精品解析：江苏省镇江市丹徒区炎黄外国语四校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学独立作业2024．12 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题只有1个选项符合题意．每小题3分，共30分） 1. 若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是 A. m＜﹣4 B. m＞﹣4 C. m＜4 D. m＞4 2. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C. 和半径垂直的直线是圆的切线 D. 一个三角形只有一个外接圆 3. 如图，点A、B、C在⊙上，若∠AOB＝130°，则∠C的度数为 （ ） A. 150° B. 130° C. 115° D. 120° 4. 二次函数图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（   ） A. 有一个实数根            B. 有两个相等的实数根            C. 有两个不相等的实数根            D. 没有实数根 6. 下列关于二次函数y=-x2-2x+3说法正确的是（　　） A. 当时，函数最大值4 B. 当时，函数最大值2 C. 将其图象向上平移3个单位后，图象经过原点 D. 将其图象向左平移3个单位后，图象经过原点 7. 若二次函数的图象过A、B、C三点，则大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 9. 抛物线上部分点坐标如表所示,下列说法错误的是(　 　) … 0 1 … … 0 4 6 6 … A. 抛物线与轴的交点为 B. 抛物线的对称轴是在轴的右侧 C. 抛物线一定经过点 D. 在对称轴左侧，随增大而减小 10. 已知方程两根为方程两根为，则下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每空3分，共18分） 11. 已知圆锥的底面直径为，母线长为，它的侧面积为__________． 12. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为_____________． 13. 二次函数图象上两点，则此抛物线的对称轴是直线__________． 14. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________． 15. 六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为2，求中间正六边形的面积_____． 16. 若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是_____． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 解下列方程 （1）； （2）． 18. 已知方程是关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实根． 若方程的两根异号且都为整数，求满足条件的的整数值． 19. 如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长），另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为36m，设垂直于墙的一边长为xm． （1）若所围的面积为160m2，求x的值？ （2）求当x的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？ 20. 如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数． 21. 某商店准备销售一种多功能文件夹，计划从厂家以每个8元的价格进货，经过市场调研发现，当每个文件夹的售价为10元时，月均销量为100个，售价每增长1元，月均销量就相应减少10个． （1）若使这种文件夹的月均销量不低于50个，每个文件夹售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当这种文件夹销售单价为多少元时，销售利润是320元． 22. 已知抛物线与x轴左右交点分别是A、B，顶点是，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并画出它的大致图像（不需要列表）； （2）求四边形面积； （3）当时，函数y的取值范围是 ； （4）点、在此抛物线上，比较、的大小关系． 23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若DE+EA=4，⊙O的半径为5，求CF的长度． 24. 如图（1），已知抛物线过点，连接，点M是抛物线段上的一个动点，设点M的横坐标为t，的面积为S． （1）求抛物线的解析式； （2）求S关于t的函数关系式，并求出点M到直线的最大距离； （3）如图（2），当轴时，点P是抛物线上不与M重合的点，且求点P的坐标． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P是第一象限中抛物线上一动点，则的面积最大是多少，并求出此刻点P的坐标； （3）点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学独立作业2024．12 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题只有1个选项符合题意．每小题3分，共30分） 1. 若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是 A. m＜﹣4 B. m＞﹣4 C. m＜4 D. m＞4 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围： ∵△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m＜0，∴m＞4．故选D． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C. 和半径垂直的直线是圆的切线 D. 一个三角形只有一个外接圆 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义； 根据确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，原说法错误； B、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，原说法错误； C、和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，原说法错误； D、一个三角形只有一个外接圆，说法正确； 故选：D． 3. 如图，点A、B、C在⊙上，若∠AOB＝130°，则∠C的度数为 （ ） A. 150° B. 130° C. 115° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧上取一点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】在优弧上取一点D，连接AD、BD， ∠D=∠AOB=65°， ∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠ACB=180°， ∴∠ACB=115°， 故选C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 4. 二次函数图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把二次函数进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标． 【详解】∵ ， ∴二次函数的顶点坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，配方是解决问题的关键，属基础题． 5. 一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（   ） A. 有一个实数根            B. 有两个相等的实数根            C. 有两个不相等的实数根            D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】a=1,b=2,c=1, , 故选B. 6. 下列关于二次函数y=-x2-2x+3说法正确的是（　　） A. 当时，函数最大值4 B. 当时，函数最大值2 C. 将其图象向上平移3个单位后，图象经过原点 D. 将其图象向左平移3个单位后，图象经过原点 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质对四个选项逐一判断即可得到答案． 【详解】y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4． A、抛物线顶点坐标是（-1，4），且开口方向向下，则当x=-1时，函数最大值4，故本选项正确； B、抛物线顶点坐标是（-1，4），且开口方向向下，则当x=-1时，函数最大值4，故本选项错误； C、将其图象向上平移3个单位后得到y=-（x+1）2+7，图当x=0时，y=6，即该函数图象不经过原点，故本选项错误； D、将其图象向左平移3个单位后得到y=-（x+5）2+7，图当x=0时，y=-18，即该函数图象不经过原点，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特证，以及二次函数的最值的求法，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断． 7. 若二次函数的图象过A、B、C三点，则大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意可得函数的对称轴为直线，根据函数的性质可得离对称轴越远，则函数值越大． 【详解】解： 根据题意得：函数的对称轴为直线，且函数图象开口向上， ∴点离对称轴越远，则函数值越大， ∵， ∴． 故选：B 8. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识．根据菱形的性质得出和是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出，得出四边形的面积等于的面积，进而求出即可． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 、都是等边三角形， ， ， 的高为， 扇形的半径为2，圆心角为， ， ， 设、相交于，设、相交于点， 在和中， ， ， 四边形的面积等于的面积， 图中阴影部分的面积是：， 故选：D． 9. 抛物线上部分点坐标如表所示,下列说法错误的是(　 　) … 0 1 … … 0 4 6 6 … A. 抛物线与轴的交点为 B. 抛物线的对称轴是在轴的右侧 C. 抛物线一定经过点 D. 在对称轴左侧，随增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，随增大而增大．根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴是直线，根据抛物线的对称性可证抛物线与轴的交点为和；因此可得再根据抛物线的性质即可进行判断． 【详解】解：根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下， 由表格中数据可知，时，，时，， ∴抛物线与轴的交点为，故A正确； 抛物线的对称轴是直线，对称轴在轴的右侧，故B正确； 根据对称性可知，抛物线的对称轴是直线，点关于对称轴的对称点为， 即抛物线一定经过点，故C正确； 由表中数据可知在对称轴左侧，随增大而增大，故D错误． 故选：D． 10. 已知方程两根为方程两根为，则下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，把一元二次方程的根看作是二次函数的图象与x轴或直线y=1的交点的横坐标，根据交点的位置，即可得到答案． 【详解】令， ∵方程两根为， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：， ∵方程两根为， ∴方程两根为， ∴抛物线与直线y=1的交点坐标为：， 画出图象，可知：． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的综合，理解并掌握一元二次方程的根就是二次函数图象和某直线的交点的横坐标，是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每空3分，共18分） 11. 已知圆锥的底面直径为，母线长为，它的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：∵圆锥的底面直径为， ∴圆锥的底面半径为，， 解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 12. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律即可进行解答． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握“上加下减，左加右减”． 13. 二次函数图象上两点，则此抛物线的对称轴是直线__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解对称点的特征，本题属于基础题型．由于两点的纵坐标相等，故对称轴是两点横坐标之和的一半． 【详解】解：函数的图象上有两点, 且两点的纵坐标相等， 关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为：直线， 故答案为：3． 14. 二次函数的图像的顶点在轴上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】顶点在x轴上，即纵坐标为0．利用顶点坐标公式即可求出m的值． 【详解】解：∵抛物线y=2x2-4x+3m的顶点在x轴上， ∴， ∴m=． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-），应熟练掌握． 15. 六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为2，求中间正六边形的面积_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG=BH，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到BG=2AG，接着证明HG=AG可得结论． 【详解】解：如图，作正六边形的中心点O，连接OM、ON、OP、OQ、OH、OG， ∵△ABG≌△BCH， ∴AG=BH， ∵∠ABG=30°， ∴BG=2AG， 即BH+HG=2AG， ∴HG=AG=2， ∴中间正六边形可以看作是6个边长为2的正三角形组成的， ∴中间正六边形的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出HG． 16. 若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是_____． 【答案】﹣6． 【解析】 【分析】设y=2m2+mn+m-n，由m+n=2得n=2-m，再由二次函数的性质即可解决问题． 【详解】设y＝2m2+mn+m﹣n， ∵m+n＝2， ∴n＝2﹣m， ∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6， 此为一个二次函数，开口向上，有最小值， 当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6， 故答案为：﹣6． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：配方，得， 即， 开平方，得， ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得， 则 ∴或， ∴，． 18. 已知方程是关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实根． 若方程的两根异号且都为整数，求满足条件的的整数值． 【答案】 (1)证明：由已知，， ， 故方程总有两个实根． （2）， 【解析】 【分析】（1）由已知得，，可得结论；（2）由公式法得，，方程的两根异号且都为整数，满足条件的的整数值为，． 【详解】略 解：由可得， ，， ∵方程的两根异号且都为整数， ∴满足条件的的整数值为，． 【点睛】本题考核知识点：根判别式，解一元二次方程. 解题关键点：熟记根判别式，运用公式法解一元二次方程. 19. 如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长），另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为36m，设垂直于墙的一边长为xm． （1）若所围的面积为160m2，求x的值？ （2）求当x的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？ 【答案】（1）x的值为8或10；（2）当x的值是9时，所围成的鸡场面积最大，最大值是162m2． 【解析】 【分析】由垂直于墙的一边长为xm，平行墙的边长=(36-2x)，根据面积列方程，利用面积列函数关系，根据二次项系数为负，配方即可求出最值即可． 【详解】解:（1）由题意得：x（36﹣2x）＝160， 整理得:x2-18x+80=0， 解得：x1＝8，x2＝10， ∵0＜36﹣2x＜36， ∴0＜x＜18， ∴x的值为8或10． （2）设长方形鸡场的面积为S，由题意得： S＝x（36﹣2x） ＝﹣2x2+36x ＝﹣2（x﹣9）2+162， ∵﹣2＜0，二次函数开口向下，函数有最大值， ∴当x＝9时，S取得最大值，最大值为162． ∴当x的值是9时，所围成的鸡场面积最大，最大值是162m2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数，解题关键是找准题目中的等量关系列方程及二次函数解析． 20. 如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数． 【答案】 （1）证明：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°，即BC⊥AD， ∵CD＝AC， ∴AB＝BD， ∴∠A＝∠D， ∴∠CEB＝∠A， ∴∠CEB＝∠D， ∴CE＝CD． （2）40°. 【解析】 【分析】(1) 连接BC，利用直径所对的圆周角是直角、线段垂直平分线性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边即可证明. （2）利用三角形外角等于不相邻的两个内角和、利用直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余即可解答. 【详解】（1）略 （2）解：连接AE． ∵∠A BE＝∠A+∠D＝50°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣50°＝40°． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 某商店准备销售一种多功能文件夹，计划从厂家以每个8元的价格进货，经过市场调研发现，当每个文件夹的售价为10元时，月均销量为100个，售价每增长1元，月均销量就相应减少10个． （1）若使这种文件夹的月均销量不低于50个，每个文件夹售价应不高于多少元？ （2）在（1）的条件下，当这种文件夹销售单价为多少元时，销售利润是320元． 【答案】（1）每个文件夹售价应不高于15元； （2）当这种文件夹销售单价为12元时，销售利润是320元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）设每个个文件夹的售价为x元，则月均销量为个，根据“这种文件夹的月均销量不低于50个，”列出不等式，即可求解； （2）根据“销售利润是320元”列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个文件夹的售价为x元，则月均销量为个， 依题意，得：，解得：， 答：每个文件夹售价应不高于15元； 【小问2详解】 解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． ∵， ∴不符合题意， 故， 答：当这种文件夹销售单价为12元时，销售利润是320元． 22. 已知抛物线与x轴左右交点分别是A、B，顶点是，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式，并画出它的大致图像（不需要列表）； （2）求四边形面积； （3）当时，函数y的取值范围是 ； （4）点、在此抛物线上，比较、的大小关系． 【答案】（1）， 画图如下： （2） （3） （4）当时；当时，．当时， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点C作轴于点E，当时，，求出，，然后求出，，，，，然后利用四边形面积代数求解即可； （3）首先求出当时，，然后根据图像求解即可； （4）首先将、代入解析式得到 ，，然后作差求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线顶点是， ∴设抛物线解析式为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 如图所示，过点C作轴于点E， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得或3， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴四边形面积 ； 【小问3详解】 当时，， ∴由图像可得，当时，函数y的取值范围是； 【小问4详解】 ∵点、在此抛物线上， ∴，， ∴， ∴当时；当时，．当时，． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质等知识，读懂题意和准确计算是解题的关键． 23. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若DE+EA=4，⊙O的半径为5，求CF的长度． 【答案】 （1）∵OB=OD， ∴∠ABC=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ODB=∠ACB， ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC，OD是半径， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）CF=18． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到OD∥AC即可，于是得到结论； （2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH＝x．则由矩形的性质推知：AE＝5−x，OH＝DE＝4−（5−x）＝x−1．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2＋（x−1）2＝52，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF＝2AH＝2×4＝8，于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴OD=EH，OH=DE． 设AH=x． ∵DE+AE=4，OD=5， ∴AE=5﹣x，OH=DE=4﹣（5﹣x）=x﹣1． 在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣1）2=52， 解得x1=4，x2=﹣3（不合题意，舍去）． ∴AH=4． ∵OH⊥AF， ∴AH=FH=AF， ∴AF=2AH=2×4=8， ∵AC=AB=2OD=10， ∴CF=18． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题时，利用了方程思想，属于中档题． 24. 如图（1），已知抛物线过点，连接，点M是抛物线段上的一个动点，设点M的横坐标为t，的面积为S． （1）求抛物线的解析式； （2）求S关于t的函数关系式，并求出点M到直线的最大距离； （3）如图（2），当轴时，点P是抛物线上不与M重合的点，且求点P的坐标． 【答案】（1） （2），最大距离为 （3） 【解析】 【分析】（1）先得出，再把，分别代入，解得，即可作答． （2）依题意，先求直线的解析式为，然后过点作轴，交于一点， 设点M的横坐标为t，，所以，结合二次函数的图象性质进行作答即可； （3）因为轴，且得出M横坐标为2，然后证明是等腰直角三角形，连接，且与交于一点，记为，证明，再运用待定系数法求出直线解析式， 联立，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵ ∴， 依题意，把，分别代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：依题意，设直线的解析式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴，交于一点，如图所示： ∵设点M的横坐标为t， ∴， ∵的面积为S． ∴， ∵， ∴开口向下，在对称轴直线时，有最大值，且为， ∵， ∴， 设点M到直线的距离为， 则当取最大时，则点M到直线的距离才有最大值， 即， 解得， ∴最大距离为； 【小问3详解】 解：依题意， 的对称轴为直线， ∵轴，且 ∴M横坐标为2， ∵， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵点P是抛物线上不与M重合的点，且 则作射线，且与交于一点，记为， ∵ ∴ ∴， 设直线解析式为， 把分别代入， ∴ 解得 ∴直线解析式， ∵点P是抛物线上不与M重合的点， 联立， ∴， 解得（舍去），， 把代入，得， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，勾股定理，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P是第一象限中抛物线上一动点，则的面积最大是多少，并求出此刻点P的坐标； （3）点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）有最大面积， （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点； （2）过点作轴的平行线，交与点，先求出直线的解析式为．设点的坐标为则点的坐标为．可得．从而得出．再由二次函数的性质求解即可； （3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：当时，即， 解得：，． 图象与轴交于点，， 当时，， 图象与轴交于点， 【小问2详解】 解：如图：过点作轴的平行线，交与点， 设的解析式为，将，代入得： ，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为则点的坐标为． ． ． ， 当时，有最大面积 ， 此时 ； 【小问3详解】 解：当点在上方时，如图1， ， ，即轴， 点与点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； ， ； 当点在下方时，设交轴于点，如图2， 则，． ， ． 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立得， 解得：（不合题意，舍去），， ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与几何综合等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $