(7)函数、导数的综合应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习HN ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（七） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V.数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ①② ③① 档次系数 1 选择题 5 平均变化率 易 0.80 2 选择题 5 分段函数求值 易 0.78 3 选择题 由函数的最值求参 易 0.72 4 选择题 5 函数图象的识别 中 0.65 5 选择题 5 由函数的极值求参 中 0.55 6 选择题 利用函数性质解抽象 不等式 √ 公 0.45 7 选择题 利用导数解决资源最 省问题 v 8 0.40 8 选择题 5 利用导数比较大小 难 0.28 9 选择题 6 函数单调性与奇偶性 的判断 $ 0,72 10 选择题 6 利用导数研究三角函 数的性质（数学文化题） 么 0.50 利用导数判定不等式 11 选择题 6 成立 妆 0.25 12 填空题 5 由函数的单调区间 易 求参 0.78 由直线与曲线相切 13 填空题 5 中 0.55 求参 14 填空题 5 由不等式的整数解 难 0.25 求参 15 解答题 求函数极值，由不等式 13 有解求参 易 0.72 ·35· ·数学· 参考答案及解析 解答题 利用导数求曲线的切 16 15 名 0.60 线方程 利用导数研究函数的 17 解答题 15 单调性，由不等式求参 中 0.45 数的最小整数值 利用导数求函数的值 18 解答题 17 0.28 域，研究方程的根 路 利用导数研究函数的 19 解答题 17 极值，由不等式求参， L 难 0.25 证明数列型不等式 季者管案及解析 一、选择题 1.B【解析】因为f(-1)=-3+1=-2,f(2)=24- 数，由<0，得x与j()异号，两出/(x)的为 2=22,所以f(x)从x=一1到r=2的平均变化率为 致图象，由图象可知原不等式的解集为（一©，一3）U 4y=12)-f-1D_22+2=8.故选B (3,十c∞).故选B. △x 2-(-1) 3 2.D【解析】由题得，f(9)=f(f(14))=f(2×14 15)=f(13)=2×13-15=11.故选D. 3.A【解析】由题得了(x)=-1=,>e,当 a≤e时，了(x)<0,故f(x)在(e,十o)上单调递减， 此时f(.r)在(e,+oo)内无最值：当a>e时，若x∈ (e,a),则f(x)>0:若x∈(a,+ao),则f(x)<0 故f(x)在(e,a)上单调递增，在(a,+oo)上单调递 减，故f(x)在x=a处取最大值.综上，实数a的取值 7.C【解析】当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到 范围为(e,十o).故选A. 4,B【解析】由题可知f(x)的定义域为R, 乙地需行龄9小时，设耗油量为f()升，依愿意得 'f(-x)=c0s(-x)+31-+1-3=c0sx+31川 f)=(1配-六+9）×29=品r+ 一3=f(x),.f(x)是偶函数，排除D:又f(1) cos1+3一3=cos1>0,排除A:当x>0时. 10-80<≤120).则fx)=-120< f(r)=cosx+3-3,(x)=-sin r+3'In 3. 3ln3>1,.f(x)>0,.f(x)在(0，+∞)上单 x≤120).令f(x)=0.得x=90,所以当x∈ (0,90)时，(x)<0,f(x)单调递减：当x∈ 调递增，排除C.故选B. (90,120]时，f(x)>0,(x)单调递增，所以当x= 5.C 【解折】由题可知f(x)=2nx+之r+2ar的 90时，∫(x)取最小值，即当汽车匀速行驶的速度是 定义域为(0，+∞)，/（x)=+2a+2,因为 90千米/小时时，从甲地到乙地耗油最少，故选C. 8.B【解析】因为y=1n(1十x)<x,x∈(0,1)，所以 f(x)有两个极值点，所以方程x2+2ax十2=0有两 a=ln1.5<0.5,又e>x+1,x∈(-1,0)，所以b= 个不同的正根1，则△=4如-8>0 e0.>1-0.5=0.5,所以b>a.令y=x-sin r,∈ 山十=-2a>0解得a< (0,1),则y'=1一cosx>0,所以y=x-sinx在区间 一√瓦，所以实数a的取值范围为（一co,一√2）.故 (0.1)上单调递增.所以0.5-sin0.5>0,即c<0.5, 选C 所以b>c.令f(x)=sinx-ln(1十x),x∈(0,1)， 6.B【解析】由函数f(x一1)的图象关于点(1,0)对 则f)=cosx一1十7，令g()=fx,则g'(x)= 称，知f(x)的图象关于原点对称，故f(x)是奇函 ·36 高三一轮复习HN ·数学· 1 一sinr+a十r,易知p(x)在区间(0,1)上单调递 f(3x)=0,所以f(x)的最大值为3，所以B正 减，又9(0)-1，g'(1)=-sin1+ 1 4 <-sin+ 确；对于C,因为f(x+2x)=sin(.x十2x)+ 1 、1 <0,故9(x)即了(x)在区间(0,1)上先增后 sin 2(r+2)-sin sin 2rf () 减，因为了0)=0fD=os1-专>0音-号 1 -simx-之sin2,所以f(x+2x)≠f(-x).所 以f(x)的图象不关于直线x=π对称，所以C错 =0,所以了(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)上单调递 增，故f(0.5)>f(0)=0,即sin0.5>1n1.5,故c> 误：对于D,由f(x)=snx+sin2x=sinx+ a,综上，a<c<h.故选B. sin reosr=0,得sinx=0或cosx=一1，因为r∈ 二、选择题 [0,2x],所以由sinx=0,得x=0或x=π或x= 9,BC【解析】对于A,因为)=的定义域为 2π，由cosx=一1，得x=x,所以f(x)在区间 [0,2x]上有3个零点，所以D正确.故选ABD. （-0,0)U(0.+o.且f-x)=向=f(x).故 11.ABC【解析】对于A,由了(x)>0,可知f(x)在 f(x)为偶函数，又当r<0时，f(r)=一单调递增， (0,十)上单调递增，又0<x<x·则0< f(1)<f(),所以1f()<xf(x),A正 故A错误：对于B.因为f(x)=21|+2的定义域 确：对于B,因为0<<1<z,且x1T:=1,则x+ 为R,且f(一x)=f(r),所以f(.x)为偶函数，又当 x>2√x1a=2.即x>2-x>0,因为f(x)在 x<0时，(x)=2+2在（一o∞，0）上单调递减，故 (0,十∞)上单调递增，所以f(x)>f(2-1),B B正确：对于C,因为f(x)=lg(x+1)的定义域为R, 正确：对于C,令g(x)=fC2(x>0),则g(x)= f(一r)=lg[(-x)2+1]=f(x),所以f(x)为偶函 数，又函数y=x2+1在（一∞，0）上单嗣递诚，y= gx在其定义域上为增函数，因此f(x)=g(x十1) ()一2>0，可知g(x)在(0，十∞)上单调递 在（一∞，0）上单调递减，故C正确：对于D,因为 增，因为0<x<x2,所以g()<g(x:),即 f(x)=x2-1的定义城域为(-0,0)U(0,+∞)，且 1<2.汉两为>0.则0<} e e f-)=（-T)-(-x万=-fx).所以f(x)是 -c44,可得n}<1ne4,所以 f(x:) 奇函数，故D错误.故选BC Inf(x1)-lnf(x:)<x-x2,C正确：对于D,由 10,ABD【解析】对于A,因为y=sinx的周期T= C可知f)<f》,且=1，则f(x)> 2x,所以频率为云，所以y=专sin的频率为2X e 安之所以周期了=，所以经=解得。=2，所 会fa)=吃)，取=合则 -x1 以fr)=nx+m2x∈R),因为y=m 号则e时4=>是=2->0，所以f)> e-f(x)>(2-x1)f(x1),D错误.故选AB. 的周期T=2,y=立sn2x的周期T=,所以 三、填空题 f(x)的最小正周期为2π，所以A正确：对于B,因 12.3【解析】令f(x)=a-2x-1=-2r-ar+」 为f(x)的最小正周期为2m,不妨设x∈[0,2x],由 >0,得2.x2一ax十1<0，由题意可知此不等式的解 fx)=nr+sin2,得了()=c0sr+os2z 集为（分1），故号+1=号，解得a=3 =2cos'r+cos r-1=(cos +1)(2cosr-1), f)>0,得ms>名或0sr<-1(会去).则0< 13.8【解析】由y=nx一2红，可得y=一2+子因此 曲线y=lnx一2x在点(1，一2)处的切线的斜常为 r<子或受<r<2x,此时∫(x)单调递增：由 -2+1=一1，所以曲线y=nx一2x在点(1，一2) 处的切线的方程为y十2=一(x一1)，即y=一x fx)<0,得-1<cosx<则受<x<受，此时 1,因为y=-x1与曲线y=a.x2-(a十1)x+1相 了(x)单调递减，所以当x=亭时，(x)取得极大值 切，所以a.x2一(a+1)x十1=一x一1有一个实数 解，整理得ax2一ar十2=0，当a=0时，显然该方程 (倍)=血吾+号m警-+-5因为 不成立；当a≠0时，△=a”一8a=0,解得a=8或a= 4 0(舍去).综上，a=8. ·37· ·数学· 参考答案及解析 1[是) 【解析】当k=0时，不等式x>0有无 解得a≤2030， 即实数a的取值范围为（一∞，2030]. (13分) 数个正整数解，不满足题意：当k<0,x>0时，不等 16.解：(1)因为y=x2-3r,所以y'=2.x一3， 式x2一k(x十1)e>0恒成立，有无数个正整数解， 设切点为(x6·”), 不满足题意：当k>0时，不等式x一k(x十1)c>0 则y-=2x一3=1，解得0=2， 等价于号>k(x+1),令f)=所以f() 所以%=x一3x0=一2， 所以切线方程为y十2=x一2，即x一y一4=0. 2x-x=(2-),当x<0时，了(x)<0 (5分) e e f(x)单调递减：当0<x<2时，了(x)>0,f(x)单 (2)设切点为(1y)(≠4)， 调递增：当x>2时，了(x)<0,f(x)单调递减，又 则y1-1=2一3， -3 f0)=0(2)-合，且当一+∞时)-0，所 所以-2-3 以结合单调性可知，当x>0时，∫(x)>0恒成立， y=2i-3n 而y=k(x十1)表示经过点（一1,0）的直线，由图象 解得=3或=5 可知，若关于x的不等式x2-(x十1)e>0恰有3 =01y=10 所以切点为(3,0)或(5,10)， (10分) (1+1)k< e' 当切点为(3,0)时，切线的斜率k=2×3一3=3， 个不同的正整数解，故只需满足 （8+1)k<号解 所以切线方程为3.x-y-9=0: (12分) 当切点为(5,10)时，切线的斜率k2=2×5-3=7, (4+1)>9. 所以切线方程为7x-y-25=0. 综上，过点(4,3)且与曲线C相切的直线方程为3x 得≤<9 5e 则实数的取值范周是[是) -y-9=0或7.x-y-25=0. (15分) 17.解：1)由题得f)=)心-(-1+） fx= (-Detar(r-D_(r-1)(ta) 因为(x)在(1，十∞)上不是单调函数， 所以了(x)在(1，十∞)上有变号零点， 四、解答题 因为二1>0恒成立， r 15.解：(1)由题可得f(x)=一3x2+6.x十9=-3(x- 3)(x+1), 令g(x)=二+a,则g(x)在(L,+四)上有变号零 令(x)=0.得x=3或-1. (3分) 点 (3分) 当x变化时.f(x),f(x)的变化情况如表 因为g(x)=1)E>0. x 1, (3, 3 所以g(x)在(1，十∞)上单调递增， -1) 3) +o0) 因为g(1)=e十a, (r) 0 0 当x趋近于十∞时，号趋近于十∞a为待定的参 数，故g(x)趋近于十， 故只需e十a<0,即a<一e, 单调 单调 单调 f(x) 5+a 所以实数a的取值范围是（一∞，一e) (7分) 递减 递增 27+a 递减 r-l)(号+a】 所以∫(x)的极小值为∫（一1）= 一5十a,极大值为 (2)由(1)得，(x)= f(3)=27+a. (6分) 当a≥一e时，f(x)在(1，+o∞)上单调递增， (2)由(1)可知f(x)在[-2，一1)上单调递减，在 所以f(x)>f(1)=e>0成立. (9分) [一1,2]上单调递增， 当a<一e时，存在6∈1，十∞)，使得 故当-2≤r≤2时，f(x)mm=f(一1)=-5十a. f(0)=0, (9分) 要使∫(x)≤2025在区间[-2,2]上有解， 则a=一 只需f(x)m=-5+a≤2025， 当x∈(1，x)时，f(x)<0:当x∈(xo,十∞)时 ·38· 高三一轮复习HN ·数学· f(x)>0, 所以在(0,2)上，'(x)<0:在(2，+∞)上， 所以f(x)在(1，x)上单调递减，在(xo,十∞)上 h'(x)>0, 单调递增， 所以方(x)在(0,2)上单调递减，在(2，十∞)上单 所以fx)w=f()=g鸟 -a(1-za十lnxa)= 调递增， 所以h(x)≥2-2ln2=lne2-ln4>0, -a-a(1+lh号）=-a[2-a(-)],a3分) 所以g(nk)=k(k-2nk)>0, 令-a[2-ln(-a)]≥0，得ln(-a)≤2， 所以当>e时，g(x)在(0，nk)和(lnk,+∞)内 各有一个零点， 解得一e≤a<一e, 综上.a≥-e2≈-7.39， 即当k>e时，g(x)在(0，十c∞)上仅有两个零点. (15分) 所以a的最小整数值为一7 (15分) 18.解：(1)当k=0时，f(x)=ze(.x∈R), 综上，实数k的取值范围是(e,十eo). (17分) 1.解：由题得了)=克4>-… 2ax 所以f(x)=(1十x)e, 令f(x)=0,则x=-1, 因为x=1是f(x)的极小值点， -2,-1) -1 (-1,2] 所以了=号-号=0，解得a=1, (2分) f(x) 0 此时了(x)=1 x-2x+1 x+(r+1)-(x+D(x+1) f(x) 单调递减 -1 单调递增 =x-1)(+x2+x-1) (x+1)(x2+1) 所以f(r)m=f(一1)= 1 e (3分) 易知y=x2十x十x一1单调递增 2 所以，当x>1时，f(x)>0,(x)单调递增 又f(-2)=- f(2)=2e, 当号<x<1时x+r+-1>(号)广+（号）广+ 所以f(x)在[一2,2]上的值域 [-2e] (5分) 号-1>0，-1<0 (2)若关于x的方程「(x)=0恰有两个不等正 所以f了(x)<0,f(x)单调递诚， 实根， 所以x=1是f(x)的极小值点. 则∫(x)=xe-kx2=x(e-kx)在(0，十oo)上仅 综上，a=1. (5分) 有两个零点， （2)设F(r)=fx)-mr-ln(x+D-中市一mx, 2 令g(x)=e一kx,则问题等价于g(x)在 (0,十∞)上仅有两个零点， 则F)=克年)-mFo)=1-m 因为g(x)=e-k,x∈(0，十∞)， ①当m<1时，F>(0)=1-m>0, 所以e>L. 因为F(x)的图象在区间[0，十∞)内连续， ①当k∈(-o∞，1]时，g'(x)>0在(0，+∞)上恒 成立， 所以存在正数，当x∈[0，x)时，F(x)>0, 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， F(x)在区间[0，x)内单调递增， 所以g(x)>g(0)=1: 此时F(x)≥F(0)=0,与已知矛盾， 所以m<1不成立： (8分) 所以g(x)在(0，十∞)上没有零点，不符合题意： (9分) ②当m≥1时，F(x)= +1（x+1)一m ②当k∈(1，十∞)时，令g‘(x)=0,得x=lnk, 所以在(0，lnk)上，g'(x)<0:在(lnk,十∞)上， +(x千1)-1 g(x)>0, r 1 2 所以g(x)在(0，lnk)上单调递减，在(nk,十o∞) =-市+r]0 上单调递增， 所以F(x)在区间[0，十∞)内单调递减， 所以g(x)的最小值为g(lnk)=k一klnk, 所以F(x)≤F(0)=0,即f(x)≤m. 因为g(x)在(0，十∞)上有两个零点， 综上，实数m的取值范围为[1，十o∞). (10分) 所以g(lnk)=k一nk<0,所以k>e (12分) 12x x-2r十1 因为g(0)=1>0,g(lnk)=k-klnk2= (3)f(x)x中(x+1(x+1)(r+1) k(k-21nk). 令h(x)=x-2lnx,h(x)=1-2=I-2 当e[0号]时r-2r+1=+0-2>0 所以广(x)>0, ·39 ·数学· 参考答案及解析 所以x)在区间[0,2]内单调递增。 =11 nn+ 所以f(.x)≥f(0)=0, 所以1n(1+号)+n(1+3)+…+n(1+) 即a+≥千行 (13分) >(3-3)+(3-)++(日) 令x=(m≥2，neN).则0<r≤号 17分) ·40·高三一轮复习单元检测卷/数学 8.已知u=1n1.5.h=e.c=sm0.5,则 A.acbe B.@<c6 (七)函数、导数的综合应用 C.bEaCe D.rsu (考试时间120分中，满分10分) 二，选择题《本题共3小题，每小题石分，共18分。在每小题给出的送所中，有多项符合 圈目要求。全部选对的得6分，第分远对的得部分分，有选错的得0分) 一、选择题《本圈共8小题，每小圈5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 .下列函数低是偶函数，又在（一阳，0）上单翼递减的是 项是符合题目要求的) B.fx)-2|+2 1.若函数(x)=3一t,则f(r)从r=一1到x=2的平均变花率为 u-词 A.6 B.8 C.10 12 C./x)=lgx2十1) D.K)=- 么，设函数(x)= f+5.5<10:题f9)的值为 10,法国数学家博里叶用三角函数隆释美她音乐，代表任何周期性声音和震动的函数表 2x-15, z310. 达式霜是形如y=AnwT的简单正弦理函数之和，这些正弦型函数各项的顿率是 A.28 14 C.13 D.11 最低频率的正整数倍（银率是指单位时国内完成周期性变化的次数），其中镇率最低 3.已知函数z)=a(nx一1)一t(:∈》在区同(e,+o)内有最值，则实数g的取值 的一项所代表的声音称为第一泛睿，第二泛音的幅常是第…泛音的2倍.第三泛晋 范周是 的颜率是第一泛音的3倍，侧如，某小提琴流奏时发出声音对应的震动模型可以 A.(e,十∞》 货+∞】 C.(-oo.e )(-0,一e) 用知下函数表达：y=0.06sin1000xf+0.02xin2000+0.01in3000xr(其中自 4.函数fz)-sx十3川一3的大数图象是 变量·表示时同)，每一项从左至右依次称为第一泛青，第二泛音，第三泛音.若一个 复合音的数学校型是函数了一m十字no4∈R)(从左至右低次为第一泛 音，第二泛音)，期下列结论正确的是 A.(x)的一个周期为2云 一)的经大值为39 5,若函数f一2山x十三r+2ax有两个极值点，则实数：的取值范国为 Cf八x)的阁象关于直线工一：对称 D.f(x在区[0,2：]上有3个零点 1l.定义在(0，+∞)上的函数f《.x》的导函数为了(x),且0<f(x)<了(x),若0<x1< A.(02) B{2,+oo) 1<,且4=1，则下列不等式一定成这的是 G{-e.-,2) D.(-,0)U(2,+o) A.nfn)>nfG) Bf1>f2-》 6.已知定义在R上的函数Fx)在区间0，十○)上单调递就，且函数fx一1)的图象关 C.In f(r)-In f(z:Cn-r: D.K(n:)<(-n)f(n) 于点.0，对称，8)-0，则不等式品0的解集为 班级 名 分数 5 A.(-3,0)U0,31 B.(-00,-31U3.+o1 答案 C,(-3,0U(8,+o) D,(=5,-3)U(0,3》 7.统计表明，某种型号的汽车在匀速行观过程中每小时的耗谢量（单位：升）关于行驶 三、填空题（本题共3小思，每小题5分，共15分》 莲度（单位：千米小时）的解桥式可以表示为y一配0一云十9(0<发 12.已知雨数x)=x(:一x)一n士的单到通增区鸭为（号小，则口= 120.若甲，乙两地相距200千米，则当从甲地到乙地耗油最少时，汽车匀速行驶的速 13.已知曲线y一nx一2r在点《1，一2)处的切线与曲线y一4一(e+1)r十1相切，则 度是 4= A.0千米/小时 B80千米/小时 14,已知关于r的不等式x-(红十1e>0恰有3个不同的正整数解，划实数 C.0千米/小时 D.100千米/小时 的取值范国是 数举第1页（共4页1 衡水全海·先享赠·高三一轮复习单元检测卷七 数学第2面（共1置） HN 四、解答题（本圈共5小圆，共77分。解答应写出必要的文学说明，证明过程或流算少最） 18.(本小题清分17分) 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x一e-r,k∈R, 已知雨数八x)=一+3x十9r十 (1)当=0时，求f(x)在[-2,2]上的镇域： (1)求fx)的极值： 〔2)若关于了的方程f(x)一0恰有两个不等正实根，求兔的取值范围. (2)若3+E[一2,2]，/《r)≤225，求实数4的取值草围， 15.〔本小题满分15分) 已知曲线C:y一x一3 (1)求与直线x一y一3=0平行日与曲线C相切的直线方程， (2)求过点(4，)且与尚线C相切的直线方程. 19,(本小题清分1？分) 已知函数/)-a十)一行一是)的版小值点， (1)求的值， (2)当0时，()≤mx,求实数m的取值范围： 3E明：h1+是十n+号》+m++)>支m≥2.neN 17.(本小题调分15分) 已知函数f(r)=g 一a(1一r十lnr),其导肠数为F(x) (1)若f(x)在小，十©)不是单调函数，求实数：的取值直围： (2)若x1时，f(r》0,求a的最小整数值.{ea7.39) 数学第3夏{共4质) 衡水金整·先享超·离三一轮复习单元检测蜂七 数学第4页（共4页} H网