(6)一元函数的导数及其应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习单元检测卷/数学 二、选择题（本周共3小周，每小题6分，共18分。在每小愿始出的选W中，有多项符合 题日要求。全部选对的得台分，部分远对的得部分分，有选错的得0分) (六)一元函数的导数及其应用 ,已知函数f(c)的导丽数了()的图象如图所示，则关于/()的 (考试时间120分伸，满分150分) 说法错误的是 A.在一，0)上为减函数 一、选择题《本圈共8小题，每小圈5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 B.在x一0处取极小值 项是符合题目要求的) C.在1,2)上为或函数 1,某质点的位移y(单位：m1与时间（单位：》满足函数关系式y一2：一3：，则当一1 )在x=2处取极大值 时，该质点的厨时连度为 10如图，横跨信江河的上饶大桥形如船帆，寓意扬航起航，建成的上绕大桥对上饶市实 A.3 m/s 且5m/s C.10 m/s D.12 m/s 笛大品牌，大产业、大发展”的战略产生了深运影响，上烧大桥的桥烟为自精式独塔 之.函数x)=血工一（侣广的零点所在的区时为 空间主缆悬求桥，其主菊在重力作用下自然形成的血线称为显链线，一般地，是链线 A.0.1) &1.2) C(2.e D.(e,3) 的函数解桥式为x)一三+： -(a>01,则 24 已知函数f=包co(2r+}-1,则mam AV≥0，(x》为偶函数 2r A.-1 B.-2 且3a>0,f2)有最小值三 C.1 D,2 C.3a>0,fx)在(0.十)上单训递战 .雨数代x》=实+户的部分图象大致为 D.Va>0,fr)在（一o的，01上单蜀通减 11.已知函数f(r)=十x十a2x+,期 A(r》可以为奇函数 B.(x)的图象关于点（一，0）中心对称 C,f(x)在R上单蜀递增 D.yr>-a时，f(x)<0 肝缝 性名 分数 号 答累 5,已知函数(x)=ae一nx在(1,2)上单调递增，则实数g的取值意图是 三，填空题（本圈共3小图，每小圈5分，共15分》 侵+ C.[.+) 18.已知雨数fr-山)-6.则2) 6.已知a=1og0.009,=3.t=0.2,则 A.a<bKe 且a<d 13.若直线y一一】与亩线y一n(x一)相切，则6的最小值为」 C.cCu<I D.cCicu 14,如图是米自古希普数学家希破克拉底新研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三 7,已知函数fx)=ae一1eER),当x∈[0,2]时，f代r)在x一0处取得最大值，知a 个半圆的直径分别为直角三角形AC的斜边C,直角边AB,直角边AC.若成C 的取值范围为 10,过点A作AD⊥BC于D,当△ABD面积最大时，黑色区域的面积为 A.(-9,D] [.+司 c.(-.) n得) 8,已知直线y=★r十6是由找f《r》=r产一(a十1)和g(r)=alnx一1的公切找，则k的 最大值是 人名 C.2 D.4e 数举第1页（共4页1 衡水全海·先享赠·高三一轮复习单元检测卷大 数学第2面（共1页） H四 四、解答题（本圈共5小圆，共77分。解答应写出必要的文学说明，证明过程或流算少最） 18.(本小题清分17分) 15.(本小题满分13分》 已知函数fx)=(r十1)于+lnr十at 已知雨数f(r1=一+3x2十9r一2， (1)讨论代)的单调性： (1)求由线y-f(x)在点(0，/(01)处的切线方醒： (2)若方程(.？)一在区间[一2,4门上有解，求实数的取值范围， (2证明：当<0时，u3一琴-2a+1 16,(本小题满分15.分) 已知南数了(r}一4x十A一3r在x一一1和x一1处取得极值. (I)求实数，力的值： (2)求fx)在[一1,4内的最值. 19.(本小题端分17分) 已知雨数f)=o8产.rE0,,/(是fr)的导函数 r 17.(本小题满分15分) (1)证明：了(x)存在唯一零点： 经过市场翼查，某小微企业计财生产一数小型电子产品，已如生产该产品需投人 (2)若关于士的不等式广)十片+0有解，求实数a的取镇范 定成本2万元，每生产万件，需另投人流动成本P(x)万元，当年产量小于万件 时，Px)=女+2万元，当年产量不小干9万件时，P)=5r十nr+号一2 (万元).着每件产品的售价为6元，且该企业生产的电子产品背年能全部售完. (1)写山年利阁Qx(万元》关干年产量（万件）的函数解析式：（准：年利润=年销 售数人一固定减本一动成本) ()当年产量约为多少万件时，该企业的这一产品所获年利铜最大？最大年利润是 多少？（参考数据：e20) 数学第3夏{共4页) 衡水金整·先享题·离三一轮复习单元检测蜂大 数学第4页（共4页} H网高三一轮复习HN ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（六） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 1.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题号 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题型 (主题内容) ① ②③④ 档次系数 1 选择题 导数的物理意义 易 0.80 2 选择题 5 判断零点所在区间 易 0.78 3 选择题 5 导数的极限定义 易 0.72 4 选择题 5 函数图象的识别 中 0.65 5 选择题 由函数单调性求参 书 0.55 6 选择题 6 比较指、对数值的大小 中 0.45 选择题 5 由函数的最值求参 中 0.40 8 选择题 利用导数研究两曲线 的公切线 难 0.28 9 选择题 6 利用导函数的图象研 究函数的性质 易 0.72 10 选择题 指数型函数性质的综 6 合（数学文化题） 中 0.60 11 选择题 利用导数研究三次函 0.40 数的性质 12 填空题 由导数运算求函数值 √ 易 0.78 13 填空题 5 由直线与曲线相切 0.55 求参 利用导数求几何图形 14 填空题 5 / 中 0.35 面积的最值 15 解答题 13 求切线方程，由方程有 易 0.72 解求参 16 解答题 15 由函数的极值求参，求 0.60 函数的最值 名 ·29· ·数学· 参考答案及解析 17 解答题 15 导数的实际应用 中 0.45 国 解答题 利用导数讨论函数的 17 单调性，证明不等式 你 0.28 利用导数研究函数的 19 解答题 17 零点，由不等式有解 的 0.25 求参 医者答案及解析 一、选择题 6.C 【解析】因为1=log.40,04<a<log.40.008= 1.B【解析】因为y=8-3,所以当t=1时，y'=5, 则该质点的瞬时速度为5m/s.故选B. ga.2=号b==>-是-2 2.B【解析】因为f(.x)=lnr (号) 的定义域为 <0.2=1,所以c<a<b.故选C. (0,+o∞)，且y=lnx,y=- (广 在(0，十0)上 7.A【解析】由题得了()=ae-6x=e(a-), 均单调递增，所以∫(x)在(0，十o)上单调递增，又 令g)=g(x)=61卫.当x<1时 e 因为f1)-n1-言-方(2)=n2-司 g(x)>0,g(x)在（一，1）上单调递增：当r>1时， 9 g'(x)<0,g(x)在(1，十∞)上单嗣递减，且当t→ n6-言立-言>0，所以f1)·f2)<0,所 一o∞时，g(x)→-∞：当x~十o∞时，g(x)→0，g(x) 的图象如图所示， 以f(x)在(1,2)上存在唯一零点.故选B 3.A【解析】因为了(x)=-22sim(2x+于)所以 f()=-2,所以m△r+)-f)=-2,所以 Ar mCAr+x）二Cπ2三1 lim+π)二fCπ2= 2△r Ar 一1.故选A. 4.D【解析】函数f(x)=g+r）的定义域为 六gr=D=g当a>时，a-8g>0, cos a ∴，f(r)≥0，f(x)在[0,2]上单调递增，不符合题意： {女≠+受∈z,因为-)=] 当a≤0时，g(x)≥0在[0,2]上恒成立，.(x)≤ cos(-x) g+)=fx),所以f(x)为偶函数，其图象 0,.f(x)在[0,2]上单调递减，此时f(x)在x=0处 cos r 取得最大值，符合题意：当0<a<6时，4-=0有 e 关于y轴对称，故排除B:f(0)=lg1十02=0，故 c080 两个不等实根x1,(0<<1<x:),当0<x<x 排除C:当x∈(0，受)时，f(x)>0,故排除A.故 时a号>0f)>0:当<<时a-g< 选D. 5,C【解析】因为f(x)=ae一lnx在(1,2)上单调递 0/x)<0:当>时e-g>0fx)>0, 增，所以了)=ae->0对任意re1,2)恒成 .f(x)在[0，]上单调递增，在(x,r)上单调递 减，在[x4,十o∞)上单调递增，不符合题意.综上，a≤ 立，所以≥()令8x)=克1,2).则 0.故选A. 8.B【解析】设曲线f(x)=x2一(a+1)上的切点为 g'(x)=- 岩<0，所以g)在(1,2)上单润递减， (1,-(a+1),曲线g(x)=alnx-1上的切点 为(x,alnx2一1)，因为y=kx十b是曲线y= 所以g<g1)=己则a>故选C f(x)和y=g(x)的公切线，所以了(x1) g'(x2)=k,由f(x)=x2-(a十1)，可得(x)= ·30· 高三一轮复习HN ·数学· 2r,则k=(x)=2x1,又由g(x)=alnx-1,可得 三、填空题 8'(x)-是，且x>0,则k=8()-号，所以2x 12.-27 【解析】了(x)=--6,令x=1,得 4=4ln-+e,则2x= ah元-+a f(1)=- 1卫-6，解得子(1)=一3，故 1 ，即 T2一T1 2 f(r)=- -6，所以f2)=-是-12-3 2 aln是+i=0,显然a同号，当a<0时，<0， 13.- 1 e 【解析】设切点为(x,),则 此时k=2x1<0:当a>0时，x1>0,设h(a) (yo=In(zo-b). %=aro一1， =+1 alh2+,则方(a)=1+na-n(2n,令 所以a>0,且 1 %=一ha,所以 (a)=0,可得a=0,所以当a∈(0，)时， to-b=a, %=ab, b=-na.令g(a)=-ha,则g'(a)=-1-n4 Na)<0,h(a)单调递减：当a∈（色，+e）时， a a '(a)>0,h(a)单调递增，要使得h(a)=0有解，则 =na-1,所以当a∈(0，e)时，g(a)<0,g(a)单 a 2n 调递减，当a∈(e,+∞)时，g(a)>0,g(a)单调递 需()0.唧0n云+i<0.即-要+≤ e e 增.所以g(a)a=g(e)=-上，即b的最小值为 e 0,解得0<1<名，所以k=2<,即k的最大值 、 e 为放选B 14.25 2 【解析】因为黑色区域的面积=以AB为直 二、选择题 径的半圆面积十以AC为直径的半圆面积一以BC 9.ABD【解析】由图知，在区间（一∞，0），(2,4)上， 为直径的半圆面积十S么Mm=S△r,设BD=x,0< 了(x)>0,则f(x)单调递增：在区间(0,2)，(4， x<10,则DC=10-x,因为△BDAc△ADC,所以 +∞)上，了(x)<0,则「(x)单调递减，所以 f(x)在x=0,x=4处取极大值，x=2处取极小值， AD=VI0-可，所以Sam=号xV40-可 故A,B.D错误.C正确.故选ABD. 2V0r-7.令f(x)=10x2-x(0<x<10) 10.AD【解析】Ya>0,f(-x)=e三+e兰 2a 则(x)=30r2-4x=-2x2(2x-15),所以 e兰-f（),A正确：f()=白e兰≥ f()在(o,艺)上单调递增，在（受，10）上单调递 2a 2a 2后·©立=上，当且仅当x=0时等号成立，B 减，所以当x=时(x)取最大值，此时Sm也 2a 错误：令m=,1=心，=1+y-六，当x 取最大值所以AD=√停×(0-)-9，所 (0,十∞)时，对每层函数的单调性进行判断后，根 以5m-号××10=25，所以黑色区城的 2 2 据复合函数的单调性易知f(x)在(0，+∞)上单 调递增，故C错误：因为f(x)为偶函数，所以 面积为25 f(x)在（一∞，0）上单调递减，故D正确.故 四、解答题 选AD. 15.解：(1)f(x)=-x2+3.2+9x-2. 11,AC【解析】对于A,当a=0时，f(x)=为奇函 .f(x)=-3.x2+6x+9, (2分) 数，故A正确：对于B,f(0)=a,∫(-2a) .f(0)=9. -5a3,当a≠0时，f(0)+f(-2a)=-4a≠0，此 又f(0)=-2, 时，f(x)的图象不关于点（一a,0)对称，故B错误： .曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 对于Cf()=ar+2ar+a=3(+号)'+2婴 y-(-2)=9x,即9x-y-2=0. (6分) 3 (2)由(1)得f(x)=-3x2+6.x+9 ≥0，所以∫(x)在R上单调递增，故C正确：对于 =-3(x-3)(x十1)， D,因为(x)在R上单调递增，且f(一a)=0,所 令(x)=0,解得x=3或x=-1, 以当x>一a时，f(x)>f(一a)=0,故D错误.故 ∴当x∈(-2，-1)时，∫(x)<0,f(x)单调递减： 选AC. 当x∈(-1,3)时，f(x)>0,f(x)单调递增： ·31 ·数学· 参考答案及解析 当x∈(3,4)时，广(x)<0,f(x)单调递减，(9分) 综上，当x=e≈20时，Q(x)取得最大值16万元， :f(-2)=0,f(-1)=-7,f(3)=25,f(4)=18, 即当年产量约为20万件时，该企业的这一产品所获 ∴.f（x)mn=25,f(x)m=-7, (12分) 年利润最大，最大年利润是16万元. (15分)》 ∴.实数k的取值范围为[一7.25]. (13分) 18.解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，十∞)， 16.解：(1)由题得(x)=3a.x2+2br-3, f(x)=2(x+1)+4+a=2r+a)r+D ,(1分) :子(r)=0的根为一1和3， -1+3=-2 所以当a≥0时，f(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单调 a 递增： (2分) -1×3=- 当a<0时.令f)=0.解得x=-兰， 解得=号. (6分) 所以当0<r<-号时，f(x)<0,f(x)单调递减： b=-1 当x>-号时，f()>0,x单调递增。 (5分) 1 (2)由1)得f(x)=3x--3. 综上，当a≥0时，f(.x)在(0，十∞)上单调递增： f(x)=x2-2.x-3=(.x-3)(x+1, 当a<0时，f(x)在(0，-号)上单调递减，在 ∴f(x)在（一4，一1）上单调递增，在(-1.3)上单 调递减，在(3,4)上单调递增. (10分) （-号，十∞)上单调递增。 (6分) 又f(-4)=-9f(-1)=亭13)=-9 5 (2)由1)知，当a<0时，f(z)在(0，-号)上单调 f(4)=- 20 31 递减，在（一号，十）上单调递增， fx)m=f-4)=-9f(x)n=f-1) 76 所以f)≥/(-受)=-号-a+1+ah(-号) 3 (15分) (9分) 17,解：(1)因为每件产品的售价为6元， 令a=一lh一1，则g)=1-= 所以x万件产品的销售收人为6x万元， 则当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递诚： 由题意可得，当0<x<9时， 当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， (12分) Q(x)=6x-2-P(x)=6x-2-(r2+2x) 所以g(x)≥g(1)=0,即x-lnx-1≥0. -产+4r-2: (14分) (3分) 故n(-号)<-号-1. 因为a<0, 当x≥9时，Q(r）=6x-2-P(r)=6.x-2 (6x+nx+号-2）=20-n1-号 (5分) 所以x)≥-号-a+1+aln(-号)≥-号-a+ -+r-2.0<r<9 1+a(-号-1)=-34-2a+1. 4 (17分) 综上，Q(x)= (6分) 20-In x-c 19.解：1)由题可得/(x)=二(rsin+eos）,r∈ r9 (0,元]， (1分) (2)由(1)可知，当0<x<9时，Q(x)= x2+4x 令g(x)=rsin x+cosx, -2=-(-8)+14≤14 当(0，受]时g(x)>0 当且仅当x=8时等号成立： (9分) 故f(u)在(o,受]上无零点 (2分) 当x≥9时，Q(x)=20-1nx-g 当xe(受，x]时g'x)=int+osE-sin 则Q(x)=-1+巴-e-x xc05x<0, 所以当9x<c3时，Q(x)>0,Q(x)单调递增： 所以g(x)在（受元]上单调递诚。 当x>e时，Q(x)<0,Q(x)单调递减， 所以当x=e时.Q(x)取得最大值Q(e)=20 又（受）=受>0，g(x)=-1<0, hc-号-=16 (13分) 所以g(x)在（受，云]上有唯一零点。 ·32· 高三一轮复习HN ·数学· 所以了(x)在（受云]上有唯一零点。 当-之<a<时，3∈(0，x],使得os=2u, 综上，f(x)存在唯一零点. (5分) 所以当x∈(0.)时，cosx>2a,F(x)>0, (2)由f(x)+号+a≤0 F(x)单调递增： 当x∈(xo,x]时，cosx<2a,F(x)<0,F(x)单调 可得rsin r+cosx-a(x2+1)≥0， 递减， (12分)》 设F(x)=rsin r十cosx-a(x+1),x∈(0，x], 所以F(x):=F(xe)=Tosin+cos To F'(x)=reos x-2ar=r (cos r-2a), 1 当2a≤-1，即a<-号时， a(x后+l)=sin+cosn-豆cosx(.后+l) F(x)≥0，F(x)在(0，π]上单调递增， 所以F(x)mx=F(开)=一1-a(π2十1)≥0， 解得a≤一 有所以<一之 1 令g)=inr+osr号ore0] (8分) 当2a>1,即a>2时， 则p)=名nr+号mr≥0， 所以(x)在(0，π]上单调递增， F(x)≤0，F(x)在(0，π]上单调递减， 则F(x)<F(0)=1一a, 所以g(x)>g(0)=7: 1 所以1一a>0,即a<1, 所以F(x)≥0成立. (15分) 所以2<a<1 综上，实数a的取值范围为（一∞，1）. (17分) (10分) ·33·