精品解析：湖南省常德市第七中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

湖南省常德市武陵区常德市第七中学2024-2025学年 高三下学期开学考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集和补集的定义逐一判断即可. 【详解】集合，， 对于A：，A错误； 对于B：，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：，D错误. 故选：C. 2. 若（i为虚数单位），则（　　） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念与复数运算求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以． 故选：C 3. 在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，利用，结合数量积为零得出结论. 【详解】， 由，得 ，得，即得，则C选项正确. 故选：C 4. 在单调递增的等差数列中，若，，则公差（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式可构造方程求得，由数列单调性可确定的取值. 详解】，又，，解得：或； 等差数列单调递增，，. 故选：B 5. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倍角与半角公式， 将题目化为，因式分解，然后根据三角函数的有界性对的值进行取舍，由此得解. 【详解】解：由，将，代入化简 得， 即，解得（舍去）或， 故选；B． 6. 已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直的性质，可得，求出的值，即可判断. 【详解】若，则， 解得或. 故是的充分不必要条件. 故选：B 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，，，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A. 4 B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求出，再根据椭圆定义即可求出. 【详解】因为，，又，所以， 由椭圆定义可得的周长为. 故选：C. 8. 若0＜a＜b＜c，且abc＝1，则下列结论正确的是（ ） ①2a+2b＞4 ②lg a+lg b＜0 ③a+c2＞2 ④a2+c＞2 A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】由题干分析得0＜a＜1，c＞1，0＜ab＜1，bc＞1，①举反例可判断；②利用对数函数性质可判断；③结合基本不等式再进一步放缩可判断；④代换成关于a的表达式，再利用导数研究即可 【详解】由题意0＜a＜b＜c且abc＝1，∴0＜a＜1，c＞1，0＜ab＜1，bc＞1． 若，满足，但，所以①错； lg a+lg b＝lg ab＜0，②正确； ，所以a+c2＞2，③正确； 由题意，令b＝1，则，，令，(0＜a＜1)，则， 令f′(a)＝0，得，所以f(a)在(0，a0)上单调递减，在(a0，1)上单调递增， 所以f(a0)＜f(1)＝2，所以④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数单调性，基本不等式，导数进行大小比较，综合性强，方法选用灵活度高，解题关键在于合理变形与方法应用，属于难题 二、多选题 9. 设函数定义域为，若存在且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A和C选项利用基本不等式判断，B和D选项举例说明． 【详解】A选项：， ， 由均值不等式， 而，故，故A错误； B选项：当，， ， ， 则， 故B正确； C选项：， ，由均值不等式， ，而，等号不能取到． 故C错误； D选项：时函数为，取，， ∴成立， 故D正确． 故选BD． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是正确理解新定义，然后根据新定义解决问题，“函数”是指存在，使得，只要有一对实数满足即可，因此可以举例说明命题的正确性，但要说明命题是错误的需要加以证明． 10. 在直角坐标系中，已知双曲线的焦点到渐近线的距离不大于，点分别在的左、右两支上，则（ ） A. 的离心率为定值 B. 是的一条渐近线 C. 的两条渐近线的夹角的正切值为 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用焦点到渐近线的距离不大于，求出，即可判断A选项；利用双曲线的方程求出渐近线方程即可判断B选项；利用正切的二倍角公式即可判断C选项；利用双曲线的性质即可判断D选项. 【详解】选项A：双曲线的右焦点为， 一条渐近线的方程为， 焦点到渐近线的距离，故. ,故离心率,故A正确； 选项B：由A知，， 渐近线方程为，故B错误； 选项C：渐近线方程为， 一条渐近线的斜率，则, 且两直线的夹角的取值范围为 所以两条渐近线的夹角的正切值,故C正确； 选项D：点分别在的左、右两支上， ，故D正确. 故选：ACD 11. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】由三角函数定义以及诱导公式即可得解. 【详解】由题意，所以或， 所以. 故选：BD. 三、填空题 12. 的展开式中的系数是______. 【答案】 【解析】 【分析】直接用二项式定理求解即可. 【详解】， 所以的系数为. 故答案为：. 13. 已知函数且）在上是减函数，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数单调性进行判断，列不等式组即可求出实数的范围. 【详解】令，因为且，所以为减函数， 要使函数且）在上是减函数， 只需，解得：， 即实数的取值范围是. 故答案为： 14. 某艺术展览会的工作人员要将A，B，C三幅作品排成一排，则A，B这两幅作品排在一起的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先可列举出三幅作品的所有可能排列情况，再选出A，B这两幅作品排在一起的情况，即可得出其概率. 【详解】根据题意A，B，C三幅作品排成一行，有ABC，ACB，BAC，BCA，CBA，CAB共6种情况， A，B这两幅作品排在一起的情况有ABC，BAC，CBA，CAB，共4种， 则A，B这两幅作品排在一起的概率. 故答案为： 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，代入已知条件结合余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理求出，代入三角形面积公式即可. 【小问1详解】 因为中，由正弦定理得， 所以， 又由余弦定理可得，所以，即， 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为，，所以， 则的面积． 16. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，． （1）若四棱锥的体积为1，求的长； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，连接，根据面面垂直得性质可得底面，设，求出，再根据锥体的体积公式即可得解； （2）取的中点，连接，则，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 如图，过作于，连接， 因为侧面底面，且侧面底面面， 所以底面， 设，因为， 所以， 在菱形中，，则为等边三角形， 则， 所以四棱锥的体积， 解得； 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， ，令，得， 则， 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 17. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点. （1）求的方程； （2）若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点位置设出抛物线的标准方程，把焦点坐标代入圆的方程，求解即可； （2）设两点坐标，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理得根与系数关系，表示出弦长，利用导数求抛物线过两点的切线，求出交点，点到直线距离得三角形的高，根据面积的表达式求最小值. 【小问1详解】 由题意，设的方程为， 因为圆经过抛物线的焦点， 所以，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 如图所示， 设，则，联立方程组整理得， 所以，且， 所以. 由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是， 将代入上式整理得， 同理可得抛物线的过点的切线方程为 由解得，所以， 所以到直线的距离， 所以的面积， 当时，， 所以面积的最小值为. 18. 已知函数. （1）若在点处的切线方程为，求实数的值； （2）设.在（1）的条件下，若满足，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线的性质进行求解. （2）根据已知，利用放缩法建立不等式，再通过构造函数，利用导数的单调性证明不等式. 【小问1详解】 由题知：，，即切点为， 所以该点处切线的斜率，则， 故． 【小问2详解】 由（1）知，则等价于， 故，设， 则，所以当时，， 所以在上单调递增，所以， 即当时，，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即， 令，则，由有：， 所以当，则在上为增函数， 因为，所以，由有：， 则，即． 19. 为了研究不同性别学生与患色盲的关系，在男、女学生各取100名进行调查.统计的列联表如下. 从这200名学生随机抽取1人. 男 女 合计 色盲 6 3 9 非色盲 94 97 191 合计 100 100 200 （1）求抽取的1人患色盲的概率？ （2）根据小概率值独立性检验来分析性别与患色盲是否有关？ （3）从患色盲样本中依次抽取2人.记X为每次抽取女生的人数，求X的分布列与期望.（与对应值见下表. ， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）； （2）无关联； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用表中的数据根据古典概型的概率公式求解即可或由全概率公式求解； （2）利用公式求解，然后根据临界值表中进行判断即可； （3）由题意可知X服从超几何分布，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列与期望. 【小问1详解】 （法一）由古典概型，可得抽取的1人患色盲的概率； （法二）记事件抽取1人为男生，抽取1人为女生，则， 抽取1人为色盲患者.，互斥. 由全概率知, . 【小问2详解】 假设学生性别与是否患者色盲独立， ， 根据小概率独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以性别与是否患色盲无关联. 【小问3详解】 依题意，X服从超几何分布即， =，，， 所以X分布列表为 X 0 1 2 P 所以，或 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省常德市武陵区常德市第七中学2024-2025学年 高三下学期开学考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（i为虚数单位），则（　　） A. B. C. 5 D. 3. 在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在单调递增等差数列中，若，，则公差（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分条件 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，，，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ） A 4 B. 4 C. D. 8 8. 若0＜a＜b＜c，且abc＝1，则下列结论正确的是（ ） ①2a+2b＞4 ②lg a+lg b＜0 ③a+c2＞2 ④a2+c＞2 A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③ 二、多选题 9. 设函数定义域为，若存在且，使得，则称函数是上的“函数”，下列函数是“函数”的是（ ） A. B. C. D. 10. 在直角坐标系中，已知双曲线的焦点到渐近线的距离不大于，点分别在的左、右两支上，则（ ） A. 的离心率为定值 B. 是的一条渐近线 C. 的两条渐近线的夹角的正切值为 D. 的最小值为2 11. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2 三、填空题 12. 展开式中的系数是______. 13. 已知函数且）在上是减函数，则实数的取值范围是___________. 14. 某艺术展览会的工作人员要将A，B，C三幅作品排成一排，则A，B这两幅作品排在一起的概率为_______． 四、解答题 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，，求面积． 16. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，． （1）若四棱锥的体积为1，求的长； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 17. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点. （1）求的方程； （2）若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 18. 已知函数. （1）若在点处的切线方程为，求实数的值； （2）设.在（1）条件下，若满足，求证：. 19. 为了研究不同性别学生与患色盲的关系，在男、女学生各取100名进行调查.统计的列联表如下. 从这200名学生随机抽取1人. 男 女 合计 色盲 6 3 9 非色盲 94 97 191 合计 100 100 200 （1）求抽取的1人患色盲的概率？ （2）根据小概率值独立性检验来分析性别与患色盲是否有关？ （3）从患色盲样本中依次抽取2人.记X为每次抽取女生的人数，求X的分布列与期望.（与对应值见下表. ， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$