精品解析：河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高二下学期期中考试数学测评试题

邢台市卓越联盟2025－2026学年下学期期中考试 高二数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册到8.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 2. 已知函数的图象经过点，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 15 C. 20 D. 25 4. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 8 C. D. 32 5. 有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 8. 信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且每个数字的传输与接收相互独立，则接收的数字序列为的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 研究变量，得到一组样本数据，对其进行回归分析，下列说法正确的是（ ） A. 用决定系数来刻画拟合效果，越小，说明拟合效果越好 B. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.2个单位 C. 若变量和之间的样本相关系数，则变量和之间的正相关性很强 D. 残差平方和越小的模型，拟合效果越好 10. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极值 B. 当时，只有一个零点 C. 当时，， D. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量的分布列为，则______. 13. 已知一种电器的使用寿命超过10年的概率为，超过15年的概率为，若一个这种电器使用了10年时还能使用，则这个电器使用寿命超过15年的概率为______. 14. 设第一个口袋有2个白球和4个黑球，第二个口袋有3个白球和3个黑球，从第一个口袋中一次性取2个球放入第二个口袋，再从第二个口袋中一次性取2个球，用表示第二次取出的2个球中白球的个数，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 29 33 36 44 48 52 59 （1）根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关，计算与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 16. 现有中国四大名著各1本和6本不同的外国文学名著，某同学要从中取出4本带给4位室友阅读，每人1本，假如取每一本书都是等可能的. （1）求4位室友每人得到的都是中国四大名著的概率； （2）设选出的4本书中有本是中国四大名著，求随机变量的分布列及数学期望. 17. 某公司的技术员进行技能操作竞赛，规则如下：技能竞赛按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都操作失败，则竞赛结束；每一个阶段随机分配一个甲任务或乙任务，分配到甲任务的概率为，分配到乙任务的概率为.已知一个技术员能成功完成甲任务与乙任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立，完成阶段越多的获得胜利. （1）求该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率； （2）记为该技术员在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率，求，. 18. 某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立. （1）记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点. （2）已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟. （i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求； （ii）若第一轮10名队员中恰有3人答错，以（1）中确定的作为的值，求，并比较（i）与（ii）中谁的总时间成本的期望更小. 参考数据：. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）证明：无零点. （3）若函数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台市卓越联盟2025－2026学年下学期期中考试 高二数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册到8.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算即可. 【详解】因为随机变量，所以，所以相应的正态曲线关于轴对称， 则. 2. 已知函数的图象经过点，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，， 所以所求切线的斜率为. 3. 从2所中学、5所小学中选3所学校参加文明卫生学校评比，且至少有1所中学入选，则不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类和分步计数原理，结合组合数公式求解. 【详解】可分两种情况：第一种情况，只有1所中学入选，不同的选法有种； 第二种情况，有2所中学入选，不同的选法有种. 根据分类加法计数原理知，不同的选法有种 4. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 8 C. D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项是， 根据题意，得，解得， 所以的系数是. 5. 有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用超几何分布即可求解. 【详解】由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布， 则. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，利用参变分离转化为恒成立，转化为求函数的最值问题. 【详解】由，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 7. 已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由求出，再分别由求出，由期望公式求出，最后由期望性质求出. 【详解】由题意可得，解得或（舍去）. 因为，， 所以， 则. 8. 信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且每个数字的传输与接收相互独立，则接收的数字序列为的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，先计算条件概率，再代入全概率公式计算求解． 【详解】设事件表示“接收的数字序列为”，表示“传输的数字序列为”， 表示“传输的数字序列为”，表示“传输的数字序列为”， 由题意可得，，，， 则， ， ， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 研究变量，得到一组样本数据，对其进行回归分析，下列说法正确的是（ ） A. 用决定系数来刻画拟合效果，越小，说明拟合效果越好 B. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.2个单位 C. 若变量和之间的样本相关系数，则变量和之间的正相关性很强 D. 残差平方和越小的模型，拟合效果越好 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用决定系数、经验回归方程、相关系数及残差平方和的定义及性质逐项判断即可得. 【详解】对于A，越大，说明拟合效果越好，故A错误； 对于B，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时， 响应变量平均增加0.2个单位，故B正确； 对于C，若变量和之间的样本相关系数，的绝对值接近1， 则变量和之间的正相关性很强，故C正确； 对于D，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小， 模型的拟合效果越好，故D正确. 10. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用求导法和赋值法来求系数和. 【详解】对于A，因为，所以，， 即， 再令，得， 令，得， 所以，解得，故A错误. 对于B，令，得，故B正确. 对于C，令，得， 令，得， 则 ,故C正确. 对于D，设， 则， 再令，得， 所以，故D错误. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极值 B. 当时，只有一个零点 C. 当时，， D. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：结合函数单调性与极值定义即可得；对B：利用函数单调性及即可得；对C：构造函数，利用导数计算其单调性可得，即可得时，有；构造函数，可得，结合函数单调性可得恒成立，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解. 【详解】对于A，当时，，则， 所以在上单调递减，所以函数无极值，A错误； 对于B，由选项A可知，在上单调递减，又因为， 所以只有一个零点，所以B正确； 对于C，当时，，令， 则，可知在上单调递减，在上单调递增，， 所以，所以， ，故C错误； 对于D，，即， 设，则问题可转化为， 因为是上的增函数，所以，即恒成立， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，于是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量的分布列为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质结合组合数及二项式系数和计算求解. 【详解】根据分布列的性质，得，解得. 13. 已知一种电器的使用寿命超过10年的概率为，超过15年的概率为，若一个这种电器使用了10年时还能使用，则这个电器使用寿命超过15年的概率为______. 【答案】 【解析】 【详解】设“一个这种电器使用寿命超过10年”为事件，“一个这种电器使用寿命超过15年”为事件，则， 所以在这个电器使用了10年时还能使用的前提下，这个电器使用寿命超过15年的概率为. 14. 设第一个口袋有2个白球和4个黑球，第二个口袋有3个白球和3个黑球，从第一个口袋中一次性取2个球放入第二个口袋，再从第二个口袋中一次性取2个球，用表示第二次取出的2个球中白球的个数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用超几何分布和数学期望的公式即可求解. 【详解】设事件“从第一个口袋中取出的2个球中有个白球”，则，，. 的可能取值为，，，由，，，得. 同理，由，，， 得. 由，，， 得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 近几年新能源汽车发展很快，2025年我国在世界纯电动车市场份额占，下面是某新能源汽车制造公司从2019年至2025年的利润情况表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 29 33 36 44 48 52 59 （1）根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关，计算与之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； （2）求出关于的经验回归方程，并预测该新能源汽车制造公司2030年的利润. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，，，，①相关系数；②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1），可以推断变量与线性相关且相关程度很强. （2），83亿元. 【解析】 【分析】（1）计算相关系数，根据相关系数的绝对值大小判断相关程度； （2）求出线性回归方程，利用回归方程估计即可. 【小问1详解】 由题设，且，，， ， 由于，可以推断变量与线性相关且相关程度很强. 【小问2详解】 因为， ， 所以关于的经验回归方程为， 当2030年对应的年份代码时，，即预测该新能源汽车制造公司2030年的利润为83亿元. 16. 现有中国四大名著各1本和6本不同的外国文学名著，某同学要从中取出4本带给4位室友阅读，每人1本，假如取每一本书都是等可能的. （1）求4位室友每人得到的都是中国四大名著的概率； （2）设选出的4本书中有本是中国四大名著，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】（1）根据排列结合古典概型的概率公式可求对应的概率； （2）根据超几何分布可求的分布列及数学期望. 【小问1详解】 设事件为“4人每人得到的都是中国四大名著”， 则事件所含有的基本事件有个， 4人从中取出4本书的所有取法即基本事件总数为， 所以室友4人每人得到的都是中国四大名著的概率. 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为，，，，. ，，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望. 17. 某公司的技术员进行技能操作竞赛，规则如下：技能竞赛按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都操作失败，则竞赛结束；每一个阶段随机分配一个甲任务或乙任务，分配到甲任务的概率为，分配到乙任务的概率为.已知一个技术员能成功完成甲任务与乙任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立，完成阶段越多的获得胜利. （1）求该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率； （2）记为该技术员在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率，求，. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）应用全概率公式结合条件概率计算求解； （2）应用对立事件及独立事件乘法公式计算求解. 【小问1详解】 设事件“分配到甲任务”，则“分配到乙任务”，事件“在一个阶段中成功完成任务”. 依题意，，，，， 因此， 所以该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率为. 【小问2详解】 设事件“该技术员在第个阶段中成功完成任务”，则， 当时，挑战显然不会终止，即， 又各阶段完成任务与否相互独立， 所以当时，第1，2阶段至少成功完成一次，， ， 同理可得. 18. 某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立. （1）记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点. （2）已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟. （i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求； （ii）若第一轮10名队员中恰有3人答错，以（1）中确定的作为的值，求，并比较（i）与（ii）中谁的总时间成本的期望更小. 参考数据：. 【答案】（1） （2）（i）80；（ii）分钟，（ii）中的总时间成本的期望更小. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布可求，结合导数可求其极大值点； （2）（i）根据团队得分为分可得；（ii）设剩余10人答对的题数为，根据二项分布可求，从而可求对应的，两者比较后可得正确的结论. 【小问1详解】 由题意可得， 因此. 令，且，得， 当时，，当时，， 所以的极大值点. 【小问2详解】 （i）若不需启动“全员补答”， 则团队最终得分为8分（低于15分），需额外参加60分钟培训. 答题时间为分钟，培训时间为60分钟（因得分）， 总时间成本分钟（确定值），故. （ii）若启动“全员补答”， 则剩余10人全部答题，每人答错题的概率，答对题的概率为0.7. 设剩余10人答对的题数为，则. 设团队的最终得分为，则， 若，则， 而 ， 答题时间为分钟， 培训时间：以概率0.615发生，额外参加60分钟培训. 总时间成本的数学期望分钟. 因为不启动全员补答时，分钟，启动全员补答时，分钟， 所以（ii）中的总时间成本的期望更小. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）证明：无零点. （3）若函数，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，构造函数，再利用导数求出函数最大值即可. （3）求出函数，等价变形不等式，换元并构造函数，再利用导数求出最小值即可得证. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以所求的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，设，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即，则恒成立， 所以函数无零点. 【小问3详解】 依题意，函数的定义域为， 不等式 ，由（2）得，则， 令，则，令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 则，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $