(4)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习单元检测卷/数学 7.觉的二十大报告指由：”坚持精准治污、料学治污，依法治污，持续深人打好曹天、碧 术，净土保卫战，加强污染物协同控精，基本清除重污染天气.“按凰相关规定，某化工 (四]幂函数、指数函数与对数函数 厂生的虔气中的某类污染物经过过进装置的处理后，含量降至过域前的5%及以 (考试时间120分伸，满分150分) 下才能排放.在过滤过程中，度气中污染物的含量P(单位，gL》与时间《单位， mn)的关系为P一Pe“,其中Po,止均为常数，若=4mm时，该类污染物的含量降 一、选择题《本圈共8小题，每小圈5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 为过滤前的5%，则废气达刘排放标雀至少需要过滤的时叫的为《结果保留整数， 项是符合题目要求的) g203017 A.7 min ,已知集合A=ry=(1一x),B=(xy=g(2-r)1,则(【M)nB= B.8 min C.9 min D.1d min A.Irli<2 B.x11<x<2 8.若u=n6+1.=-1.则 Cx<2到 D,xt<2且x≠1} A.abc B.ac<h 之.若a十a1=3,则十a十 C.eKuct D假 A.5 我-5 C.±S D.5 二，选择题（本题共3小题，每小题石分，共18分。在每小蓝拾出的送项中，有多项符合 3.函数y一产(m,∈N”且互质)的图象如图所示，则 四目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列选项中，两个函数表示同一个函数的是 A.mw均为态数，且0州<1 A.Rr)=r'.g)= B.f(r)=2r.g(r)=2v 品m为倒数，为奇数，且0<m<1 C.f(z)-2-g()--4 D.fr)-2c+2r x+1◆g(r)=2e C,m为偶数n为奇数，且四> 10.已知所数「x)是定义在R上的所数，对21，∈（一心，0]且≠：，总有 Dm为奇数，w为偶数.且”> )一/)<0.则下列结论正确的是 A.f{4>/3+) B.f0.51)>f062) 4.已知函数f(x)满是f(,1一2证)-x一，1一2F,期f(r1的值域为 C.f(og:3)<f(-lag-4) D.f(log 2)>/(log.2) A.[1.十∞) n.+) c.(. D.(-∞，I] 山，对于任意两个正实数，(<小，记曲线y=与直线女==p轴围成的曲边 5,若函数fz)- 2-ar+2,x<1 是定义在R上的增函数，薄实数4的收值范围为 棉彩的面积为1(，，并约定1.(，u一0，L(m,)一一1(，u),德国数学家莱布尼 w+1, rI 炭(1eim2)最早发现1，(1x)=1n,关于【.(，r),下列结论正确的是 a[2 B2,4] A信）-14， B.1.(4,3)-100L(2,31 c(停+ D,[4,+ C21(M1<-4 DL(.)>一 元已知数=化8=代--1：明阶大题丽象为 班规 性名 分数 慧号 10 11 答迷 三、填空题（本恩共3小题，每小圆5分，共15分》 12.已知函数f《x)是定义在R上且国则为2的奇雨数，当0-x<1时，(x)=4z,划 》+8 数举第1质【共页」 衡水全海·先享赠·高三一轮复习单元检测卷可 数学第2面（共1页） HN 13.苏格兰数学家第皮尔(Nper,1550一1617)发明的对数及对数表《如表》为当时的天 18.(本小题舞分17分) 文学家处理“大数”的计算蜜短了时间.对于任意一个正实数N可以表示或N一： 1(1610.n∈Z》,则kV=#十1展a(06a<1),这样我1可以知道N的位 巴知雨数)一一任为常数)是定义在取上的布雨数。 数.已知正整数M是35位数，即M的值为 (1)求fr)的解析式： g345111g131415 (2)当r∈[一1：3时，求[.)的战规： (3)若gr)=f{+1)+1.且#在r∈[1,3]，使得关于x的不等式片4，x十2)十 gN0,0a480,600,01,011,081,111,1,18 g(一3江<2规立，求宾数d的聚值范围， 4,已知实数y病足r十一1一y一a1+,则心十4y的最小值是 四，解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，计明过程或演算步震） 15,(本小题满分13分) 计算，10.06+-(-+[(-2)门++256-V×2, t2y受×2f-log7xogs-lber4-oea 19.(本小题满分17分》 若定义在D上的函数了r)满足：对任意x∈D.存在常数M≥0，使得八x≤M 15.〔本小题牌分15分》 成立，则称f《x〉是D上的有界离数，其中M为/《x)的一个上界.已知函数fx) 已如幕雨数fx-(m一1)户““在0.十s)上单测递增，函数g(x1-2x一， 1+(侵)广+行了，奇函数-og等 IWr (1求实数m的值： (2)当xE[1,2)时，记f(z1,gx)的值城分别为集合A,B,若“x∈A“是“x∈B的 必要不充分条件，求实数止的取值范围， （D求g)在区阿[号3]上的所有上界构成的集合： (2)若fx)在区间[0，+©)上是以5为上界的有界南数，求实数4的取植范限， 17.(本小题满分15分) 已知南数g(x1一工一2m.r十1十(m>01在区同[1,2]上有最大值0，最小值一L (1求实数m,w的值： (2)若hr)=(-1x+3z,fr)=gx)+M(x,且对任意x∈[0,1]，都有 fr)≤1，求实数：的取值范围， 数学第3夏{共4页) 衡水金整·先享超·离三一轮复习单元检测海四 数学第4页（共4页} H网高三一轮复习HN ·数学 高三一轮复习单元检测卷/数学（四）》 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直规想象©数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) V ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 交集运算，涉及函数的 1 选择题 易 0.80 定义域 与指数运算有关的条 选择题 邻 0.78 件求值 选择题 5 幂函数图象的识别 易 0.72 由f(g(x)求∫(x)的 4 选择题 0.65 解析式 5 选择题 5 由函数单调性求参 中 0.55 对数型函数图象的 6 选择题 中 0.45 识别 指数型函数的实际 选择题 0.40 应用 0 指数函数、对数函数的 8 选择题 0.30 综合应用 名 9 选择题 6 相同函数的判断 易 0.72 利用函数的单调性比 10 选择题 6 0.6d 较指，对数值的大小 11 选择题 6 新定义问题 中 0.30 12 填空题 由函数的奇偶性及周 5 期性求值 公 0.68 13 填空题 与对数运算有关的数 名 0.48 学文化题 指、对数的运算与基木 14 填空题 5 不等式的综合 L 中 0.35 ·17· ·数学· 参考答案及解析 15 解答题 13 指数、对数的综合运算 0.65 公 解答题 由幂函数的单调性求 15 参，由充分必要性求参 % 0.60 17 解答题 15 二次函数性质的综合 中 0.45 指数型函数性质的 18 解答题 17 难 0.25 综合 指数、对数函数性质的 19 解答题 17 0.20 综合 香考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】由题得A=(xx≤1，B={xx<2), 子，两边同时取对数可得g。#=g子，所以 所以(CA)∩B={xI1<r<2).故选B. 一ge-g4,则长一是己二所以P-Re兰，令 2.D【解析】由题可知a幸+a士>0，因为 (a+a寸)2=a+a1+2=5,所以a立+a÷=√5. Pe品≤5%P,得e的≤0所以-报≤ 21g e 故选D. h动即最是≥n20=积所以≥2 1 1g2 3.B【解析】由图象可知函数y=x号为偶函数，且图象 2(1g2+lg102=2(g2+1D≈2×(0.301+1)≈ 在第一象限内上凸，故匹∈(0,1)且m为偶数，又 lg 2 1g2 0.301 8.6≈9，所以废气达到排放标准至少需要过滤的时间 m,n∈N~且互质，所以n为奇数.故选B 约为9min.故选C. 4.C【解折】令1=V-2≥0，则x=-2f十 8.A【解析】由a=lnb十1，得b=e1:由c=e一1，得 b=n(c十1).则et=b=ln(c+1).在同一平面直角 坐标系中分别作出函数y=e-1,y=x,y=ln(x十1) =1 (x+1)+1,≥0，∴f(x)在[0，+o∞)上单 的图象，如图所示，作直线y=b,则与三个函数图象 的交点的横坐标分别为a,b,c,数形结合可知a≤b< 调递减∴f(x)=f(0)=之f(x)的值域为 .故选A. (-0,2]故选C yln(x+l) 5,A【解析】因为f(x)是定义在R上的增函数，所以 2-a>0 a>1 解得受<a<2,故选A a+1≥2-a+2 6.B【解析】当x>0时，f(x)=logx单调递增，且其 图象过(1,0)点：当x<0时，(x)=(x+1)2的图象 二、选择题 开口向上，顶点为（一1,0），因为g(x)=f(一x) 9.BD【解析】对于A,f(x)=x的值域为[0，+o∞)， 1,所以函数g(x)的图象可由函数f(x)的图象先关 g(x)=x|x|的值城为R,值域不同，所以不是同一 于y轴对称，再将所得图象向下平移1个单位长度得 个函数，故A错误：对于B,g(x)=2T= 到.故选B 2|x2|=22=f(x),定义域也相同，故B正确：对于 7,C【解析】依题意可得P。et=25%Pn,则e艹 C,g(x)=|2一x|与f(x)=2-x不是同一个函数， ·18· 高三一轮复习HN ·数学· 放C错误：对于D,fx)=2士2=2x=g(x),定 x2+1 兰，故C正确：对于D,取“=1,0=2则 义域也相同，故D正确.故选BD, L(,)=L(1,2)=n2<2-1=1,故D错误.故 10.ABD【解析】因为对Hx1,∈（一∞，0]且≠ 选ABC. ,总有)二<0，所以f(x)在 三、填空题 Ti-T 12.一1【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的 (一6∞，0]上单调递减，又(x)是定义在R上的偶 奇函数，所以f(x十2)=f(x),f(一x)=一f(x). 函数，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增.对于A, 因为y=x寸在(0，十∞)上单调递增，所以4寸>3寸 f0)-0.所以r(-)=f(-)=-f(号) >0,所以∫(4行)>f(3),A正确：对于B.因为 -1,f(8)=f(0)=0,所以f(-空)+f(8)= y=0.6在(0，十o∞)上单调递减，所以0.621> -1. 0.6>0,所以(0.61)>f(0.6),B正确：对 13.13【解析】由题意可知10≤M1<10,同时取对 于C.因为1og3>log2=是-log,3>log4>0. 数可得34≤31lgM<35,所以<gM<票.则 所以f(log3)>f(log4),又f(-og4)= 1.09<1gM<1.13,由表中数据可知M=13. f(log4),所以f(log3)>f(-og4),C错误：对 于D.因为1og2=iog3log2=og且0<1og3 14.46-4【解折】因为e十-1=手yln1+, 所以e十x-1=e+”+[1-ln(1+y)]-1,且 <log4,所以1og2>log2>0,所以f(1og2) 1+y>0.令f(x)=c+x-1,则f(x)= f(log:2),D正确.故选ABD. f(1-ln(1+y)),因为f(x)=e+x-1在R上单 11.ABC【解析】由题意知L(1,r)=一L(r,1)=lnx, 调递增，所以x=1一ln(1+y),所以e=e-+” 所以L(r,1)=一lnx,当>1时，L(4,)= L(1,)-L(1,u)=nv-lnu:当0<v<1时， ,则e+4w=,十41+)-≥2Vc-4 L(u.v)=L(u.1)-L(v,1)=In v-In w:0<u<1 <v时.L.(u,)=L(u.1)+L(1.)=lnv-lnM:当 4一4，当且仅当中y=41+0,即y=号-1时 v=1或w=1时，L.(u,)=lnv-lnw也成立.综上， 等号成立，所以e十4y的最小值为4Ve一4. L:)=n-na对于A.L(行，专）=n言 四、解答题 15.解：(1)原式=0.4(-寸)-1+(-2)-十4(- n。=n2,L(4,8)=n8-n4=n2,所以 √2￥×2 L(合)-L(4,8),放A正确：对于B. -1++-2=-0 1 2 (7分) L(40,310)=ln3w一1n40=1n3w-1n2w= 100(n3-n2),L(2.3)=ln3-ln2,所以 2原式=号×v后-kg,7×g log2(4×8) logs 7 L(4,3")=100L(2,3),故B正确：对于C, 如图， -2-1=- = (13分) 16.解：(1)由幂函数的定义得(m一1)=1， 解得m=0或m=2, (3分) 当m=2时，∫(x)=x2在(0，十∞)上单调递减， 与题意矛盾： 当m=0时，f(x)=x在(0，十∞)上单调递增，符 合题意 (6分) 综上，实数m的值为0 (7分) (2)由(1)可知f(x)=x2, 因为S明指<Sms,所以L.(,)=nv一h4<2 (U 当x∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即A=[1,4), w(日+）=(g-“).即21(w)<g g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k), (10分) 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 19 ·数学· 参考答案及解析 所以B车A, (12分) 又B≠心，所以 2-k≥ 4-k≤4 ,等号不同时成立， 所以当x∈[一1,3]时，∫(x)的值域为 解得0≤k≤1， [-ag] (8分) 即实数k的取值范围为[0,1门. (15分) 17,解：(1)由题意知函数g(x)的图象开口向上，对称 (3)函数g(x)=f(x十1)十1的图象可由函数 轴为直线x=1, f(x)的图象向左平移1个单位长度后，再向上平移 所以g(x)在[1,2]上单调递增， 1个单位长度得到， 则/81)=m-2m+1+n=-1 所以g(x)的图象关于点（一1,1）对称， g(2)=4m-4m+1+n=0’ 所以g(一1一x)十g(一1十x)=2, 解得m=1,n=一1. (4分) 则g(-3x)+g(3x-2)=2. (2)由(1D可知g(x)=x2-2r, 即g(3x-2)=2-g(-3.x): 所以f(x)=g(x)十h(x)=x-2x十(a-1)x+ 由g(a.x2+2)十g(-3x)<2, 3x=ax+. 得g(a.x2+2)<2-g(-3.x)=g(3x-2),(11分) 因为对任意x∈[0,1门，都有|f(x)|≤1， 由(2)可知f(x)在R上单调递减， 所以-1≤a.x2+1≤1在[0,1]上恒成立，(6分) 所以g(x)在R上单调递减， 当x=0时，显然成立，a∈R: (7分) 所以a.x2十2>3.x-2在[1,3]上有解， 当x∈(0,1]时，-1≤a.x2+x≤1恒成立即为 所以>()（任-） (14分) ()<≤（仔） 令-e[号]h)=3-4r, 由xe(01],得∈[1，+∞) 图象开口向下，对称轴为=吾∈[号]， 因为时-士（任）广-名 所以h(t)m=h(1)=一1， 所以a>一1， 所以当上=1，即x=1时，(}-士)=0 即实数a的取值范围是（一1，十∞）. (17分) 则a≤0： (10分) 19.解：(1)因为g(x)为奇函数， 因为是=-（位+）广+行 所以g(一x)=一g(x), 所以当士=1，即x=1时（一之一子）=-2 即oeg生g-le 1一bx x-1 则a≥-2。 (13分) 所以中答一品解得=士1 (3分) 综上，实数a的取值范围为[一2,0]. (15分) 18.解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数， 当6=1时，号-1<0，不符合题意， 所以f(-x)=一f(x), 故6=-1. 即子解得-2 1-2 所以g)=log当-loe4(+马）： (5分) 所以f(x)= 1-2 2+1+21 (3分) 因为y=1十名在区间[号，]上单调适减： 2)由)可得)=华2=-名·司 1-2 所以由复合函数的单调性可知，g(x)在区间 [号]上单适指。 =-(-2)》 所以g(x)m.=g(3)=log52=-1.g(x)mm= 2 因为y一2千行在R上单调递减， g(号）=log48=-3 (8分) 所以f(x)在R上单调递减，即f(x)在[-1,3]上 单调递减， (6分) 所以g(x)在区间[号，3]上的值线为[-3.-1， 所以1≤|g(x)|≤3， 所以f(x)mm=f(-1)=6,f(x)=f(3) 根据定义可知当MD>3时，|g(x)|≤M成立， ·20· 高三一轮复习HN ·数学· 放g(x)在区间[号，3]上的所有上界构成的集合 所以(-62-）≤a≤(42r-安） 为[3，+∞). (10分) (14分) (2)因为f(x)在区间[0，十∞)上是以5为上界的 有界函数， 令1=2≥1，h)=-61-,p0=4- 所以|f(x)|≤5在[0，十∞)上恒成立， 易知h(1)在[1，十oo)上单调递减，p(1)在 即-5≤f(x)≤5， [1,十∞)上单调递增， 即-5<1+a(合广+（什）广≤5， 所以h(t)mx=-6-1=一7，p(t)mm=4一1=3， 所以-7≤a≤3 所以-6·2-<a<4·2-2在[0，+∞)上 即实数a的取值范围为[一7,3]. (17分) 恒成立， ·21·