(9)三角函数的图象和性质-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习单元检测卷/数学 .将函数y=nx十✉∈[0，受）的图象绕着原点逆时针旋转8角得到曲线广，若角 (九)三角函数的图象和性质 线T始终保持为函数图象，划m如8的最大值为 (考试时间120分中，满分10分) A B号 C,1 0 &将函数x)=co(+要图象上所有点的横全标变为原来的(w>0),飘拿标不 一、选择题《本恩共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合返目婴求的) 变，得列两数的图象，若g)在区间[0，]上恰有网个零点，且在区间 ,函数x》=3sim2:一)的版幅.颗华和初相分测为 【一高·]上单调递减，则如的取值位明为 C33, 1园 n2-音 A.[ [是 c(a 2,若a,6满足2>2”，kgr<0.期 二，选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的送项中，有多项符合 1 钱> C.ac>he D.a+c>b 题日要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选情的得0分) A.(ha)e0 3,已知角a的厦点与原点O重合，始边与？轴的非负半轴重合，终边经过点A(2,一6)， 乳已知eosa十印=青ima印=一吾其中a,2为悦角：则 财ana一}打 A.osr-D=一3 且wp-需 A-4 且一2 C.2 D.3 C.2元 27 .函数代r)=02红一)在下列区闻上单调递增的是 业和产品 10,已知雨数=A(ar十g(m0,g受)的多分图象如图所示，则 A[- C.o. [o.] A-晋引-1 5,(梦溪笔谈》是我国科技史上的本作，其中收素了审形重长的近似计算公式：=弦 +2,如图，公式中的弦是指扇形B中西对的装AB的长。实是指品 且+受)为锡函数 所在開O的半径与闻心O到弦AB的距离之差，"径”是指确形OAB所在倒O的直 C)为☆丽数 轻.若扇形O八B的面积为三，半径为4，利用上运公式，求得该嘲形的氢长的近饭 D./(x)在区间(0,2g)内有4个极值点 11,如图，筒车是我国古代发明的一种水利淘减工具，因其经济又环保，室今在农业生产 值为 中仍得到使用，图2。一个简车按围边时针方向转动，简车上的某个级水简P到水而 的距离为单位：m)(P在水下明d为负数)，d与时间《单位：》之间的关系为d= 3m一著}十号.则下列说法正确的是 A,简车的半径为3m,旋转一周用时30s A.5十1 H23十1 3w3+1 D.4w+1 R简车的维心O距离水面的真度为号m 6,函数(x)=一tn于一n十一n在区间（受，警)上的图象是 C.当∈(0501时.盛水简P处于向上运 动的状态 D.盛水简P出水后至少经过20才可以 4持州因 达到最高点 性名 分数 慧号 10 数举第1【共页」 衡木全善·先享赠·高三一轮复习单元检测卷九 数峰第2西（共1置） HN 三，填空题（本图共3小圆，每小题5分，共15分 18.(本小题满分17分) 12.函数fr)一1cos2r一2in2x的最小正属期为 13,智能主动降噪耳机的工作蘭理是通过耳机两端的噪声 如图，某公时有一块鼎形人工湖0AB.其中∠AOB=受，0A=0B=1千米，为了增 采集器采集周取的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的 加人工潮的魂赏性，玫府计划在人工阁上建造两个现景区，其中荷花池观景区的形 嘉被来抵消燥南《如图).已知零有的南波曲线是y 状为矩形POD,喷哀礼餐区的形状为△PC,且C在OB上，D在OA上，P在AB 3cs4,通过主动降噪，芯片生成的声改曲线是y 上，记∠POA=A. Asin(our+c(>0.>00g2 用制丹库的液 (1)试用B分别表示所形PCOD和△PBC的面积： 4.已卸函数r=3m(r+)(w>0)满是（爱】=（餐）著x)在（经·）上拾 (2)现计划在PD的位置架起一座现最桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元 (包含桥的宽度费用)，建造爽泉观景区的费用为每平方千米18万元，建造荷花池观 好有两个最小值和两个最大值，则w :若f)在（爱，上恰好有两个 景区的总费用为：万元，求当0为多少时：建造观景区的总费用最低，并求出其最低 零点，期的取值集合为 ,(木题第一空2分，第二空3分) 费用 四、解答题（本题共5小画，共？分。解客应写出必要的文字说明，证明过程或演算步盛） 15.(本小题博分13分) 已知雨数fr一3naar十)，其中w>0. 1)若u一4，求f(x》的最小正周期及其图象的对称中心： (21若/(x)在区间[0.π]上单调提减，求w的取黄雀围. 16.(本小题满分15分) 19,(本小题清分1？分》 已知南数《x》一 (1)求f()的极慎： 已知函数()=2sim《十9)(>0，lg<受}的最小正周期为x,北困象美于点 2证男：/≥1- (登0)对称 1)令r)一fr+》其断r的奇性： 17.(本小题满分15分》 (2)是否存在实数m调足对任意x1∈一1,1门∈R,4十4十测(2一2+5 f1恒成立？若存在，求测的取值范国：若不存在，请说明理由. 已知i数f(r)-3in2r十9)一c(2.r十1(0<<x (1)著？一受，在给定的平面直角坐标系中面出)在区间[0m]上的闲象： (2)若f(x)为偶雨数，求学的值 (3)在2)的条件下，将/工)的图象向右平移答个单位长度 后，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，拟坐标 不变，得到函数g(x)的图象，求gx的解析式及对称中心. 数学第3舞共4页] 衡水金整·先享题·离三一轮复习单元检测蜂九 数学第4页（共4页} H网高三一轮复习HN ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（九） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 1.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W,空间想象能力V.数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ①② ③ 档次系数 三角函数的振幅、频率 1 选择题 易 0.80 和初相的概念 2 选择题 5 不等式的性质 细 0.78 选择题 5 两角差的正切公式，三 角函数的定义 √ 多 0.72 4 选择题 5 余弦型函数的单调性 / 中 0.65 5 选择题 扇形弧长和面积公式 的应用 名 0.55 6 选择题 5 三角函数图象的识别 中 0.45 7 选择题 正弦曲线及正切函数 中 0.40 的最值的综合 8 选择题 由余弦型函数单调性 求参 中 0.30 选择题 两角和与差的正弦、余 0.60 弦公式的应用 的 10 由三角函数的图象研 选择题 6 0.40 究其性质 公 11 选择题 6 三角函数的实际应用 旅 0.25 12 填空题 5 辅助角公式的应用，求 函数的周期 易 0.75 13 填空题 5 三角函数图象的实际 / 0.50 应用 14 填空题 由三角函数的最值和 0.30 零点求参 ·47· ·数学· 参考答案及解析 求正切函数的周期、图 15 解答题 13 象的对称中心，由单调 易 0.72 性求参 利用导数研究函数的 16 解答题 15 极值，利用放缩法证明 中 0.60 不等式 17 解答题 15 三角函数的图象及其 变换 中 0.50 18 解答题 17 社会热点中的三角函 名 0.40 数问题 解答题 1 三角函数性质与不等 19 0.25 式的综合应用 香考答案及解析 一、选择题 时)不单调，故A错误：当x∈[-冬0]时，2 1.A【解桥】因为在函数f(r)=3sin(2x-吾)中 子∈[一子一子]，此时)单调递增，故B正确， A=3,w=2,9=-若，所以f(x)的振幅为3，周期为 故选B. T-受-，所以频率为初相为一吾故选入 5.D【解析】设该扇形的圆心角为a,由扇形面积公式 2.C【解析】由2>2，logc<0,得a>b,0<c<1.所 得号×华×。=l,所以a=等，取AB的中点C连 以公一a<0,所以。c<0,所以A错误：令a 接OC,交AB于点D,则OC⊥AB,所以OD=OA× -1,b=-2,c= 合，此时d与6无意义所以B错 cos∠A0D=4cos号=2，AB=2AD=2X4sin音 4√5.CD=OC-OD=2,所以该扇形的弧长的近似值 误：因为a>b,0<c<1,所以由不等式的性质可得 ac>k,所以C正确：令a=-2,6=-3c=之，则a十 为a=弦+2X餐=AB+织=45+2袋= 径 8 4√3+1.故选D. c=一号=c,所以D错误，故选C 3.C【解析】因为角a的终边经过点A(2,一6)，由三 角函数的定义可得tana=一3，所以an(Q一牙）= tana一tan -3-1 1+tan atan x 1+(-3)X=2.故选C 6.B【解析】当x∈（受，x)时，anr<0<sinx, '.f(x)=一tant-sinx一tanx十sinr=-2tanx 4.B【解析】因为f(答)=1为f()的最大值，所以 >0:当re[x,受)时，iam≥0≥sin,f(x)= 1(x)在区间[o,吾]，[0，]上不单调，放CD错 一tanx-sinx十tanx-sinx=一2sinx≥0，由选项 可判定B图象正确.故选B. 误当xe[-受0]时2x-∈[-，-]此 7.B 【解析】由题可知y=之0s十1，在原点处的切 48 高三一轮复习HN ·数学· 线斜率表=y-=c0s0+1=号，所以切线方程 0.得sim(告+g）=0,又g<受，所以g=-吾由 为y=受，设切线领斜角为aaE(0,受)则tama f0)=1,得A=-2,故f(x)=-2sim(2x-若) 号当)一之如十：的图象绕着原点沿滋逆时针方向 所以f(-子)=1，故A正确：因为f(x+苓） 旋转时，若始终保持为函数图象，则0十a≤受，故0≤ -2sin(2x+受）=-2cos2x,所以f(x+受)为偶 受-a,显然0为锐角，所以an0<tan(受-a） 函数，故B正确：因为f(x-吾）=-2sin(2x 需。过。号放m9的最大值为导故选散 于)所以f(-是)不是奇函数，放C错误：因为 8.C【解析】依题意可得g(r)=cos(ar+牙)，因为 f(5)=-2,f()=2f(）=-2,f(5) 0长≤行，所以号<a+号<g+子因为g 2,所以f(x)在区间(0,2x)内有4个极值点，故D正 确.故选ABD. 在[0，]上恰有两个零点，所以要<智+经< 11.BD 【解析】对于A.:d=3in(无1-无)）+号的 受，解得号<w<.令2kx≤r+受≤x计2张x,kE 3 振幅为筒车的半径，.筒车的半径为3m,d 1.解得-一无+资<≤亮+，kC乙令长=0得 3sin(需1-吾）+2的最小正周期T=经=60， 30 8在[一无无]上单调递减，所以[-意·] ∴.旋转一周用时60s,A错误：对于B,:d=3十 是-号n筒车的半径一m,筒车的轴心0距 []所以 ,又u>0,解得0<山 无> 离水面的高度为d一一号m,B正确：对于C.当 S1综上的取值范国是[，小故选C E(4050)时，品一晋∈(，受)，此时d单调递 二、选择题 减，盛水筒P处于向下运动的状态，C错误：对于 BCD【解析】因为a,B为锐角，所以0<a<受，0<3 D.令m(品1-晋）=1，希1-音=受+2标 (k∈Z),解得1=20+60k(k∈Z),又t≥0，.当 <受：0<e+月<，-受<e-日<吾因为 k=0时，tm=20s,即盛水筒P出水后至少经过 20s才可以达到最高点，D正确.故选BD. cos(a十B)=- 是m(a)=-子，所以 5 三、填空题 sin(a+)-c(o ( 12. 【解析】由题可得，f(x)=|sin(2x一)，其 一sim(a-历=青，A错误：所以c0s29- 中ang-号，因为函数y=m(2:一p的最小正周 cos[(a+8)-(a-B)]=cos (a+8)cos (a-B)+ sna+n(a-)=-音×号+号×(-号) 期为T=受=，所以f(x)的最小正同期为T 一票BE确：因为oso一)=sms月叶血o血月 13.警【解析】因为抵消噪声，所以振幅没有改变，周 ①，cos(a+B)=cos acos B-sin asin3 期没有改变，即A=3,=4.即y=3sin(4x十g),要 -音@，所以D士巴得6os6s=品.D巴得 想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是 sin esin-品C.D正确故话以D y=-30os4r,即g=经+2x(k∈ZD.因为0≤g< 10.ABD。【解析】由图可知f(x)的周期T=2× 2a,所以令=0，得9=受 (经一受)=，又T-石，所以w=2,由f(臣)=14.8 (4,6【解折】若了)在（）上检 ·49 ·数学· 参考答案及解析 好有两个最小值和两个最大值，且∫（零） 所以当x(0,。)时，f(x)<0,f(x)单调递减： f(受)则2T-要-音=受，所以。==8若 当x∈（日，十∞）时，/(x)>0,f(x)单调递增， x)在（答，晋）上恰好有两个零点，则 所以f()的极小值为f()=上n是=-是 e 无极大值。 (6分) 野≥要-晋-受 (2f)≥1-即xh≥1-是 g(x)=rIn z-In r=(r-1)In r,x>0. x,可得2<w≤6，因为x∈（答，受），所以r+丑 当0<xr<1时，x-1<0,lnx<0, 则g(x)>0: ∈（管+平，g+开），所以登<晋+≤，受 当x≥1时.x-1≥0，lnx≥0， <晋+<，又（晋）=f(腰)： 则g(x)≥0， 所以g(x)≥0， x-(+)=(g+平）-2x 所以xlnx≥lnx. (9分) 所以 令g(x)=lnx-1+1 2x<g+<受 >0. 则g(r)=1-1=x-1 x-(g+）=3x-(g+晋) 或 所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(.c)单调递减： 竖<+<m 当x∈(1，+∞)时，(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(1)=0, 肾+=x 所以n≥1-子 (13分) 或 g+子-4 解得a=号或@=4或w=6,所 所以n≥h≥1-子，当r=1时等号同时 以w的取值集合为（号4,6 成立， 四、解答题 所以n≥1-子.即x≥1-子 (15分) 15.解：(1)w=4, ∴∫(x)的最小正周期为T=π=灭 17.解：1)当9=号时，f(x)=5sin(2x+号） (3分) 令r+子-受：长z os(2r+号)=2sin(2r+晋） 解得=餐-吾6∈乙 + 6 2 个 3元 2x 13x 6 ÷∫x)图象的对称中心为（凭-希0）∈么 0 豎 2 (7分) f(r) 2 0 -2 (2),f(x)在区间[0，r]上单调递诚， 故函数∫(x)在区间[0，π]上的图象如图所示， ar+∈[年m+]s[o,受) y wm+晋<受，且w>0, 解得u∈(0，)】 即。的取值范围为(o,) (13分) 16.解：(1)因为f(x)=xlnx,z>0 所以f(x)=lnx十1， 令了)=0，得=日 (3分) (4分) ·50· 高三一轮复习HN ·数学 (2)f(x)=3sin(2x+9)-cos(2x+9) -24-10+1. (12分) 2sim(2x+p-） 当=区，即0=平时 因为∫(x)为偶函数， 所以9吾=x十受(k∈D (sin 0+cos 0-sin 0cos 即g=k饭+经k∈2， 所以f(0)m=8×(5-专）+6=8vE+2. 又0<<故g子 (8分) 即当日=牙时，建造观景区的总费用最低，且最低费 (3)在(2)的条件下，f(x)=2sim(2x+受） 用为(8瓦+2)万元. (17分) 19.解：(1)：f(x)的最小正周期为元m>0, 2cos 2x, :2红=元w=2. 将了(x)的图象向右平移晋个单位长度， 可得到函数了(x-吾）=20s[2(r-吾)门 又：f(x)的图象关于点（受，0）对称， 2cos(2r-于)的图象， 吾十9-km,k∈Z 再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍， 解得g=m一天，∈Z 可得到函数g(x)=20os(宁x一吾)的图象， <受…g=-晋 (12分) ∴f（x)=2sim(2a-晋） (3分) 令子r晋=m+受(ke20, 解得x=2kx+受（∈D: ∴g(x)=f(x+号)=2sin(2x+交）=2cos2x, ZER. 故g(.x)的图象的对称中心为（2kx十 ∴g(-r)=2c0s(-2x)=2c0s2x=g(x), g(x)为偶函数. (5分) (k∈7). (15分) 18.解：1)由∠P0D=0,0e(o,） (2)由1)可知f(x)=2sim(2x-若 f(1)m=2, 可得OD=cosd,PD=sin0, :任意x,∈[一1,1]，∈R,4+4十m(21- 所以矩形PCOD的面积为S=cos0sin0,0 21)十5≥f(x:)恒成立， ∈(0，受 ,4十4+m(2一2-1)+5≥2恒成立， 设21-21=1， △PBC的面积为Sax=之cos0(1-sin) 则45十4-1=(21-21)+2=2+2，(7分) cos0-2sin0cos0.0e(o,受)】 1 (5分) [-1e[-], (2)由题意可得建造观景区所需总费用为： .41十4十m(21一21)十5≥2可等价转化为 f(0)=16(2cos0-7sin6eos0）+8sin0+6= r+m+5≥0在e[-号，号]上相成立。 (8分) 8(sin0+cos0-sin0cos0)+6,0e(0,吾(8分) 令h(t)=2十m十5，其图象的对称轴为直线1= 设sin0叶eos0=,则sin os0-合f-之 受e[-号] 因为0<<受， ①当受<是，即m≥3时， 所以sin0+cos0=√2sin(0+于）∈(1w2]: A0=A(←号)-9-婴0， 即t∈(12]， 解得3<m<得 (11分) 所以sm0计cos0-sin0cas0=-合f十1计号 @当-2< 受<号即-3<m<3时 ·51· ·数学· 参考答案及解析 A)=h(-受）=5-T>0, 解得一得<m<-一3 (15分) 解得-3<m<3: (13分) 综上，实数m的取值疱围是[一号器] (17分) 当-受>号，即m≤-3时， 4=6(号）=9+婴>0， ·52·