(5)函数的图象、函数与方程、函数的应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习单元检测卷/数学 长已知函数x=中+产a∈R:者x)=x》-2输有3个零点，则消是 (五)函数的图象、函数与方程、函数的应用 条件的口的个数为 (考试时间120分钟，满分10分) A.0 B,1 C,2 1D.3 一、选择题（本题共8小随，每小圈5分，其4D分。在每小题给出的四个选项中，只有 二、选择题《本题共3小题，每小题8分，共18分。在每小题给出的透项中，有多项符合 项是符合题目要求的) 题日要求。全部透对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) -13 且.函数fx)的图象如图所示，则f红)的解析式可能为 1.已知集合A=yy=2B-=x=e3-1.期AnB A.f(z)=(r-r)nrl A.1x2<x<3 Bxx≥>3 B.fr)=2一21lnx C,r1<31 D,<2或23 C.fx)=2-lxl(x≠0) 2.函数fx) g一了+x>0 的零点个数为 D./( 34+1, 上0 A.2 段a C.4 D.5 10.已知正实数两.满足2m十2w十5一则划，则 3.处据表中数据，可以判定所数f(z)一江十2的零点所在的区间为 AYm,t∈(0，+o),mn325 且，Vm,程∈(0：十e),m十n≥]0 C,3,n∈(0，十)，4十=20 D.3m,n∈(0，十)，4m十25 14 11.已知函数fx)的定义战为R,f(x十4)-f(r),fx+1)为函数，且当x∈ [一1,1门时，fx)-|4'一1，划下列结论正确的是 az -12.48 -624 -2.50 A/《x在[-2,6]上的值城为[0,3] 2 L.19 1.41 L1,68 B/(2024)=3 C,f八x)在「4，]上单调递减 A(.) 行》 c() D倍 D,G)-)一立在[-2，内的所有零点之和为16 4,数f(z)一n(工十3)的图象与雨数gx)一x一2的图象的交点个数为 班機 性名 分数 A.2 且A C.4 D.0 l3-1月，x<1 号1 2 345 5,已知函数(x) log:. 若关于：的方程1：)一知有3个不同实数银则 答别 实数丽的取值范铜为 三、填空题（本共3小题，每小题5分，共1分》 A.(0.2) &【-2.00 C.0.1) 2-1.0 2,为防止信息贵露，保正信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种密胡 6,已知函数f(x)=2十r,g{r)=g+r,h(x)=x+r的零点分别为a,c.则 密码系统(Private Key Cryptosystem},其加密，解密原理为：发送方由明文·密文 A.acch BtCh≤E C.<4 D.cha (加密)，接牧方由密文一明文，现有一加密密钥为y一z,如“”道过加密后得到密 7,已知声强设b,(单位：dB与声强K单位：Wm)之间的关系为一10g乙，其中1 文”，若接收方收到密文”6”，测架寄后得洲的明义是 为人能所到的最纸声强，对应的声强皱称为闻侧，人能承受的最高声最为1W/m,对 【3.若关干x的方程2zz一(a一2).x十z一u十1=0有3个不同的实数根，则实数a 应的声强级为120dB,称为痛阁.某歌背家昂歌时的声强级范围为[？0,80]，则该我 的取值范围为 霜家歌时的声强雀围为 A.[10,101 B.[10-4.10+] 14设雨数=r+是6gx十一士的零点为…期·lg C.[10.10] D,[10',10] 数举第1页（共页1 衡水全卷·先享赠·高三一轮复习单元检测卷五 数学第2面（共1页） HN 四、解答题（本圈共5小圆，共77分。解答应写出必要的文学说明，证明过程或流算少最） 18.(本小题清分17分) 15.(本小题满分13分) 冕宁灵山景区是国家AA入级虚游景区，景区中的灵山诗有“天下第一观”、，”川南 已知雨数f)=4一5十0 第一山”，“第丙第一李”之美誉，意年香火信落，每年到灵山寺靠游的游客数量增长 (1)若(x》有2个负零点，求实数的取值范围： 得越米越快，经统计，冕宁灵山寺2021年至2023年的游客数量如表所示： 〔2)若f代￥)的两个零点一个在0,1)内，一个在(2，)内，求实数的取值范圆 年母 2021年 2022年 2023年 年份代码王 2 年曾客数量y(单位：万人》 12 18 27 关于冕宁灵山诗的年游客数量y(万人)与年份代码，现有两个函数校亚可供选释： ①y=(>0.以>1》，5y从、了十(n>0》 16,(本小思满分16分) (1)根据表中数据，试判断愿个雨数模显更合适（不需计算，简连理山即可》，并求出 已知雨数∫（工）一(m一3m十8)x“(mEZ)为琴函数，且为奇两数， 该函数膜显的解析式： (1)求m的值，并确定f(x)的解析式： (2)试预测大的在哪一年，延宁灵山寺的年游客数量灼是222年年游客数量的3 2若=田十2，求g在[-d]上的值城 倍y(参考数据：21,41wg1.73,1g2c0,30,lg30.48) 17,(本小题满分15分) 一辆城际列车满载时为50人，人均州价为1元，十分适合域市问的运营，城际铁路 19,(本小题分17分》 运营公可通过一段时间的营业发残，每锅刻车的单程营业额￥（元）与发车时问问隔 对于定义城为D的函数f(),若存在工∈D,使得f)一则称fn)为“不动 (分中)相关：当≥12时.列车均为满载状态：当81运12时，单程霄业衡Y与41一 点“函数，其中工是（工）的一个不动点：若存在工∈D,使得f《工，)一一工。，期称 fx)为“次不动点"函数，其中1是八x)的一个次不动点. 职+12成正比：当5≤容时，单程作业领会在=8时的基幽上被少08-以 (1)判断x)=一3引十1是否为“不动点”南数？若是，指出其不动点，若不是，晴 (1)求当112时，单程膏业新Y关于发车时同间隔：的属数表达式 说明理由 (2)城际列车在工作日和性限日的日运香时长不同，据统计降辆列车日均]29次单程 (2)若gr)=,x2一3r+在[一【，4们上恒有两个不同的次不动点，求实数a的取镇 范围： 运营，为节德减排，要求发车时间间隔在[8,2内，斯当发车时间间隔为多少分钟 ()若k(a)-lag4一B·2)在，1门]上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数 时，每柄列车的日均营业丽R最大？最大值为多少元？ b的取值范用， 数学第3贾{共4项) 衡水金整·先享超·离三一轮复习单元检测海五 数学第4页【共4页} 网高三一轮复习HN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（五） 9 命题要素一览表 注： 1,能力要求： 1.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力N.空间想象能力V数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 值 (主题内容) I ① ② ③ ① ⑤ 档次 系数 选择题 对数型函数的定义域， 5 0.80 交集运算 2 选择题 5 判断函数零点的个数 易 0.75 3 选择题 5 判断零点所在区间 易 0.72 判断函数图象的交点 4 选择题 5 中 0.68 个数 由方程实数根个数 选择题 求参 么 0.65 选择题 5 比较大小 中 0.55 7 选择题 5 对数函数的实际应用 中 0.40 8 选择题 5 嵌套函数的零点间题 中 0.30 由函数图象确定其解 9 选择题 6 中 0.60 析式 10 选择题 6 基本不等式的应用 中 0.40 11 选择题 6 抽象函数的性质 √ 难 0.28 12 填空题 5 幂函数的实际应用 % 0.65 由绝对值方程实根分 13 填空题 布求参 么 0,45 同构法研究函数的 14 填空题 5 中 0.35 零点 15 解答题 13 二次函数零点的分布 易 0.72 16 解答题 15 幂函数的性质 中 0.65 17 解答題 15 分段函数模型的实际 0.50 应用 ·23· ·数学· 参考答案及解析 拟合函数模型的实际 18 解答题 17 应用 为 0.45 函数零点的新定义 19 解答题 17 0.25 问题 香考答桌及解析 一、选择题 1.D 【解析】由题得y=二=女+6二9=2- g(x)-x2-2l 2x+32x+3 2”因为2”3≠0，所以y=≠2：故A 9 9 x)=nr+3) {xx≠2}，又B={x|3-x>0}=《x|x<3},所以 A∩B={x.x<2或2<x<3).故选D. 2.B【解析】当x>0时，由f(x)=gx-x2+3x=0, 得gx=x2-3x,作出函数y=gx,y=x2一3.x在 (0,十∞)上的图象，由图可知曲线y=gx与y= x2-3.x有2个交点，所以f(x)在(0，+∞)上有2 个零点：当x≤0时，由f(x)=3.x十1=0，得x= 5.C【解析】作出函数f(x)的图象如图所示 -青，所以f()在(-，0]上只有1个零点，综 上，f(x)共有3个零点.故选B. --= 因为方程f(x)=m有3个不同实数根，数形结合可 得0<m<1.故选C, 6.A【解析】由f(x)=2+x=0,得2=一x,由 3.D【解析】根据表中数据可得()=-12.48+ g(x)=lgx十x=0,得lgx=-x,由h(x)=x+x =0,得x=一x,则a,b,c分别为曲线y=2,y= 1.19=-1.29<0/(号)=-6.24+1.41=-4.83 lgx,y=x与直线y=一x的交点的横坐标.在同一 平面直角坐标系中分别作出函数y=2,y=gx,y <0.f(4）=-2.59+1.68=-0.91<0,f1) ,y=一x的图象，如图所示， 0+2=2>0,又f(x)=9nx+2为增函数，所以 f(x)只有一个零点，且所在区间为（子，1故选D 4.C【解析】由题可知f(x)在（一3，+©∞）上单调递 增，g(x)在（一∞，-√2）.(0，√2)上单调递减，在 v-lgx (一√2,0)，(W2,+∞)上单调递增，且f(-2)=0, g(-√2)=g(2)=0,g(0)=2>f(0)=ln3.作出函 数f(x),g(x)的图象，如图所示，由图可知函数f(x) 与g(x)的图象有4个交点.故选C. 由图可得a<c<b.故选A. 7.B【解析】由题意可得101g方=120，则1。 10-#W/m,所以L,=101g(101)=120+10lg1. 当1.，=70dB时，10lg1=-50,则1=10-6W/m2:当 ·24· 高三一轮复习HN ·数学· L1=80dB时，101g1=-40,则1=10+W/m2,又L 为偶函数，当x>0时，厂(x)=(-x)nx,令 单调递增，所以该歌唱家明歌时的声强范围为 f(x)=0,得x=1,所以f(x)在(0，十∞)上只有 [10,104].故选B. 8.C【解析】由g(x)=f(f(e))一2=0，得 -个零点又f(号)=(}-)×1n-51n2> f(f(x))=2,当a=0时，f(x)=1(x≠0)，此时 0,与图象不符，故A错误：对于B,f(x)的定义 f(f(x))=2无解，不符合题意：令1=f(x)≥0，则 域为(-∞，0)U(0,十∞)，且f(-x)=|2- f(:)=2,当a<0时，作出y=f(t)与y=2的大致 21lnlx=|2-2|lnx|=f(x),为偶函数，当 图象如图所示， x>0时，f(x)=|2-2|lnx,令f(x)=0,得 x=1,所以f(x)在(0.+∞)上只有一个零点，当 0<x<1时，lnx<0,则f(x)<0,与图象符合，故B 正确：对于C,f(x)的定义域为（一o,0)U (0,十∞)，且f(一x)=x2一|x|=f(x,为偶函 数，当x>0时，f(x)=x2-r=x(x一1)，与图象符 合，故C正确.故选BC, 10.ABD【解析】因为mn=2m+2n十5≥4√mm+5, iO 所以（√mm-5)(√n+1)≥0，解得mn≥25，当 且仅当m=n=5时等号成立，故A正确：因为2m十2 设f(t)=2对应的两根分别为4,2，则4<a<<0, 此时f(x)=4与f(x)=均无解，则f(f(x))=2 +5=mm≤m+心，所以（m+-10)(m十n+2)≥ 无解，不符合题意：当a>0时，作出y=f(1)与y=2 0,则m十n≥10，当且仅当m=n=5时等号成立，故 的大致图象如图所示， B正确：显然m≠2，则n-岂-2+n二2因为 m一2 n>0,2m+5>0,所以m-2>0,所以4m+ m-2十2=4(m-2)十9 4m+ -2十10 2√4m-2·二2+10=2，当且仅当m= n=8时等号成立，则4m+n∈[22，十o),故C错 误，D正确.放选ABD. a a 11.AD【解析】因为f(x+4)=f(x),所以f(x)的 设f(t)=2对应的两根分别为4，侧0<4<a< 周期为4，又「(x十1)为偶函数，所以f(x)的图象 4,若g(x)恰有3个零点，则y=4,y=14与y 关于直线x=1对称，当x∈[-1,1]时，f(x)= f(x)的图象共有3个不同的交点.当0<a<1时， |4一1，作出函数∫(x)的部分图象，如图所示， y=t与y=∫(x)的图象有2个不同的交点，则y t与y=f(x)的图象有且仅有1个交点，则=1， 即+=2，解得a=号或3（舍）：当a=1时： y=a与y=f(x)的图象有2个不同的交点，则y= 4与y=f(x)的图象有且仅有1个交点，则t:=1, 32-10 与1>a=1矛盾，不符合题意：当a>1时，y=与 y=f(x)的图象有2个不同的交点，则y=与y= 由图可知，f(x)在[一2,6]上的值域为[0,3]，所 f(x)的图象有且仅有1个交点，则4=1，即 以A正确：f(2024)-f(506×4)=f(0)=0,所 1+巴=2，解得a=3或宁（会.综上满是条件 以B错误：因为∫(x)的周期为4，所以∫(x)在 [4,5]上的单调性与在[0,1]上的单调性相同，均 的a的值有2个.故选C. 二、选择题 单调递增，所以C错误：令G()=f()-专=0， 9,BC【解析】由图可知f(x)的定义域为 (一o,0)U(0,十∞)，且为偶函数，对于D, 则f(x)=号则G(x)在[-2,6]内的零点个数。 f(-x)■ 十-f(x),∫(x)为奇函数，故D x 即为函数f(x)与y=2的图象在[-2,6们内的交 错误：对于A,f(x)的定义域为（一∞，0）U 点个数，结合图象可知，G(x)在[一2,6]内有8个零 (0,+∞)，且f(-x)=(x2-x2)n|x|=f(x), 点，根据对称性可得所有零点之和为一1×2十1×2 ·25· ·数学· 参考答案及解析 十3×2十5×2=16，所以D正确.故选AD. 当a<0时，f(x)的图象开口向下， 三、填空题 f(0)<0 a<0 12. 【解析】由题可知加密密钥为y一kx,且当x f(1)>0 a-5+a>0 ,即 f(2)>0 4a-10+a>0 4时y=2,即2=，解得=是=2所以y f(3)<0 9a-15+a<0 解得a∈. (11分) 品，令y=高即赢=立r,解得r=名，则 1 综上，实数a的取值范围为（受，2）： (13分) =之，即解密后的明文为2 16解：(1)因为f(x)为幂函数， 所以m一3m十3=1，解得m=1或m=2,(3分) 13,(9,十∞)【解析】当x≥0时，原方程可化为2.x一 当m=1时，f(x)=x”是偶函数，不符合题意： (a-3)x-a+1=0,即(2.x-a十1)(x十1)=0.则 当m=2时，(x)=x是奇函数，符合题意. =“号或=-1会)：当<0时，原方程可化为 综上，m的值为2，f(x)=x (6分) -2x2+(1一a).x-a+1=0,要使原方程有3个不 (2)由(1)可知f(x)=x, 同的实数根，则x≥0时有一根，x<0时有两根，则 所以g(,x)=f(x)+V2x+T=x十√2x+T,(7分) 2>0 令t=V2x+,则x=1, 21 △=(1-a)+8(1-a)>0 因为-号<r<4,所以0<2x+1<9. 1a<0 ,解得a>9,所以实数 2 则0≤1≤3， (9分) 2>0 M,、+=2十20,3]， 1 2 a的取值范围为(9，十∞). h()的图象开口向上，对称轴为1= =1, 14.-2 【解新析】由题意得g的十专g十 1 2x 所以h(1)在[0,3]上单调递增， (12分) 0,则9+l0g+-1=0,所以9+ 1 2'o 所以h(1)m=h(0)=一 交h)=h(3)=7, %名=9方十le六.令g)=9护十，则 所以g(x)在[-之4]上的值域为[-名7] 1 g()=g(og),易知g)在R上单调递增. (15分)》 所以无=l6g名，则9%=，l6g=-,所以 17解：1)当8≤<12时，设y=a(41-0+12)小 l1og=一2x,故9n·logx。=-2. 由题可知当1=12时，Y=550×4=2200. 四、解答题 则(4×12-号+12)a=220,解得a=40. a≠0 4=25-4a2>0 所以Y=40(-0+12).8<1<12. (4分) 15.解：(1)由题意可得 5∠0 所以当1=8时.y=40×(4×8-0+12)=1460. 解得 2<a<0. 所以当5≤1<8时，Y=1460-40(8-t)2=-40+ 6401-1100. (7分】 所以实数a的取值范围为（一号0）： (3分) -401+6401-1100,5≤1<8 (2)因为f(x)的两个零点一个在(0,1)内，另一个 综上，Y= 160(-5+3).8≤≤12 (9分) 在(2,3)内， 所以a≠0， (2)由1)及题意可知R=160(-5+3.1四 当a>0时，f(x)的图象开口向上， f(0)>0 a>0 =1920m(-5+2+）e[8.121, (11分) 则 f(1)<0 /(2)<0即 a-5+a<0 4a-10+a<0' 令=ue[ag] f(3)>0 9a-15+a>0 则R=19200(-15w2+3u十1)， 解得<a<2 (7分) 图象开口向下，对称轴为直线4=。 ·26· 高三一轮复习HN ·数学· 所以当4=0即1=10时，R最大，最大值为2080， 所以∫(x)=|x一3|十1为“不动点”函数，且2是 f(x)的一个不动点 (4分) 所以当发车时间间隔为10分钟时，每辆列车的日均 (2)由题意可知x2-3.x+a=一x在[一1,4]上有两 营业额最大，最大值为22080元. (15分) 个不等实根 18.解：(1)由表中数据可知，2021年至2022年的游客 即x2一2.x+a=0在[一1,4]上有两个不等实根， 数量增加了6万人，2022年至2023年的游客数量增 f4=4-4a>0 加了9万人，增长速度越来越快，符合指数增长模型， 则1+2十a≥0，解得一3≤a<1, 所以y=ka(k>0,a>1)更合适， (4分) 16-8+a≥0 将1,12)，(2.18)代入，可得如=12 所以实数a的取值范围为[一3,1). (9分) ka2=18 (3)由题意可知存在m,n∈[0,1]，使得 解得a=是6=8， A()=且mn唯一 h(m)=m (10分) 所以y=8×(号)广eN (8分) 当h(x)在[0,1]上仅有一个不动点时 (2)2022年的年游客数量约为18万人， 10g(4"-b·2")=m, 当冕宁灵山寺的年游客数量是2022年的3倍时，约 则4-6：2=（分）广 为54万人· 1 则8x(号)广-.（号）广-平 所以(2“)3-b·(2m)3=1,则b=2m一 (12分) 7 Ig 4 令9(m)=2-0m∈[01· 所以x=og号 27 3lg3-21g2 4 Ig 3-lg 2 易知华(m)在[0,1]上单调递增， (13分) 3×0.48-2X0.30≈5. 所以6c[g(0)g1)],即6∈[o,] 0.48一0.30 当h(x)在[0,1]上仅有一个次不动点时， 故大约在2025年，冕宁灵山寺的年游客数量约是 1og4(4"-b·2")=-… 2022年年游客数量的3倍. (17分) 则4"-b·2"=2". 19.解：(1)假设f(x)=|x一3|十1为“不动点”函数， 所以6=2一1在[0,1门上单满递增， 则存在xo∈R,使得|一3|十1=o, (1分) 所以b∈[0,1]. (16分) 当≥3时，x。一3+1=x,此时无解： 综上，实数b的取值范围为[0,1]. (17分) 当<3时，3一+1=xm,解得=2，符合题意， ·27