a.而+V市v可一厅 0,c>0,可得1>0，x:>0.又因为x,x,一1适当调 整可以是等差数列和等比数列，不妨设x1<x2,可得 所以S.=√2-1十3-√2+…十√m+I一√m 0x2=(-1)2=1 √n+1一1，由Sw=√m+1-1=8,解得m=80.故 1-1+x2=2x 解得五=子=2，所以十 选D. 3.C【解析】第5年末的本利和为10000+10000× 山-1，所以6=号-1，则不等式 5 x十C 0.72%×5=10000+360=10360.故选C. 4.A【解析】若数列{a.}是等比数列，则a=a11, <0,即为<0，解得一1<≤5，所以不等式的解 i矿心三-=数列是 集为(-1.5].故选B. 8.C【解析】由题将数列按如下分组：(1,1)，(1,2,2)， 等比数列：若数列{a}是等比数列，则a=ai1, (1,2,4.3).(1.2.4,8.4).(1,2.4.8.16,5),…,则第1 ∴.a.=士a1g可，则a:=a1g或a:=-a1g,a= 组的和为2+2+…+21十1=2一1+1，数列共有 a,√或a:=-a1√(，取a2=a1Vg,a= 2+3+…+（4+1)=11十32项，当m=11十32时. 2 2 VT,则=项，=-，≠数列 s.=2-2)-1+11D=21+t1与1山-2，易 1-2 2 2 {a.}不是等比数列，“数列{a}是等比数列”是“数 知S.随1的增大而增大，当t=10时，n=65,S 列{a}是等比数列”的充分不必要条件.故选A. 2048+45-2=2091,当1=11时，n=77,Sm= 5.D【解析】因为a.=(一1)"(3m一2)，所以a1十a2十 4096+55-2=4149,第65项后的项依次为2°，2， …+ao=(-1)+4+(-7)+10+…+(-55)+ 22,…,2,11,2,2,…,又20+2+22+…+2m-1 58=[(-1)+4]+[(-7)+10]+…+ 1-2m [(-55)十581=10×3=30.故选D. 1-2=2-1,2-1=51,2-1=1023,2091+ 6,D【解析】设冬至、小寒，大寒、立春，雨水、惊蛰、春 511<3000,2091+1023>3000,∴.满足条件的最小 分，清明、谷雨，立夏、小满、芒种这十二个节气的日影 的n值为65十10=75.故选C. 长依次成等差数列{a.},设{a,}的公差为d尺，由 二、选择题 题可知，d1十a1十a=31.5,即3a1=31,5,解得a4= 9.AD【解析】由T.+1一2=3T.,可得T.1+1 10.5:d:+a5十a4=28.5,即3as=28.5.解得a5 3(T,+1),故{T,+1}为等比数列，且公比为3，首 9.5,所以d=a5-a,■9.5-10.5=-1，所以a4= 项为a1+1-3,故T.+1-3°，则T.=3"-1,故A正 ·66· 高三一轮复习HN ·数学· 确：当n≥2时，T。-1=31-1,所以a.= T. C+C%+…+Cm=Cm+C+C%+…+C:-1=2"- T。1 3己当n=1时，4，=2不满足上式，因此4， 3一1 1故8=2 13.2101【解析】由题意得，当n=2k一1时，b-1= 2,n=1, 号≥2.放C情误：当≥2时a.=”号 3°-1 1十(k-1)×1=k,当n=2k时，。一2，故十 3"-1 6+…+,-1+2+…+10=10X()+102=55, 2 -3十2二曲于1一8-1单调递增，放，=3十 6+6+…+w=2+2+…+20=2-2四 1-2=2046, 2 3单调递减，又a=2<a:=4,所以{a.}不是 故前20批次共派遣学生的人数为55+2046= 2101. 递增也不是递减数列，故B错误：{T。}的前n项和为 32-n---是放D正确.放选Am 14.0 【解析】由题意可得AA=(一号受）， 1-3 1.ABC【解折】因为a,=1,a=产2a所以 A1=（-之，-号），AA=10),则 1=1-2a=1-2,所以1-1=-2，且 a(-,）+a(-,-g)=(-a, as+1 an 品=1，所以数列品)为等差数列，且该数列的首 项为1，公差为一2，所以忌-士十六所以A,B正 -1,6=8,由:(-，-)+a10) 确：因为品=1-2(m-1)=3-2,所以a. (-+a-a）=0,则a=- 3=2n所以6=a.a1=(3-2n)1=2n 2n-8n-D(82）所以5 2aa=-1,bc=√3： 2[(片-十)+（片-专）+（侵-吉）+… a=1,4= dy=- 24③ ,,即数列{a.,{6}均是周期 2523)+(2n32】]-(-1 为6的数列，而a1十a2十as十a1+十a十a6=0,h十2 2己<-名，所以C正确，D错误，故选AC 十b+h,+h+标=0，.Sm+2To=0. 四、解答题 11.ACD【解析】若有n十1个金盘，可考虑先将上面n 15.解：(1)设{a,}的公差为d. 个金盘从A杆移动到B杆，至少需要移动a,次，再 若选条件①和② 将最大的一个金盘从A杆移动到C杆，需要移动一 由a:+5aa=0, 次，最后将上面n个金盘从B杆移动到C杆，至少需 得a1+d+5(a+4d)=0, (2分) 婴移动a。次，所以aw+1=2a,十1，则a+1十1= 又a1=一7，解得d=2, (4分) 2(a.十1)，且a:=1,所以数列{a。十1}是首项为 所以a.=2n一9. (6分) a1十1=2，公比为2的等比数列，所以4m+1=2× 若选条件①和③. 2-1=2",则a.=2一1，所以a1=23一1=7，a4m4= 由S-2S=9, 22一1，故A正确，B错误：lg(a+1+1)一 ga.+山=g十=g2,所以数列 得3a+324-2(6o,+）=9, 2 化简得a1+3d=-1, {lg(a。十1))是等差数列，故C正确：S。=2+2+ 又41=-7，解得d=2. (4分) 十2-1=22）-m=21-n-2,故D正 所以am=2n-9. (6分) 1-2 若选条件②和③】 确.故选ACD, 由a:+5as=0,得2a1+7d=0, (1分) 三、填空题 由S2-2S=9, 12.2”,」【解析】设{，}的前n项和为S.,则S. 2 得3a+32-2(6a,+)=9. a1十a十…十am,又S。=a,十aw1十…十a,故 化简得4，+3d=一1， 2S,=(a1+am)+(ae十aw1)+…+(a,十a1)= 解得a1=-7,d=2, (4分) ·67 ·数学· 参考答案及解析 所以am=2n-9. (6分) ∴ad,c,b成等比数列. (8分) (2)由(1)得6= 3×2-1 (2)由(1)a,c,b成等比数列，设公比为q, (2,+8-1)(2”+1+-1) 在△ABC中.由三边关系a十e>b.b十c>a,a十b 3X2- 1 (221-1D(21-12-2-·(9分） 1+q> 则工.=么+十…十么=（点2点）十 可得g+q>1. (12分) 1+g>4 (与2）+（马2点）+…十 解得51<<5 2 2 （22）=12 故公比9的取值范国是(5，士)》 (15分) 因为2a>0,所以T<1. (13分) 16.解：(1)设{am)的公差为d,{6,}的公比为g(g>0 18.解：)由a,=5=言(a,十1)(a,+2) 且9≠1)，a1=bM=a≠0， 结合a1=S>1,可得a1=2. a+2d=8, 由a1=5.1-S.=合(a+1)ae++2) 则ag=8, (2分) a+10d=aq', 1 (a+1)(a.+2), 所以a十5(8-a)=a· 得(a+1十a,)(a+1-a.一3)=0， 即a2-10a十16=0. 又am>0,所以a+1一a,=3, 解得a=2或a=8. (4分) 从而{a.}是首项为2，公差为3的等差数列， 当a=8时，g=1,所以g=士1，与(b.}各项为正且 故{a.}的通项公式为a,=3n-1. (8分)》 q≠1矛盾，所以a≠8， (2)由a.(2-1)=1,可得6=log3 3n 当a=2时，解得d=3,q=2, 所以a.=3n-1.6.=2". (7分) (2)由(1)知c,=3n1 (9分) 则3.=e(·号票)广 所以工-号++号+号+…+ 2 因为”>>， 313n+1 .=是+++…+0+. 2 所以（广>兴·法·别当 3n 3n+7 (12分) 所以工=1+3（+++…） 1 1 3n-1 2+工 于是3r.=e[(受)广.(g)广(”)门> =1+(侵）52”2+3, 2+ [(受音)（停）…(” (13分) 所以T.=5·2-(5+3m (15分) 3n 2四 所以3T.+1>log(3n+2)=1og(a。+3).(17分) I7,解：(1)在△ABC中，由于Os4+osB=⊥ b 19.解：(1)2000×(1+0.1)+2000×(1+0.1)+… 由正弦定理可得0s+cosB-1 +2000×(1+0.1)=2000×1.1×1.1-12 sin A sin B sin C' (2分) 0.1 即os Asin B+sin Acos B_1 20000×(1.17-1.1)≈17000， sin Asin B sin C. 故在十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为 :sim(A+B)。1 17000元. (4分) sin Asin B sin C (4分) (2)设到商场勤工俭学的天数为n(n∈N·),则第一 ,A十B+C=元+ 种方案领取的报酬为A。=38: (5分) .'.sin (A+B)=sin C. 第二种方案，每天的报酬构成首项为4，公差为4的 si sn B sinC' 等差数列，利用等差数列的前n项和公式可知， 即sinC=sin Asin B, 领取的报酬为B,=4n+m(",1×4=2m+2m: 2 则由正弦定理得c2=ab, (6分) (7分) 又a,b,c>0, 第三种方案，每天的报酬构成首项为0.4、公比为2 ·68 高三一轮复习HN ·数学· 的等比数列，利用等比数列的前项和公式可知， 额取的报刷为C=0422-号(2-1) 令=C-B=号(2-1)-2m(m+1),其中 1-2 n≥10， (9分) 「2 因为B-A.=2m2-36n=2m(n-18), 则y4一=5 (21-1)-2(n十1)(n+2) 当n>18时，B.>A.:当n=18时，B.=A,:当1<18 2+1 时，B.<A (10分) -[号(-1)-2a+1]--4(+1. 令-C-A-号(2-1)-38m, 令6，=2 5-4(n+1), 则--[号-D-8m+]-[号e 则+一4= -4a+2)]-[ T2+ 2+1 118一——38二5(2一95)· 4(n+1)=2 5 4, 当n≤6时，x+1<x,此时数列{x。}单调递减，则 当n≥10时，t+1>.,此时数列{1。}单调递增， xr1>r2>…>xy: 则ln≥11o>0,则y+>y。, 当≥7时，x+1>x,此时数列{x)单调递增，即 所以，当n≥10时，数列{y.}单调递增， xx…, 则yn≥ya>0,即Cm>B (15分) 因为<0，则T?<6<<x1<0, 综上所述，当n≤9时，max{A。,B,C,》=A,应选 又因为x<0,xm>0, 第一种方案： 故当≥10时，x.>0.即C.>A, 当n≥10时，mx{A,B。,C.}=C.,应选第三种方 当n≤9时，xn<0,即Cm<A… (13分) 案 (17分) ·69·