精品解析：江苏省盐城市阜宁县2024-2025学年九年级上学期12月联考数学试题

2024年秋学期12月调研九年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知2是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根的值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 2. 如图，四边形内接于上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ） A. 4cm、2cm、1cm、3cm B. 2cm、3cm、4cm、5cm C. 25cm、35cm、45cm、55cm D. 1cm、2cm、20cm、40cm 4. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. 4 B. C. D. 6 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，平分，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 已知圆O的直径为4，点M到圆心O的距离为3，则点M与⊙O的位置关系是_____． 10. 圆锥底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是______． 11. 一个有若干人的小组，新年他们互送贺年卡，已知全组共送贺年卡156张，设这个小组共有x人，则列出方程为____________________________． 12. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线为_______． 13. 如图，为的中线，G为的重心，若，则______． 14. 如图，是的直径，弦，若，则______． 15. 如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有______个． 16. 如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 19. 射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了6次测试，测试成绩（单位：环）如下表： 第一次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均成绩 甲 8 9 10 8 10 9 m 乙 7 10 10 10 9 8 n （1） ， ； （2）求甲运动员6次测试成绩的方差． （3）已知乙运动员6次测试成绩的方差是，那么推荐 运动员参加比赛更合适． 20. 已知关于的方程有一个实数根是， （1）求的值； （2）求该方程的另一个根． 21. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． （1）只用无刻度直尺，画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹）． （2）请在（1）的基础上，连接，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，在图中建立平面直角坐标系并完成下列问题： ①写出点D的坐标 ，的半径为 （结果保留根号）； ②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 ． 22. 如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点，的切线交的延长线于点，．． （1）求证：； （2）若的半径长为3，且，求的长． 23. 如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点． （1）求证：AB是⊙O的直径； （2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明； （3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长． 25. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒．接水槽所在的直线是的切线，且与直线交于点，当点恰好在所在的直线上时．解决下面的问题： （1）求证：； （2）若，，，求的长． 26. 【提出问题】 （1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】 （2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； （3）如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期12月调研九年级数学试卷 分值：150分 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知2是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根的值是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键；根据一元二次方程的解的概念，把代入一元二次方程求出a的值，再解一元二次方程即可． 【详解】解：2是关于x的一元二次方程的一个根， ， ， 一元二次方程为， 解得：， 另一个根的值是， 故选：． 2. 如图，四边形内接于上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ， 故选：D． 3. 下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ） A. 4cm、2cm、1cm、3cm B. 2cm、3cm、4cm、5cm C. 25cm、35cm、45cm、55cm D. 1cm、2cm、20cm、40cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．根据比例线段的定义，对题目各选项中的四条线段逐个分析并判断是否成比例即可． 【详解】解：由于，故不成比例，故A选项错误； 由于，故不成比例，故B选项错误； 由于，故不成比例，故C选项错误； 由于，故成比例，故D选项正确． 故选：D． 4. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入原方程，求出解即可，理解一元二次方程的解的概念是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，将代入， 得，解得， 故选：D． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 据统计，某市国庆期间前三天外来游客按相同的增长率增长，第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设增长率为，根据第一天外来游客约3万人，三天后累计达到10万人，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设增长率为， 依题意，得：． 故选：D． 7. 在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次函数的开口方向确定出的符号，根据一次函数的图象确定出的符号，看是否矛盾，以此判断即可． 【详解】解：A．抛物线开口向下，则；一次函数图象上升，，两函数矛盾，故选项错误； B．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； C．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； D．抛物线开口向下，则；一次函数图象下降，，故选项正确． 故选D． 8. 如图，在中，，，平分，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、等角对等边，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由角平分线得，结合平行线的性质得，进而得，证明，得，，进而得，代入即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 9. 已知圆O的直径为4，点M到圆心O的距离为3，则点M与⊙O的位置关系是_____． 【答案】在圆外 【解析】 【分析】根据由⊙O的直径为4，得到其半径为2，而点M到圆心O的距离为3，得到点M到圆心O的距离大于圆的半径，根据点与圆的位置关系即可判断点M与⊙O的位置关系． 【详解】解：∵⊙O的直径为4， ∴⊙O的半径为2， ∵点M到圆心O的距离为3， ∴ ∴点M与⊙O的位置关系是在圆外． 故答案为：在圆外． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d与圆半径大小关系完成判定． 10. 圆锥底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长以及圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键． 根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形的面积公式，计算即可． 【详解】解：∵圆锥底面半径为1，高为， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为：， 故答案为：． 11. 一个有若干人的小组，新年他们互送贺年卡，已知全组共送贺年卡156张，设这个小组共有x人，则列出方程为____________________________． 【答案】 【解析】 【分析】互送贺卡时，每个人都要送出贺卡，据此作答即可． 【详解】设这个小组共有x人，互送贺卡时，每个人都要送出贺卡， 则有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，知晓每个人都要送出贺卡，是解答本题的关键． 12. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：． 故答案为：． 13. 如图，为的中线，G为的重心，若，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心定理，掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：∵为的中线，G为的重心， ∴， ∴， 故答案为：9． 14. 如图，是的直径，弦，若，则______． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的特征，根据直径所对的圆周角是直角，再利用平行线的性质得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， ， 故答案为：65． 15. 如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有______个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 16. 如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，， ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ，； 【小问2详解】 解： ， ， 或， ，． 18. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．若，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19. 射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了6次测试，测试成绩（单位：环）如下表： 第一次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均成绩 甲 8 9 10 8 10 9 m 乙 7 10 10 10 9 8 n （1） ， ； （2）求甲运动员6次测试成绩的方差． （3）已知乙运动员6次测试成绩的方差是，那么推荐 运动员参加比赛更合适． 【答案】（1）9，9 （2） （3）甲 【解析】 【分析】本题考查求平均数和方差； （1）利用平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩； （2）结合方差的计算公式求出甲成绩的方差； （3）结合方差的意义，从稳定性方面进行分析，即可得出结果． 【小问1详解】 解：甲的平均成绩， 乙的平均成绩， 故答案为：9，9； 【小问2详解】 解：甲的方差； 【小问3详解】 解：∵， ∴甲的方差更小，成绩更加稳定， ∵两人平均数一样， ∴推荐甲运动员参加比赛更合适， 故答案为：甲． 20. 已知关于的方程有一个实数根是， （1）求的值； （2）求该方程的另一个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，掌握一元二次方程解的定义及解一元二次方程的方法是解题的关键． （）把把代入方程计算即可求解； （）把代入方程，再解方程即可求解； 【小问1详解】 解：把代入方程得，， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴方程为， 即， ∴或， 解得，， ∴该方程的另一个根． 21. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． （1）只用无刻度直尺，画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹）． （2）请在（1）的基础上，连接，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，在图中建立平面直角坐标系并完成下列问题： ①写出点D的坐标 ，的半径为 （结果保留根号）； ②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 ． 【答案】（1）如图所示； （2） 建立平面直角坐标系如图所示： ①，； ② 【解析】 【分析】此题考查直线与圆的位置关系，涉及了圆的有关性质、勾股定理，圆锥的侧面展开图、全等三角形的判定与性质，正确作出图形是解决此题的关键． （1）分析可知，圆心必在弦的垂直平分线上，则只需作出弦的垂直平分线即可； （2）①根据题意建立平面直角坐标系即可；观察图形，写出点D的坐标，利用勾股定理求出的半径；②对图形中的点进行标注，证明全等三角形，联系全等三角形的性质证明，联系侧面展开图的弧长是底面周长求解即可． 【小问1详解】 解：线段的垂直平分线的交点即为圆心D； 【小问2详解】 解：①点D的坐标为，的半径， 故答案为：，； ②在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的长， ∴圆锥的底面半径为：， 故答案为：． 22. 如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点，的切线交的延长线于点，．． （1）求证：； （2）若的半径长为3，且，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 切于点， ， ， ，， ，， 又， ， ， ； （2）1 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据等边对等角，等量代换求出，证得即可； （2）设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出，然后根据计算得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则，， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解一元二次方程，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 23. 如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽． 【答案】原空地的长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的实际问题，设原空地的宽为，则长为，根据题意得出方程，求出x的值，再求出答案即可． 【详解】解：设原空地的宽为，则长为， 根据题意得：，整理得：， 解得：或6， 当时，，（不符合题意，舍去）， 当时，， 答：原空地的长为，宽为． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点． （1）求证：AB是⊙O的直径； （2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明； （3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长． 【答案】 （1）证明：连接AD， ∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴AB为⊙O的直径； （2）DE与⊙O相切， 理由为：连接OD， ∵O、D分别为AB、BC的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD，    ∵OD为⊙O的半径， ∴DE与⊙O相切； （3） 【解析】 【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB是⊙O的直径； （2）DE与圆O相切，理由为：连接OD，利用中位线定理得到OD∥AC，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证； （3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到DABC为等边三角形，连接BF，DE为DCBF中位线，求出BF的长，即可确定出DE的长． 【详解】解：（1） 在 （2略 ） （3）解：连接BF， ∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC=6， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB=∠DEC=90°， ∴AF=CF=3，DE∥BF， ∵D为BC中点， ∴E为CF中点，DE=BF， 在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3， ∴BF=，则DE=BF=． 25. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒．接水槽所在的直线是的切线，且与直线交于点，当点恰好在所在的直线上时．解决下面的问题： （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ， 所在的直线是的切线，点恰好在所在的直线上， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得出，由切线的性质得出，进而得出，由对顶角的性质得出，即可证明； （2）先证明，得出，由，，，求出，进而求出，即可求出 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ，，， ， ∴ 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，掌握圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 26. 【提出问题】 （1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】 （2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，， ∴△BAM≌△CAN（SAS）． ∴∠ABC=∠ACN． （2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下： ∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （3）∠ABC=∠ACN．理由如下： ∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN． 【解析】 【分析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论． （2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 27. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标； （3）如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式； （2）由于经过、两点, 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案； （3）由题意得，需要分类点在轴上方或下方两种情况讨论，结合图形利用构造出等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质与判定求出点的坐标即可解答． 【小问1详解】 解：代入到抛物线中， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线的解析式为， 当时，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵经过、两点， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①当点在轴上方抛物线上时，作于点，作轴于点，于点，如图所示， 由（2）得：，， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点横坐标为， ∴点坐标为 ， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点坐标为，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，点坐标为，不在轴上方的抛物线上，舍去； 故点不存在； ②当点在轴下方时，作，轴，于点，如图所示， ，， ， ， ， 同理①中的方法可得：， ∴，， 设，， 则，解得：， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、圆的基本性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于二次函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $