(10)平面向量及其应用(含解三角形)、复数-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习单元检测卷/数学 7,已知点G是△ABC的重心，过点G的直线与边AB,AC分别交于点M.N(均异于点 (十)平面向量及其应用（含解三角形）、复数 B.O,设店=x.-AN.则2与十2一的最本植为 (考试时间120分钟，满分10分) A.1 &1+2 2 C.2 D.1+2 低，八卦是我国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的横心精随.八卦图与太极图 一、选择题《本圈共8小题，每小圈5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 (图1D的轮客分别为正人边形A(DEFH和翼(O图2)，其中正八边形的中心为O, 项是符合题目要求的) 鱼取（图1中的黑白两点》P,Q是圆O半轻的中点，且关于点O对称，若4一8v2,周O 1.E知：一语则：在复平面内对定的点位于 的半径为6，当太级图转动（即周面O及其内部点绕点O转动）时，P·Q的最大值为 A.第一象限 B.第二象限 C第三象限 D,第四象限 2.已知复数：满足：=十2|，且(1十)x为纯虔数，则x= A.1+i 我1一i C.-1+i D.-I-i 3,已知函数(x)=e(r+a)在R上单到递增，则实数a的取值范限是 A.(-oo,1] &(-6e,1) C.(1,十0) D.[1,+e) 4.在平行四边形ABCD中，AE=2EC,E产=F店.则 A.39 &48 C.57 D.0 A.A正-A+A而 -+a茄 二，选择盟《本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题日要求。全部透对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的斜0分) C.AF-AB+AD D,A护=AB+号Ad 9,已知向量a-(一1,3》，b=(x,2),且a一2b)⊥@，期 A.b-1.21 B.a-2b-25 5,已知函数f(a1一An(wr十(4>0，m>0,<受的部分图象知 C.a与b的类角是45 Da在b上的投影向量为1,2》 10.已知南数fr》-cos十o%x,期 雨所示，则(x)的解所式为 A《x是偶历数 Bf八)在[-普，上有无数个零点 Afx1-2m2+8】 fa1-2sim2r-) C八：在(，)上单测遵或 D.《的最大值为2 C.f(r)=2sin( D.f(r)=2sin(2r) 1】,某数学建榄活动小组在开展主题为~空中不可判达两点的测距问题“的探究活动中， 6,圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来操定节气的天文仪器，它包暂一根星 抽象并构建了如图所示的儿何模亚，该模亚中MA,NB均与水平面AC垂直.在 自意方向的水平长尺（称为”主"）和一根直这于主面的标杆（称为”表”），如图。成语有 已测得可直接到达的两点调距离AC,BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下 云，“立竿见影“，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定 列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定M,N之间的距离的有 的.利月主表测得某市在每年夏至日的早上8：闲和中午13：00的太高度角分别为 A.∠MCA,∠NCB.∠ABC 23(∠ABC)和83（∠ADC,投表高AC为1米，期影差BD=(参考数据，sn16 B∠ACB,∠NCB,∠CN 0.276.w51.732) C,∠MCA,∠NCB.∠MCN D.∠MCA,∠NCB,∠ACB 肝城 性名 分数 2 A.2.018米 2.232米 C2.428米 D.2.614米 数举第1质【共页」 衡水全善·先享赠·高三一轮复习单元检测卷十 数学第2面（共1置） HN 三，填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 17.(本小题端分15分) 12.已知复数：1一1十i,一3十i,则的一个镭角是 如图，D为△ABC的边AB上的一点.且∠ACD=受.AB=3DB.CD=. 13.我国南宋著名数学家秦九留在他的著作（数书九章）要三“团蚁类”里有一个题口： BC=/21. “问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百 (1)求△D的面积： 步，欲知为田几何.“这道题讲的是有一个三角形沙旧，三边分划为13里，14里，15 (2)点M在平面ABC上，且点M与点A在直线CD的两制， 里（注：里为一计量单位，1里一500米），现修建一半径为R的闭形国墙，将该三角 形沙田用于其中，期尽的最小值为里. ∠AMD=号，求MC+2MD的取值范同. 14,在△AC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cDs2C+cosC一0.若△ABC 内切闭的面积为需，期△AC面积的最小值为 ,此时△ABC的周长 为 ,(本题第一空3分，第二空2分) 四，解答题本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，正明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知△AC的内角A,B,C的对边分别为a,,c,C为地角，且sC一2ainA十 ceos B-0. 18.〔本小题裤分17分) (1)求A的大小： 某景区为打查景以风量亮点，故在一不规则期面（图中阴影部分》上的A,B同点之 (2)在①：一2，C一105°，一23b这三个条件中进出两个作为已知条件，判断 间建一条观光通道，在湖面所在的平面（不考虑潮面与地平前的距离，视新面与地平 △AC是否存在，若存在，求出△AC的面积：若不存在，请说明理山， 面为同一平面)内死离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建 注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分， 成亭，如周所示，渊得∠ACB-∠ACD,s∠ACB-D (1)求in∠BDC的值： (2)别得AC一AD,观光通道每米的遗价为200元，若景区准备预 算贤金8万元建观光通道，用顶算资金够用吗？ 16,(本小题满分15分) 已知向量a-{in2r0s2r),h-(3,2)rE【0开. (1)若a⊥b,求r的值： 19,(本小题满分17分) 在镜角△AC中，角A,B,C所对的边分别为a:b,心，且a,,e十r成等比数列： (2)记fx)一a·b,将函数f(x)的图象向右平移三个单位长度，再向下平移1个单 (1)若A一，求角C: 位长度科到丽数4x的图象求)在[]上的最小值 ()记△ABC的面积为3，求≥的取值益围， 数学第3夏{共4页) 衡水金整·先享超·离三一轮复习单元检测蜂十 数学第4页【共4页} 网高三一轮复习HN ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（十） 9 品题要素一览表 注： 1.能力要求： 工，抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 分 值 (主题内容) I 亚 ① ③④ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 复数的运算，确定共轭 复数对应点所在象限 易 0.80 选择题 复数的模，由纯虚数 易 0.78 求参 3 选择题 5 由函数的单调性求参 易 0.72 4 选择题 5 平面向量基本定理的 应用 % 0.69 由三角函数图象求其 5 选择题 5 0.65 解析式 解三角形的实际应 6 选择题 5 用—测量距离（数学 的 0.55 文化题) 7 选择题 5 共线向量及基本不等 中 0.40 式的应用 8 选择题 平面向量的应用（数学 难 0.25 文化题) 9 选择题 6 平面向量的运算 √ 易 0.72 10 选择题 6 三角函数性质的综合 分 0.50 11 解三角形的实际应 选择题 6 用 测量距离 设 0.28 12 填空题 5 复数的三角形式 多 0.75 13 填空题 解三角形的实际应用 5 (数学文化题) 中 0.55 ·53· ·数学· 参考答案及解析 解三角形与基本不等 填空题 0.28 式的综合 年 15 解答题 13 利用正、余弦定理解单 中 0.65 个三角形 解答题 15 向量与三角函数的 16 中 0.60 综合 利用正、余弦定理解多 17 解答题 15 0.55 个三角形 18 解答题 17 解三角形的实际应 用 角度问题 分 0.45 三角函数、解三角形与 19 解答题 17 数列的综合应用 难 0.28 香考管案及解析 一、选择题 1.A【解桥】因为==名号 子，解得T=,又T=语=，所以w=2,由图可得2 (1+)(1-i) 2一12i-1一6i,所以：=1十6i,故：在复平面内对应 ×十g=受+2kx(∈)，解得华=-号+2k(k∈ 2 的点为(1,6)，位于第一象限.故选A. ),又|g<艺，令k=0,得到9=-号，所以 2.D【解析】由||=：十21，得的实部为一1，所以 f(x)=2sin(2x-号）.故选B. 设文=一1十bi(b∈R),因为(1+i)x=一1一b十 (6一1)i为纯虚数，所以b=一1，所以z=一1一i,故 6.B AC 【解析】在Rt△ACD中，AD=sin83 1 c0s7.在 选D. 3.D【解析】由题可得了(x)=e(x2十a)十2xe △ABD中，由正弦定理得 BD AD e(x+2x十a),因为f(x)在R上单调递增，所以 n∠BAD sin/ABD,即 BD AD f(x)≥0恒成立，因为e>0,所以x2十2x+a≥0 n(823-m23,所以BD=2sn23os7.因 恒成立，所以△=4一4a≤0，解得a≥1，故选D. 为sin30°=sin(23°+7°)=sin23°cos7°+ 4.C【解析】如图， cos23sin7°①，sin16°=sin(23°-7)=sin23cos7 -cos23°sin7°②，所以①+②得2sin23°cos7°= s血30+血16≈0.76，所以BD占7器≈2.232 (米)，故选B. 7.A【解析】设D是BC的中点，连接AD,因为点G 由题意可知A忘=号(A言+AD),:点F是BE的中 是△ABC的重心，则AD必过点G,且AG=兰AD, 点A市=合A成+号A花=A丽+(A+A 所以A店=子A市=号(AC+A)=号(yAN+ =各A店+号A心.故选C xAM),又M,G,N三点共线，所以x十y=3,则2x 5.B【解析】由图易知A=2,子T=罗-（-号) 1+2y1=4y∈1，+0).所以2与十2y与 (2与+)2x-1+2y-10=(2+ ·54✉ 高三一轮复习HN ·数学· 号+)≥(+冯·哥)=1， a,b,9,B,Y,在Rt△NCB中，由cosB=a,可确定n: 当且仅当号无即1=y号时等号成立， 同理，在Rt△MCA中，可确定m,则在△MCN中， 由，n,0及余弦定理，可确定MN,故C正确：对于 1 故2x一十2y一的最小值为1，故选A D,已知a,b,a,B,Y,在△ACB中，由a,b,a及余弦定 理，可确定c:在R1△NCB中，由1an=冬，可确定 h:同理，在Rt△MCA中，可确定d,由|MN' (MA+AB+BN)=d十2+h2-2dh①.可确定 MN,故D正确：对于A,已知a,b,B,Y9,同选项D, 可确定h,d,在△ABC中，已知a,b,p,解三角形知c 可能有两解，例如若a=√3，b=1,9=30°，则1=3十 M 8.A【解析】因为ABCDEFGH为正八边形，所以 -2BeX号，解得e=1或2，代人①使得MN也 ∠A0B=开，则∠A0C=号，又OA=0C=8E,所以 有两个值，故A错误：对于B,已知a,b,a,A,a,同选 AC=16,因为点P,Q是圆O半径的中点，且关于点 项C,D,可确定n,h,c,在R1△MCA中，由勾股定 0对称，所以O驴=-0文，1O1=1O1=3,所以 理，得m=√+b,在△MCN中，由余弦定理，得 PA·QC=(OA-OP)·(OC-OQ)=OA·O元 x=(d+6)+n2-2n√+6cos8②，联立 oA·00-o币.O+op.0a=-OA.00-o求· x=d+c+h:-2dh, ①②，得 解此 O心-9=Op·(OA-O心)-9=Op·CA-9 x2=d'+B十n-2n√+6cosa, 关于x,d的二元方程组，可得MN,但此二元二次方 1Oi·1CA|cos<Oi,CA)-9=48cos<O币，CA) 程组可能有两解，例如若b=h=1,n=3,c=√5,0= 9,又O求，CA)∈[0π].所以当cos<Oi,CA)=1时， fx2=d-2d+6 PA·QC取得最大值，最大值为48一9=39.故选A 45°，则 x=d+10-3√/2(+1) 解得 二、选择题 9.ACD【解析】对于A,:a=(-1,3),b=(x,2), d=7 .a-2b=(-1,3)-2(x,2)=(-1-2x,-1), 或 ,故B错误.故选CD. x=√5 (a-2b)⊥a,1十2x-3=0,解得x=1,故b x②8T (1,2),A正确：对于B,由A可知a一2b= 三、填空题 (-3,-1),故|a-2b|=√10，B错误：对于C, a·b -1十6 12.(答案不唯一）【解析】由题意得=1十1 cos<a,b=a·16=+gX/+7=分，且 (a,b>∈[0°，180]，.a与b的夹角是45，C正确：对 2(os号+ism5)=+i=2(os若+isn若)： 于D,a在b上的投影向量为a:b)·b-5X(1,22 b 则号=cos(受-晋）+isim(受-晋），所以4的 =(1,2),D正确.故选ACD. 10,ACD【解析】因为函数f(x)的定义域为R, 个辆角是号一君=若 f(-x)=cos(-x)+|cos(-x)|=f(x),所以 13. 65 【解析】记该三角形沙田为△ABC,因为AB= f(x)是偶函数，A正确：当x∈[-平，晋]时， 13里，BC=14里，AC=15里，所以c0sB= fx)=2 0sE[E,2],故fx)在[-平，年]上 AB+BC-AC_13+14-15_5 2AB·BC 2X13X14=3,所以smB= 12 无零点，B错误：当x∈(0，受)时，∫(x)=2cosx √-cosB= ，当圆形围墙为△ABC的外接圆 故f(x)在(0，受）上单调递减，C正确：f(x)= 时，R最小，则2R=二=15×是-草即R=号 cosx+|cosx|≤1十1=2，当x=2kπ，k∈Z时取等 14.3√36√5【解析】因为cos2C+cosC=0,所以 号，D正确.故选ACD. 11.CD【解析】记BC=a,AC=b,∠ACB=a,∠MCN 2cosC+cosC-1=0,又0<C<,所以cosC=2 =8,∠NCB=B,∠MCA=Y,∠ABC=p,AB=c,CM =m,CN=n,NB=h,MA=d,MN=x.对于C,已知 所以C=号，因为△ABC内切圆的面积为元，所以内 ·55· ·数学· 参考答案及解析 切圆的半径r=L.由三角形面积公式，得S 4耳×号29 (13分) 名abin C-安a+btor,即a+b+c=号ab,由 若选条件②和③： 余弦定理得a+b-C2=ab,即(a十b)2-c=3ab, 由C=105,A=30°，得B=45°， (7分) 即(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则a+b-c=2√3，所 又sin105°=sin(45+60°) 以号6叶2厅=2a+26>4V瓜，所以（瓜-2 =sin 45'cos 60+cos 45"sin 60" -号×+9×- 2 2 4 (9分) ,(√瓜一后)≥0，当且仅当a=6时取等号，显然 子absin C>,所以ab>语>4，从面得V瓜≥2，B, 则由正弦定理snB一snC b 3 得c=cmC-6in105-1+E6. 甲ab≥12.所以Sr=a6sinC-b≥3vg,当 2 1 sin B sin 45 与c=2√/3b矛盾， (12分) 且仅当a=b=2√3时取等号，所以△ABC面积的最 故△ABC不存在. (13分) 16.解：(1)由aLb,得a·b=0: 小值为33，此时△ABC的周长为63， 四、解答题 即√5sin2x+2cos2x=2,√5 sin xcos x+2cosx 15.解：(1)由正弦定理得sin Bcos C-2sinA十sin Ccos B =2cos (v3sin r+cos )=0, =0, ∴cosx=0或3sinx十co5x=0, 即sin(B+C)=2sin'A, 又x∈[0，π]， 又A十B+C=180°， 所以sinA=2simA, 当0sx=0时，=受： (4分) 又sinA≠0， 所以nA=之 当5sinx十cosx=0,即amx=-5时，r=严。 (3分) 3 6 又C为钝角，所以A<90°， (6分) 故A=30°. (5分) (2)f(x)=a.b=3sin 2x+2cos'r (2)若选条件①和②： 由C=105°，A=30°，得B=45, (7分) =5sin2x+cos2x+1=2sin(2x+若）+1.(8分) 由正孩定理品A品C 6 由题意知g(x)=2sim[2(:-晋)+吾]+1-1 得6=asin B=22,c=asin C sin A sin A =反十√6，此时 2sin(2r-晋） △ABC存在， (10分) 所以△ABC的面积S=之smA= -×22×(W2+ <2-晋< (11分) 6)×号=5+1. (13分) 若选条件①和③： “y=2nx在[答，吾）上单调递增，在 由余弦定理a2=6十c2一2 bccos A, 得公=专，即6=2乎 [受专]上单两蓬减。 7 所以c=生红 且y=2in号-6y=2sin号--5 7 (8分) gx=g(要）=-E 由余弦定理得cosC=g十：一C (15分) 2ab 2X2×2 g)在[芹，]上的最小值为一万. 7 17.解：(1)设AD=2x(x>0), 27<0 则BD=x,AC=√4x-9. 因为cos∠ADC+cos∠BDC=0, 满足C为纯角，此时△ABC存在， (10分) 所以2+=0. 2×x×3 所以△ABC的面积S=号 7 解得x=√5， (3分) ·56· 高三一轮复习HN ·数学· 所以BD=3,AD=2E, 因为∠ACB=∠ACD,AC=AD: 所以∠ADC=若，∠BDC= 6 所以cOs∠ACD=cOs∠ADC=coS∠ACB= 5 所以△BCD的面积S=BD·CDsin要=之X5 6 2 由cos∠ADC=AD+CD-AC及AC=AD. 2XADXCD ×3x号-35 (6分) 解得AC=AD=10√1而 (13分) 在△ABC中，AB=AC+BC-2AC·BCcos∠ACB (2)因为∠ACD=受，∠AMD=受， =1000+50:-2×10/0×50×-1500. 所以点A,C,M,D四点共圆，且线段AD为此圆的 直径， 所以AB=10√15<40， 因为点M,A在直线CD的两侧， 又观光通道每米的造价为2000元， 所以总造价低于40×2000=80000元， 所以∠CMD=x-∠CAD=三 (8分) 故预算资金够用。 (17分) 19.解：(1)由题可知=a(a十c), 设∠MCD=9(0<9<号)，则∠MDC=号-9. 3 即6-a'=ac, 在△MCD中，由正弦定理可知CD MC 因为=a2+c2-2 aceos B, sin() 所以a=c-2 acos B, 即c=a十2 acos B, (3分) =MD 所以由正弦定理得sinC=sinA十2 sin Acos B, sin Bll sin(A+B)=sin A++2sin Acos B. 则MC=25sim(g-0小，MD=23sin, 所以cos Asin B=sinA十sin Acos B. 故sin(B-A)=sinA, 故MC+2MD=25sin(号-0）+4 sin0 所以B-A=A或B-A=π-A(舍)， -25(停os0-号sn0）+46sin0 所以B=2A-年。 =3V5sin0+3cos0=6sin(0+若）， (6分) (12分) 故C- (2)由(1)知B=2A,又△ABC为锐角三角形. 因为0<<号，所以晋<0叶若<受， 0<A<受 所以号<sm(0+晋)<1， 则0<2A<号 ,可得晋<A<开 所以MC+2MD的取值范围是(3,6). (15分) 18.解：1)由∠ACB=∠ACD,eos∠ACB= 0<-3A<受 5 得ms∠BCD=2as∠ACB-1=2×号-1- 又S=asnB. 则，导-B也如B 2a 2sin A 则sin∠BCD=V个-cos∠BCD=26 =sin 3Asin 2A=sin 3Acos A (3分) 2sin A =sin Acos Acos 2A+cos Asin 2A 在△BCD中，由正弦定理得sin/BCD一sin /BDC BD BC -sin 2A(cos2A+) (9分) 即、30 50 2tan A 1-tanA 26 sin∠BDC: 又sin2A=十1anA,os2A= 1+tan'A 5 放S 2tan A 所以sin∠BDC=2y5 A+） (6分) 7 =tan A(3-tan'A) (2)在△BCD中，由余弦定理得70=CD+50 (1+tan A)' (11分) 2X50cDx(-号）， 令1=mAe(停小0= 3t-2 整理得CD+20CD-2400=0, 3-12r+1 解得CD=40(CD=-60舍去). (9分) 所以了()= (1+) ·57· ·数学· 参考答案及解析 令g(t)=-12r+3,则g'()=4(t-6), 因为（停，小，所以8）<0， 所以0在（停，）小上单调递减， 故)在（停，1）上单润递减。 故f(分)，脚∈（侵号）： (14分) 所以兰的取值范围为（会，受）， (17分) 所以g0<g(停）=-号<0，故f<0. ·58·