(11)等差数列与等比数列-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习HN ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十一） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 1.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W,空间想象能力V.数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ① ③④ 档次系数 1 选择题 5 复数的向量形式 易 0.80 2 选择题 等比数列的性质 易 0.78 等差数列前n项和的 3 选择题 5 易 0.72 性质 两个等差数列前”项 选择题 5 和的比值问题 8 0.65 5 选择题 5 等差数列的实际应用 % 0.55 选择题 利用解三角形知识判 断三角形形状 % 0.50 7 选择题 5 等比数列的实际应用 中 0.45 8 选择题 S 等差数列前n项和与 中 0.40 不等式的综合 9 选择题 比较三角函数值的 大小 多 0.72 10 选择题 6 等差数列与等比数列 性质的综合 公 0.45 11 选择题 6 与递推数列有关的数 0.25 学文化题 12 填空题 5 周期数列 易 0.71 13 等比数列前n项和与 填空题 5 中 0.55 函数的综合 等比数列的奇偶项和 14 填空题 5 0.45 问题 ·59· ·数学· 参考答案及解析 15 解答题 等差数列的通项及前 13 0.72 项和应用 易 等差数列与等比数列 16 解答题 15 的综合 中 0.55 17 解答题 15 求等差数列项的绝对 中 0.50 值和 18 解答题 解三角形与三角函数 17 性质的综合 中 0.35 19 解答题 与等比数列有关的新 17 0.25 定义问题 香考答案及解析 一、选择题 A B B 1.D【解析】因为复数：对应的向量O2=(1,2),所以 sin B 2sinos B ,即 2sin号o艺，得n cos 2 B g=1+2i.所以|-i=|1+i=+1下=√2.故 选D. 2.B【解析】设等比数列{a.}的公比为g,因为a1=1, sin 号所以号-号或号=一号得A=B或A十 aan=81,所以a:q·a4q==81,所以g=3,所以 a6=ag=3.故选B. B=2x(舍去)，所以A=B=子，则△ABC为等边三 3.B【解析】由等差数列的性质可知，S,S一S,S, 角形.故选B. S,成等差数列，所以2(S-S)=S+(S,一S。),7.A【解析】设第n年农产品的销售额为4。万元，则 因此a,+au+a=S-S=2(S-Sa)-S1=2× a1=100,a4+1=1.3am-3,则a+1-10=1.3(4. (15-3)-3=21.故选B. 10),所以数列{4.一10)是首项为90，公比为1.3的 4.D【解析】因为{a.},{b}都是等差数列，所以 等比数列，所以a,一10=90×1.3-1，即a.=90× 品+-“=，又s-a中心 1.31十10，则S。=d1十ae十…十ao= 2 lu,=2162=216,放a=音1 90(1-1.3)+10×10=300×1.3"-200≈300× 1-1.3 2 13.79-200=3937(万元).故选A. 费即有会+品-器-×器在之- 8.B【解析】aw+1一a,=2n十2，.am一aw-1= 中，令=1：得器=界做岩+六-会-导×器 2(n-1)+2=2n,a。-1-a-=2n-2.,a-ag= 6,a一a1=4,累加可得am一a1=4十6十…十 一部放法D （2n-2)+2m=m-=1D4+2m)=m+-2.又a, 2 5.C【解析】设8个儿子按年龄从小到大依次分绵 3,an=n2十n+1(n∈N).:n2<m2+n+1< a1斤，ag斤，a斤，…，a斤，则数列{a,}是公差为 (n+1),·[a,]=m=,[a]+ 一17的等差数列.因为绵的总数为996斤，所以8a [Va]+…+[V@4]=1+2+3+…+2024= +8X×(-17)=996,解得a-184.故选C 2024×2025=1012×2025.故选B. 2 6.B【解析】由c2=a2+-ab,得a2+一c2=ab.而 cos C-tli-c=ub1 二、选择题 2ab =2a=2,因为C∈(0，x),所以 9.AD【解析】对于A,tan755°=tan(720°+35°) C-吾：由“4-E及正弦定理，得血公 tan35,tan799°=tan(720°+79°)=tan79°.因为 cos2 A 0°<35°<79°<90°，所以tan35°<tan79°.所以 c052 tan755°<tan799°，故A正确；因为y=cosx在 ·60· 高三一轮复习HN ·数学· (0)上单调递减c0s(-2）=0osx=o警。 三、填空题 os(-1）=eoms1=os子，义0<<5<x, 12.2 【解折】由=气得a1=1一太由 则cos<cos子，即cos(-2)<cos(-1）,故 a=1- 得=合由=1一得4=2面 a B错误：因为y=sinx在(0，艺)上单调递增，且0< a,=1-=2.所以数列(a}为2.7-1,2号 一1，…，数列{a.}的最小正周期为3，故am4= 2-1<1<,则sin1>sin(受-1）=cos1,故C a4X+2=a=乞 错误：对于D.因为y=sinx在（一受.0）上单调递 13.-号 【解析】由等比数列的性质，可得S,S一 增，且一号<-希<-爵<0，所以sim(-最) S.S一S成等比数列，则S(S2一S)=(S sin(-无)，故D正确.故选AD, S,,由于S,=10,所以S-S,=S二S) S 10.AD【解析】当≥2时，a=Sm一S。1=2A(n-1) S-10),则25t-35+5,-2(5:-5)+5, 10 十A十B,且41=S,=A十B满足a,=2A(n-1)+ A十B,所以{a。}是以A十B为首项，2A为公差的等 -s.=S-=10)-5.+10 (s5)'- 差数列，故A正确：取A=B=1,则S.=2十1，可得 生当 5 a,=”2此时a不是等比数到，故B箱 且仅当S,=空时取最小值，故最小值为一票 误：令T=a1aa:…a,易知T>0,则T= a2aa:1…a1,两式相乘得Te=(a1az2a)· 143【解折】由题得@a:=之，又4=1，故a=之 (aaa:on)…(aa1)=(aiue)1o,解得T 因为aa=(侵)》，所以a=4 a器，故C错误：若s.=(%-1)a,则ma士a andia+I 2 之，所以数列@，}的所有奇数项是以1为首项，号 =(%-1)a,取m=2n-1,则(2m-Da, 为公比的等比数列，数列a,)的所有偶数项是以号 (%-1)a.若a,=0,此式成立：若a,0,则2m- 为首项，为公比的等比数列.当n为奇数时，S,= -器-1，得=20：解得n=20,则m=39,故 (m=39即为一组满足条件的m,n,故D正确.故 1+2× ×[1-() 1n=20 =3-2x(3)<3 选AD. 1一2 11.ABC【解析】该数列为1,1,2,3,5,8.13.21,34， …,所以a=21,故A正确：由斐波那契数列得每三 当”为偶数时，S=S1+a,=3-2×(分)）宁十 个数中，前两个为奇数后一个为偶数，且2025=3× 675,.ag是偶数，故B正确：由a。-1=dm一d。-g 名×（侵）宁-3-是×（侵）宁<a.综上m的最 (n≥3)，得ag=a1一a1,4=a5一a8,…,ag@4=as 小值为3. agur,累加得a:十a,十…十ag1=agos一a1,即a:+ 四、解答题 ag十a十a4十a:十…十a4=a2m,故C正确：由 15.解：选择①. a.=aa-1+a。-:(n≥3)，得a十a+a+…+ai (1)a4-2a1=1×2,则a:=4. =a1a2十ai+ai+…十aim=a2(a十a:)十ai+… 21-3a2=2×3,则a:=9. (6分) +an=a2a十ai++aim=a(a:十a:)+…+ (2)由a+1-(n+1)a。=n(n+1), aion=aga1十…十aiom-…=a:o28a:0g4.S:on 得-4=1， 导a十i++叶de）=子an 于+1n a:23:a 所以数列{告}是首项为导=1，公差为1的等差 受，故D错误.故 数列， 选ABC. 所以号=n,即a,= 故(a.}的通项公式为a,=n, (13分) ·61 ·数学· 参考答案及解析 选择②. (1)a:=S-S,=2×2-1-1=6, a,)=-S.=m(43-3m) 2 a=S-5:=2×32-1-2×22+1=10. (6分) 当n≥8时，T.=h+h+…+b (2)当n≥2时.a.=S。-S。-1=2n2-1 =-(a1十a2十…十ar)十ag+ae十…十an=-S:十 [2(n-1)2-1]=4n-2: (S.-5,)=3.-25,=n3m248》+154.13分) 当n=1时，a1=1,不符合上式， (10分) 2 (43-3n) 故a:)的通项公式为a,=”1, 所以T. 2 n≤7， l4n2,n≥2，n∈N°. (15分) (13分) n(3m-43)+154,n≥8. 2 16,解：(1)设等差数列{aw}的公差为d, 18.解：(1)因为四边形ABCD的对角线交点位于四边 因为2=4，所以a=2og=4, 形内部， 所以d=a:-a1=2. 所以∠BAC+∠CAD<π， 所以a.=2十2(n一1)=2n. (3分) 又a.=2 log:b.,即2n=2log2h, 又因为△ACD为正三角形，∠CAD-夸， 所以n=log:b., (3分) 所以b.=2. (6分) 所以0<∠BAC<等 (2)由(1)得b.=2=2·2"-1=a2-1, (8分) 在△ABC中，由余弦定理得AB十AC一BC 即b是数列{an}中的第2-项. (10分) 2AB·AC 设数列{an)的前n项和为P。,数列{b.}的前n项 cos∠BAC, (4分) 和为Q, 1 义因为-2<os∠BAC<1, 因为a=a4=a61,b=a22=a1w· 将AB=3,BC=7代人并整理得AC+3AC-40>0 所以数列(c,}的前100项是由数列{a。}的前107 且AC-6AC-40<0, 项去掉数列{b。}的前7项后构成的， (13分) 所以Sw=P1m-Q=107X(2+214) 解得5<AC<10, 2-2 2 1-2 所以AC的取值范围是(5,10). (7分) 11302. (15分) (2)在△ABC中，由余弦定理可得，AC=AB十BC -2AB·BC·c0sa=9十49-2×3×7c0sa=58 17.解：)当m=1时0，=5=以(a+智）显然A≠ 42cos a. 则a=31一) 40入 (1分) 由1)知5<AC<10,所以cosa∈(-1，)， + 当≥2时a.=S.-S1=a,+72 因为△ACD为正三角形， 2 (2n-1) =++. 所以SAm=AC=293-21v 4 2 2 cos a. (2分) 又S△A= 2AB·BC·sina-2头 2sin a. (11分) 对a,=a,十m+ 3, 当=1时，a=a,十7+，即a,= 40 (1-),满足 所以Sm-Sa十Sam=号sina+25 2 题意， (4分) 21w3 2 故a。=a1十An十 3 3, 21sm(。音)+2， (14分) 当n≥2时，a.一a-1=A, 故1a,)是以把为首项以为公差的等差数列 所以当。一-吾，即a=要时，且co=-∈ (6分) (-1)成立 (2)当λ=3时，a。=3a1+3n+37. 当n=1时，a1=3a1+3+37.解得a=-20, 四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为21+ 放a.=3n-23,S.=n3m-43) 293 (17分) 2 (8分) 2 由a,>0得>号，即当≥8时6=a 19.解：(1)因为a,十a-一2a.+1=-n+n-(n十2) +(n+2)+2(n+1)2-2(n+1)=-2<0, 当n≤7时，b.=一a. (10分) 即a,十aw+2<2a+t, 当n≤7时，T=b十十…十b,=一(a1十ae十…+ 所以数列{a。}不是“凸数列” (4分) ·62· 高三一轮复习HN ·数学· 因为6+6：-26，=（受）广+（受）”- (dm+1-aw)≥(n-m)(ae+t一am), 2(号)-（是广·(1+-3）=是·（侵） 所以二a>an+1一am· n一m (12分) 又aw-aa=(aw一am-1)十(aa-1-ar-:)十…十 >0, (aa+1一a)≤(m-k)(am-am-1), 即6十b.+2>2be+1, 所以数列{b}为“凸数列” (8分) 所以二g≤an一a1 ”m一k (2)由题意得a。-1十am+1≥2a.(m=2,3,…), 故94>≥4-a (17分) 所以ae+1一am≥aw一de-1· n一mm一k 而a,一am=(aw一a,1)+(am-1一a-2)+…+ ·63·高三一轮复习单元检测卷/数学 8,若[x表示不超过士的最大整数（例如：[0,1门=0，[一0,1门=一1），数列4.舞足： (十一)等差数列与等比数列 1=3,4-0,=2w十2，期[a]+[]+十[a:m] A.1012×2024B1012×2025C.1013×2025 D1013×2026 (考试时间120分伸，满分10分) 二、选择题（本圈共3小题，每小圈希分，共8分，在每小题给出的选夷中，有多项符合 盟目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 一、透择题（木题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 9,下列各式中正确的是 项是符合题日要求的) A.tnn755<1an799 L,在复平面内，O为原点i为嘘数单位，复数÷对税的向O立一(1,2》，则|：一 A.3 3 C.2 D. C.sin ICcos I D.m员}>m(-】 2,在等比数列a.中，4，一1,4如一81，月4一 10.已知数列a。}的能？项和为S.,A,B为非零常数，期 A.3 B.3 C.6 D.9 A若S。一Ax十Br,则(a.}是等差数列 3.设等差数列，1的前n项和为S,若5=3，S=15,则4：十m十a,= 若S一A·2十B,则山，是等比数列 A.12 &21 C.27 ).39 C若4，}是等比数列，则44a:一园 山已超出内依均为等是数列，前项和分别为5.与下，且容一号删会+ D对任意的等始数列a,1:3m,neN且8。一(0一- 11,若数列，满足4=4=14，=4，-4十4-(n23,划∈N),则称该数列为斐波那契 数列，如图所示的黄金螺旋线”是根据要破那契数列黄出来的由线，图中的长方形 碧 由以斐能郑奥数为边长的正方形耕接而成，在每个正方彩中作周心角为0的扇彩， 17 连接起来的曲线就是“黄金螺黄线”记以出。为边长的正方形中的扇形面积为，数 c 列点}的前和项和为S,则下列结论正确的是 5,在中国古代诗同中，有一道“人子分绵”的名题：九百九十六斤湖.媚分人子监盘算： A=21 Ba:是偶数 次第每人多十七，要将第人数来言.“图意是把6斤绵分给8个儿子做盘蝶，按耳年 静从大到小的照序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵，则年龄最小的儿子 C.1十？十4，十4：十十十0？三 分到的绵是 D.sin 出·22 A.65斤 钱82斤 .184斤 D.2ol斤 班提 姓名 分数 6记△ABC的内角A,B,C所对的边分到为4，b,r,若“ 6 =产+-h, 题号1 3 苦案 则△ABC的形状是 三，填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 入.纯角三角形 B等边三角形 C,直角三角形 D,等餐直角三角形 12已知数对仙.满足马气4-一1则 ?,某农村合作社引进先进技术来提升某衣产品的深加工技术，以此达到0年内每年此 13,已知S,是正确等比数列4,1的筒：项和，5一1，则2S厅一aS,十S,的最小 农产品的销售额（单位：万元》等于上一年的L,3倍得减去3.已知第一年(2023年）该 值为 农产品的销售额为100万元，用按煎计划从2023年到2032年此农产品的销售总霸 约为（参考数据：1.3s13.79) 4.已知数列，的能#项和为5,4-14一（侵广，者5<m对Va∈N缸成立， A.3937万元 B3837万元 C.3737万元 D.3637万元 用m的最小值为 数举第1页（共4页1 衡水全海·先享赠·高三一轮复习单元检测W十一 数学第2页（共4页） HN 四、解答题（本圈共5小圆，共77分。解答应写出必要的文学说明，证明过程或流算少最） 18.(本小题斜分1？分》 15.〔本小题满分13分) 如图，在平面内，四边形ABCD的对角线交点位于四边形内部，AB=3,BC=7, 在①m,+1一《w十1，-#(+1)：②S,一2m一1这两个条件中任法一个补充在下面 △ACD为正三角形，设，∠ABC一@， 的横线上，并解答。 (1)求AC的取值范围： 若数列a.的前r项和为Sd:一1，且数列4，满足 (2)当m变化时，求四边形ABCD面积的最大值. (1)求d:,au￥ 〔2)求{a.的通项公式 住：如果选择多个条件分别解答·按第一个解答计分. 15.(本小题满分15分) 已知等差数列(.}和等此数列点}消足m1=2,=4,4.=2@g.,程∈N”。 (1)求4.，么，的通项公式： 19.(本小题满分17分》 (2)设数列4，)中不在数列4,1中的项技从小到大的顺序构成数列c,1:记数列 若实数列0，薄足条件4，十4≥20+t4w=1,2,3,…则称{0，是一个一凸数列 I.1的t嘆和为S.,求S, 判断通项为心，=一十n和，=（经了的数列出，和是香为”凸数列”？ (2)若（如，是一个“凸数列”，证明：对正整数危，m,背1<m<时，有二 一用 ≥4a 限一是 17,(本小圈请分15分》 已知数到a,的前m项和5.一a,十受十碧}a>0 (1)证明：4.是等整数别： (2)当A一a时，6，一m,求k的前8项和丁 数学第3夏{共4页) 衡水金整·先享超·离三一轮复习单元检测蜂十一 数学第4页〔共4页 H网