(2)一元二次函数、方程和不等式-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习单元检测卷（湖南专版）

高三一轮复习单元检测卷/数学 8.若对任意实数x0,y>0,不等式x十，ym(x十2y)恒成这，则实数a的最小值为 (二)一元二次函数、方程和不等式 A.2+1 及②+ C+2 2 n5' (考试时间120分钟，满分10分) 二，选择盟（本题共3小题，每小题6分，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合 圈日要求，全部选对的得6分，部分远对的得部分分，有选错的得0分) 一、选择题《本圈共8小题，每小圈5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 9.若x<y<0,z∈R,期 项是符合题目要求的) A.r<y 民ey: C.2x十y<2xy 02+1> 1,已知全集U=R,A=(xx+6>x.B={rr3},则(【B)UA 10.如图，二次函数y=az十x十(u)的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 A.{-0,3) .{-2,3) C,且0C-20.则 C,1一2.+8 D,[3,+9) Amr≥0 2.度a,6为实数，则“a>b”是“>"的 且4十b十c>0 A.充分不必婴条件 且.必要不充分条件 C一26+4=0 C充要条件 D,氏不充分业不必要条件 D.1oA·1B--日 玉已知集合A-∈N≥，B-EZ06<,则集合AnB子集的个数为 11.《九章算术》中的“勾股容方”同题：“今有勾五步：股十二步，问勾中容方几何？”翼霍 A.2 B.3 C.4 D.8 时期的数学家，微在其（九章算术注中利用出人相补原理拾出了这个问题的一取 4.已知函数f2)-a+2x十1，g()一r十a,期fz)与g《z)的阁象在同一坐标系中 解法：如图1，用对角线将长和宽分为以，0的矩形分成两个直角三角形，每个直角 可能是 三角形再分域一个内接正方聪（黄》和两个小直角三角形（朱，青），将三种颜色的图 形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形的长为：十b,宽为内接正方形的边长 六2丹新 d由刘徽构迹的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D为料边BC的中点，作 R△AC的内接正方形的对角线A,过点A作AF⊥C于点F,则下列崔论正确 的是 A由题图1和图2面积和等，得d-2 a+b 5.已知不等式42-x十>0的解集为（一3，一1），知不等式c十十u0的解集为 A.1,3] a[可 &商A鉴A,将，≥ 2 (-m,-U[+ C由ADAE,得，于F 2 2+ 6若行在m∈o引使不等式十m≤张度立则上的最小值为 D.由ADAF.得+2eb A.8 .10 G,16 狂餐 生名 分数 D,24 7.2023年9月之1日至24日，第六届中国一阿拉伯闻家博笼会在宁夏银川举办.小宁和 题梦1 小夏在会展中心的同一展台均先后同次则买了同一种商品《两次购买单价分划为“： 答鉴 b,且4≠)，两人采取两种不问的购买方案：小宁不考虑商品价格的丹率，每次购买这 三，填空题（本则共3小题，每小题5分，共15分》 种商品00元，小夏也不考虑该商品你格的升释，每次胸买这种商品6印个，则两人购买方 12.若命题“V红ER,一4十40“为真命题，则正整数：的一个取值可以为 案较经济的是 13.已知正实数mb清足g十一b+3=0,则a十b的最小值是 A.小宁 我小度 C。两人都一杆 ,不能确定 数举第1质【共页1 衡水全善·先享赠·高三一轮复习单元检测卷已 数学第2面（共1置） HN 14.已卸矩形ABCDIAB>C)的周长为12+i,夏，如图，将矩形ABCD沿对角线AC 17.(本小题清分15分》 对折后，点B记作点B',A交DC于点P,设AD=,DPmy,则△ADP面积的最 为宣传2023年杭州亚运会，某公登广告公同在一张矩形海报纸（记为矩形A以CD, 大催为一 如图)上设计了四个等高的宣传栏（栏面分别为两个全等的等限三角形和两个全等 的直角三角形，且GH一2EF),宜传栏（图中阴影部分）的面积之和为6000m.为 了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为1m《官传栏中相 第两个三角形板块间在水平方向上的命空宽度也均为10cm),授EF=rcm 四，解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步露） 15,(本小圈请分13分) 水平方衡 已知二次南数(x》过坐标原点，且对任意实数立都有fx+1)一f(x)三2r十3. (1)当x=0时，求海报纸（死形ABCD)的周长： (1求fx)的解析式： 〔2)为节约成本，应如何选择海根纸的尺寸，可使用纸量最少（矩形AD的面积 (2)学x∈[一1,1门时，二次函数/(r1的图象恒在一次函数y=4+图象的上方， 最小) 求实数的取值范围 18,〔本小题满分17分) 已雨数/(x1=gx2一(2a+1)r+2,aE 〔1)若(x)在区问(1，十国)上单翼递减，求a的叔值范围： (2)解关于x的不等式f(x)<0. 16,(本小题满分15分) 已知a,b,≥0，且a++2=1.求f: (10(1-w(1-6)1-2≥8e6F: (21a十0十3. 19.〔本小题满分17分》 已知函数f(x1-了-2十2,1ER (1)若=1，求f()在区间工0.4]上的值域： 〔2)若t=1,且对任意的r∈[a,a十2]，都有了《x)5,求实数a的取值花用： (3)若对任意的，1，E[0,4门，都有f1)一f21》≤，求1的取值花成， 数学第3夏{共4页) 衡水金整·先享超·离三一轮复习单元检测海日 数学第4页【共4页} 网高三一轮复习HN ·数学· 高三一轮复习单元检测卷/数学（二） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V.数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 核心素养 预估难度 题号 分 知识点 题型 (主题内容) ①② ③④ ⊙ 档次系数 元二次不等式的解 选择题 易 0.80 法，集合的并、补运算 2 选择题 充分必要性的判定 √ 细 0.78 3 选择题 解分式不等式，交集运 算，集合的子集 √ 多 0.72 一次函数与二次函数 4 选择题 公 0.65 的图象 5 选择题 由一元二次不等式的 % 0.55 解集巢求参 6 选择题 5 不等式有解问题 中 0.45 7 选择题 5 作差比较法的实际 中 0,40 应用 不等式恒成立与基本 8 选择题 5 不等式的综合 难 0.28 选择题 6 不等式的性质 易 0.72 10 由二次函数的图象研 选择题 6 0.50 究其性质 父 11 选择题 6 与基本不等式有关的 数学文化题 L 0.25 12 填空题 由全称量词命题的真 5 易 0.75 假求参 由条件等式及基本不 13 填空题 0.60 等式求最值 ·5· ·数学· 参考答案及解析 利用基本不等式求解 14 填空题 平面几何中的最值 公 0.35 问题 15 解答题 求二次函数的解析式， 13 由二次函数图象求参 公 0.65 解答题 利用基本不等式证明 16 15 不等式 名 0.55 17 解答题 15 基本不等式的实际 0.45 应用 中 由二次函数的单调性 18 解答题 17 求参，解含参的一元二 中 0.35 次不等式 19 解答题 17 求二次函数的值域，由 不等式恒成立求参 0.25 香吉答案及解析 一、选择题 a<0 a<o 1.C【解析】由题得A={xx2-x一6<0}={x一2< <3},CB=(xlx≥3}，则(CB)UA={xx> (-3,一1)，所以 -3+(-1)= b三一4，所 a,即a 一2.故选C. 3X(-D=台 =3 a 2.D【解析】因为a,b均为实数，令a=一2，b=-3,满 足a>b,但a”<b,所以充分性不成立：令a=一1，b= 以cx十br十a≥0等价于号r+2x+1≤0，即 0,满足a2>,但a<b.所以必要性不成立，所以 “a>b”是“a>”的既不充分也不必要条件，故选D 3r-4r十1<0，解得号≤<1.故选B 3C【解桥】由不等式号≥1，可得号-1 6.A【解析】：0<m<分，0<2m<1.d0<1-2m 与≥0，解得x≤0或x>1,所以A= <1,“2m+(1-2m)=1,a+2m 2 {x∈Nx≤0或x>1},又B={0,1,2},所以A∩ B=(0,2),其子集为⑦，{01，{21，{0,2}，共4个.故 (品+2n)加2m+1-2m月=2122m+ 2m 选C, "m+4≥2√ 2(1一2m2.4m 4.C【解析】当a<0时，f(x)的图象开口向下，与y轴 2用 -2m+4=8,当且仅 Am 交于点(0,1)，g(x)的图象与y轴交于负半轴，故A 当00=%即m=时取等号，>≥8。 2m 错误，C正确：当a>0时，f(x)的图象开口向上，与y .k的最小值为8.故选A. 轴交于点(0,1)，g(x)的图象与y轴交于正半轴，故 7,A【解析】由题知，小宁两次购买该商品，该商品的 D错误：又a>0时，(x)图象的对称轴r=一⊥<0 平均单价为品-元，小夏阿次购买该商 在y轴的左侧，故B错误.故选C 5.B【解析】因为不等式a-br+c>0的解集为 品，该商品的平均单价为60a十60b=元，又 60+60 2 2ab atb_ab-(atb)'-(a-b) 2(a+b) 2(a+b),因为a≠ ·6· 高三一轮复习HN ·数学· 6所以士中<0，即<士兰所以小宁的购 a+h 2 “十，故B正确：对于C,因为D为斜边BC的中点， 买方案较经济.故选A 8.D【解析】若对任意实数x>0,y>0,不等式x十 所以AD=,因为AD≥AC,所以Y+心 2 y≤a(x+2y)恒成立，则≥中g对于任意 ≥2ab a十b,整理得 a2+ 2 x2y 之工工·放心正佛：对 实数x>0,y>0恒成立，则a≥ r+vry x+2y .因为 于D,因为AD≥AF,所以a+E ab 2 aT后，整 ≥ r+vzy ,令N =t(>0),则 理得a2+≥2ab,故D正确.故选BCD, x+2y 1+33 三、填空题 12.1(答案不唯一，填1,2,3均可)【解析】由题意得 +竖 y 1+N △=a2一16<0，解得一4<a<4,又d为正整数，故u 1+ 一子，令1十t三m(m>1),则 1+3 的值可以为1,2,3. 13.6【解析】因为正实数a,b满足a十b-ab+3=0, 1+1 所以a+b+3-ab≤a+),当且仅当a-b时，等 1+2 1+2(m-1)刀 2m-4m十3 1 6+2,当 号成立，令a十6=1(>0)，则1+3<行，解得≥6 2m+3 -42√2m…-4 2w6-4 4 或1≤-2（舍去）.故a+b的最小值为6. 且仅当2m= 一1时取等号，所以a≥ 14.号 【解析】由题意得△ADP≌△CB'P,因为AD= 5+2,所以实数a的最小值为6十2.放选D. x,DP=y,所以PC=PA=√T+y,因为矩形 4 ABCD的周长为12+6v2,所以AD+DP+PC 二、选择题 x+y+√x十y=6+3√2，整理得xy=(27十 9.ACD【解析】取x=-2,y=一1，可知A正确：当 =0时，xz=yz=0,B错误：2x十y<0<2xy,C正 182)-(6+32)√T+y≤(27+18V2)-(6+ 确；由x<y<0,得x2>y,故x2+1>y2,D正确，故 6v2)√y,当且仅当x=y时等号成立，所以 选ACD. (Wxy)2+(6+6√2)ry-(27+182)≤0，又 10.CD【解析】根据图象可知a>0,c<0,又对称轴 √y>0,所以0<√y≤3，则0<xy≤9，所以 <0，则6>0，则ac<0,故A错误：当r=1 2a Sm=登≤号，所以△ADP面积的最大值为号， 时，y=a十b+c,不能确定y的值是否大于0，故B 此时x=y=3. 错误：设A(x1,0)(<0),B(x2,0)(x>0), 四、解答题 10C1=210B1.·-2x:=c,÷=-号 2 15.解：(1)设f(x)=ax2+br十c, 则f(.x+1)-f(x)=2a.x+a+b, B(-7c,0）小，代入函数，得7ar2-之c+=0, f(x+1)-f(r)=2x+3, ∴.ac-2b+4=0,故C正确：令a.x+br十c=0,x, .2a.x+a+b=2x+3, x(x1<0,x>0)为方程的两个实根，.|OA· .2a=2,d十b=3, ∴.a=1,b=2. (3分) |OB=一=-无，故D正确.故选CD. :二次函数∫(x)过坐标原点， 11,BCD【解析】对于A,由题图1,2面积相等，得S .c=0. a-（a+)X山.所以d=。中。放A错误：对于B, ∴f(x)=x2+2x. (5分) (2):当x∈[一1,1]时，二次函数∫(x)的图象恒 因为AF1BC,所以号XaXb=合V@+FXAF, 在一次函数y=4x十m图象的上方， .f(x)>4x十m对任意x∈[一1,1]恒成立， Va+示：又AE=2d=②a山 所以AF=a山 a+AE> 即x2一2x-m>0在[一1,1门上恒成立，(9分) 又y=x2一2x一m在[一1,1]上的最小值为 AF,所以2abab va+ ,整理可得√2 一1一m, ∴，-1-m>0. 7 ·数学· 参考答案及解析 解得m<一1， ,实数m的取值范围为（一©，一1）. (13分) ②当>时，<2，则<<2： 16.解：(1)由a+b十2=1， (15分) 得1-a2=+c2≥26c,当且仅当b=c时等号成立， ③当0<a<时，日>2.则2≤ 1一b=a”十c≥2ac,当且仅当a=c时等号成立， 综上，当a=0时，原不等式的解集为{xx≥2}： 1一c2=a2+≥2ab,当且仅当a=b时等号成立， 当a<0时，原不等式的解集为{xx≤或r≥ (5分) 所以(1-a2)(1-)(1-c2)≥2bre·2ac·2ab= 2 8a62,当且仅当a=b=c时等号成立.(7分) (2)因为(a+b+c)°=a”+b+c2+2ab+2ac十2bc 当a=2时，原不等式的解集为{rx=2: ≤a2十+c2+(a2+b)+(a+2)+(b+c2) =3(a2++2)=3, 当>号时，原不等式的解集为日<x≤2： 当且仅当4===5时等号成立， 1 时，原不等式的解集为 3 (12分) 当0<a< 所以a十b+c≤3. (15分) (17分) 17.解：(1)设阴影部分直角三角形的高为ycm, 19.解：(1)当1=1时，f(x)=x2-2.x+2=(x-1)+ 所以阴影部分的面积5=6X2y=3xy=36000 1,xE[0,4, 所以xy=12000, (3分) 由二次函数的对称性知，当x=1时，∫(x)取得最小 又x=60,所以y=200, 值1： 由图可知AD=y十20=220cm,AB=3.x十50= 当x=4时，∫(x)取得最大值10， 230cm, 所以f(x)在区间[0,4]上的值域为[1,10]. 所以海报纸的周长为2×(220+230)=900cm. (3分) (7分) (2)对任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5等价于 (2)由(1)可知xy=12000,x>0,y>0, 当x∈[a,a十2]时，f(x)m≤5， 则S那wm=(3x+50)(y+20) 当1=1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, =3.xy+60x+50y+1000 x∈[a,a+2]. ≥3.xy+2√60x·50y+1000=49000, 由二次函数的性质知，函数∫(x)的图象开口向上， 当且仅当6.x=5y,即x=100,y=120时等号成立， 所以f(x)在区间[a,a+2]上的最大值为f(a)或 (12分) f(a+2), (5分) 此时AB=350cm,AD=140cm, 所以/f(a)≤5 故选择长、宽分别为350cm,140cm的海报纸，可使 1f(a+2)≤5 用纸量最少。 (15分) 即/a-2a+2≤5 18.解：(1)当4=0时，f(x)=一x+2为减函数，符合 1(a+2)2-2(a+2)+2≤5 题意； (2分) 解得-1≤a≤1， 当a≠0时，若fx)在区间(1，十o∞)上单调递减， 故实数a的取值范围为[一1,1门. (8分) a<0 (3)设f(x)在区间[0,4]上的最大值为M,最小值 则2a+1<1解得a<0, (5分) 为m, 【2a 所以对任意的x·:∈[0,4门，都有|f(x)一 综上，a的取值范围为(-c∞，0们. (7分) f(x)≤8等价于M-m≤8， (2)f(x)≤0即ax2-(2a+1)x+2≤0. 因为f(x)=x2-21x+2=(x-t)2-2+2在 即(ax-1)(.x-2)≤0， (一∞，t)上单调递减，在(t,+∞)上单调递增， 若a=0,则一(x一2)≤0，解得x≥2： (10分) 所以当1≤0时，f(x)在[0,4]上单调递增， 若a<0.则(x-)(x-2)≥0，解得<或r≥ 则M=f(4)=18一81，m=f(0)=2, a 2 所以M-m=18一81一2=16一88，解得1≥1， (12分) 此时无解； (10分) 若a>0.则(x-)）(x-2)≤0， 当0<1<2时，M=f(4)=18-81,m=f(1)= ①当a=时，=2，则x=2 2-°. 所以M-m=18-81-(2-)≤8， 8 高三一轮复习HN ·数学· 解得4-2√2≤1≤4十2√2， 此时2≤1≤2√2： (14分) 此时4-2√2≤1<2： (12分) 当≥4时，M=f(0)=2,m=f(4)=18-8, 当2≤1<4时，M=f(0)=2,n=f(1)=2-F, 所以M-m=2-(18一81)=81-16≤8，解得1≤3， 所以M-m=2-(2-t)=t≤8. 此时无解。 (16分) 解得-22≤≤2√2， 综上1的取值范围为[4一2√2,2√2] (17分) 9