6.4.3.1&6.4.3.2　余弦定理、正弦定理【8大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

6.4.3.1&6.4.3.2　余弦定理、正弦定理 【考点梳理】 · 考点一：正弦定理解三角形 · 考点二：正弦定理判定三角形解的个数 · 考点三：正弦定理求外接圆的半径 · 考点四：正弦定理边角互化的应用 · 考点五：余弦定理解三角形 · 考点六：余弦定理边角互化的应用 · 考点七：三角形面积公式问题 · 考点八：正弦定理和余弦定理的综合应用 【知识梳理】 知识点一．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二：角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识点三：解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：正弦定理解三角形 1．（23-24高一下·新疆·期中）在中，已知，，，则（    ） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90° 【答案】C 【分析】由正弦定理求解即可． 【详解】∵，，， ∴由正弦定理，可得：， ∵，∴或． 故选：C． 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 3．（23-24高一下·贵州·期中）在中，若，则是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角. 【详解】在中，由正弦定理得， 而，所以或． 故选：C 题型二：正弦定理判定三角形解的个数 4．（24-25高一下·全国）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得. 【详解】依题意，，即，由，得， 所以的取值范围是. 故选：C 5．（24-25高一下·全国）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 【答案】B 【分析】应用正弦定理判断满足条件的三角形个数即可. 【详解】． 满足条件的三角形有2个． 故选：B. 6．（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】只有已知两边及一边的对角时才可能有两解，还需通过正弦定理、三角形的性质判断． 【详解】对于选项A：已知两边及夹角，由三角形全等可知只有一解，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得， 所以无解，故B错误； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，可知角B有两解，所以有两解，故C正确； 对于选项D：已知三边，根据的取值要么无解，要么只有一解，不可能有两解，故D错误． 故选：C． 题型三：正弦定理求外接圆的半径 7．（23-24高一下·宁夏·期末）已知外接圆的周长为，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先设外接圆的半径由周长求出半径，再应用正弦定理得出边长. 【详解】设半径为，又因为外接圆的周长为，所以, 又因为正弦定理得,所以. 故选：D. 8．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）已知在中，，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理求得三角形外接圆的半径，进而得到三角形外接圆的周长. 【详解】设外接圆的半径为， 根据正弦定理可得，则， 故外接圆的周长为， 故选：D. 9．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求出角、再由正弦定理求外接圆半径即可得解. 【详解】因为，所以由余弦定理可得， 所以， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得，即， 则的外接圆面积为. 故选：C 题型四：正弦定理边角互化的应用 10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，从而得，即有，再结合及，求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以， 从而得， 即， 又， 所以， 又因为， 所以. 故选：B. 11．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到，结合两角和的正弦公式即可得到答案. 【详解】，则由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以. 故选：C 12．（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理化简整理得到，进而得到，可得，即可确定三角形形状． 【详解】已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，即， 所以，即， 所以， 所以， 所以， 则或， 因为， 所以，所以为等腰三角形或直角三角形． 故：B． 题型五：余弦定理解三角形 13．（24-25高一下·全国）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（   ） A．120° B．45° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】应用余弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 由余弦定理得． 因为，所以， 故选：A． 14．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】由余弦定理得到方程，求出. 【详解】由余弦定理得，即， 解得，解得或（舍去）， 故. 故选：D 15．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在中，已知，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出，即而求出，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理：， 所以为锐角，， 所以． 故选：B 题型六：余弦定理边角互化的应用 16．（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 17．（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 18．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 题型七：三角形面积公式问题 19．（23-24高一下·天津·阶段练习）的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理边角互化以及两角和正弦可求得的度数，再根据面积公式以及余弦定理可求得，即可求得角B 【详解】根据题意知，有正弦定理边角互化可知， ， 化简可得，在中，所以，则， 所以得， 由， 可得，，所以， 所以. 故选：C 20．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中角对边满足的面积为6，则（    ） A．4 B． C．6 D．6或 【答案】B 【分析】运用余弦定理，结合同角三角函数关系和面积公式求解即可. 【详解】，可得， 的面积为，解得， ， 由余弦定理，可得：， 解得： 故选：B. 21．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由结合余弦定理求出，再由余弦定理得，进而由两边平方得，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 整理得，故， 又，所以， 所以由得即，    又由题， 所以 ， 即，故， 所以的面积为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决中线问题通常用向量法，先由向量得，接着两边平方，再结合余弦定理去求解. 题型八：正弦定理和余弦定理的综合应用 22．（23-24高一下·云南昭通）在中，分别是角的对边，若. (1)求角的值； (2)若，且满足，求外接圆的半径. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角性质可得，进而有，即可确定角的大小； （2）应用向量数量积的定义可得，结合余弦定理及正弦边角关系得、，进而求边长，最后应用正弦定理求半径. 【详解】（1）由正弦定理得， ，则， 又，则， ，又，故. （2）由. 由余弦定理得：，又， 所以 ， . 23．（24-25高一下·全国）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）根据余弦定理先求，再求，或者应用向量关系平方计算即可. 【详解】（1）如图，在中，因为，，， 所以． （2）方法一   因为点在边上，且， 所以，， 又因为， 所以在中，由余弦定理得，可得． 方法二   ， ， ， ，即． 24．（23-24高一下·北京丰台·期末）在中，三个内角的对边分别为．已知. (1)求角； (2)将射线AB绕点A旋转交线段BC于点E，已知. （i）若，求c； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）（i）由余弦定理求出可得答案，（ii）解法1：，得出，利用基本不等式求出可得答案；解法2：，由正弦定理求出可得，根据的范围可得答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得：， 因为A为三角形内角，所以； （2）（i）由和，可知， 因为，在中，由余弦定理得： ， 所以，所以， 因为，所以，所以； （ii）解法1：由和，可知， 因为， 所以， 又因为，所以，即， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 所以的面积的最小值为. 解法2：由和，可知， 因为，，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得：， 所以， 在中，， 所以 因为，所以， 所以当时，的面积的最小值为. 【高分演练】 一、单选题 25．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值． 【详解】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 26．（23-24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 27．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确． 故选：B． 28．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理，结合三角形解的个数，即可列式求解. 【详解】根据正弦定理，，则， 若满足条件的有两个，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 29．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 30．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C 31．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【详解】在锐角，由余弦定理可知， 由面积公式可得，代入到已知条件可得 ， 因为，化简可得， 根据恒等变换可得，因为锐角， 所以，所以可得， 所以， 则， 因为锐角，所以， 则，在单调递增， 则，令，所以， 所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增， 当时，是极小值，当或时，最大值， 则. 故选：C 32．（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出，然后由余弦定理结合重要不等式得范围，最后由面积公式求最值即可. 【详解】根据题意，由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故选：B. 二、多选题 33．（23-24高一下·四川达州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则是钝角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABC 【分析】根据正弦、余弦定理逐项判断即可. 【详解】对A：由，所以有两解，故A正确； 对B：由余弦定理：， 所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对C：因为三角形为锐角三角形， 所以，即，故C正确； 对D：因为，由正弦定理得：， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故D错误. 故选：ABC 34．（23-24高一下·新疆·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．外接圆的面积为 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论. 【详解】由，得，解得或（舍去）， 所以的周长为，A正确，B正确. 因为，所以，解得，C错误. 设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确. 故选：ABD. 35．（23-24高一下·河北唐山·期中）的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列命题成立的是（    ） A． B． C．最大内角是最小内角的2倍 D．为直角三角形 【答案】AD 【分析】A中，由正弦定理可得A选项的真假；B，D中，由，，的三边的关系，可得该三角形为直角三角形，判断出B，D的真假；C中，由B选项分析，可得，而，判断出C的真假． 【详解】解：A．由正弦定理可得，所以正确，符合题意； B，D中，因为，所以该三角形为直角三角形，，角的余弦值不能比，所以B不正确，D正确； C中，由B选项的分析，可得最大内角为，最小内角为A，因为与不相等，所以角不为，所以C不正确； 故选：AD． 36．（23-24高一下·重庆·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D．中边中线长为 【答案】ABD 【分析】根据余弦定理即可求解A，根据正弦定理即可求解BC，根据向量的模长公式即可求解D. 【详解】因为， 由余弦定理得，，所以，A正确， 由正弦定理得， 所以，，所以B正确，C错误， 设中边中线为,则,故故D正确． 故选：ABD． 37．（22-23高一下·福建福州·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，外接圆半径为R，若，，则（    ） A． B． C．面积的最大值为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A，由正弦定理求外接圆半径；对B，由题设知，结合即可求范围；对C，由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的条件；对D，由C分析有，结合正弦定理边角关系及的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，在锐角中，，所以， ，故B错误； 对于C，由余弦定理可得，又， ，当且仅当，即是正三角形时，等号成立， ， 所以面积的最大值为.故C正确； 对于D，由C，，又，， 又，且， 则 ， 又，所以， 则，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 38．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，则 ． 【答案】 【分析】由余弦定理求解即可． 【详解】由余弦定理得，，解得或（舍）， 所以， 故答案为：． 39．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，且的面积为， 则，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 故答案为: . 40．（23-24高一下·天津西青·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角 ． 【答案】/ 【分析】由正弦定理进行边化角得到，从而得解； 【详解】，由正弦定理可得， 在中，，， ， . 故答案为：. 41．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得. 【详解】在中，由为的角平分线，得， 由，得， 则，所以. 故答案为： 42．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，且，则的面积为 ． 【答案】/0.5 【分析】由正弦定理得，再结合余弦定理，得，利用正弦定理将转化为边，得到，又由余弦定理，结合解出，最后由三角形面积公式，代入数值得到答案. 【详解】因为， 在中，由正弦定理得，即， 由余弦定理得，因为，所以； 因为在中，由正弦定理，即， 所以，所以， 所以，所以， 所以或（舍）所以的面积为． 故答案为：. 四、解答题 43．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 【答案】(1)； (2)周长、外接圆面积分别为、. 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式可得，再根据三角形内角的性质求角的大小； （2）由三角形面积公式有，应用余弦定理得，即可求周长，再由正弦定理求外接圆半径，进而求面积. 【详解】（1）由，由正弦定理得， 从而有，，则， 由； （2）因为，所以， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以周长为， 设外接圆半径为R，由，得， 所以外接圆面积. 44．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若． (1)求角A的大小； (2)若，点D在边BC上，且，求AD的长度 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用正弦定理再结合两角和差公式化简，最后应用辅助角公式计算即可； （2）应用余弦定理化简解出边长. 【详解】（1）由正弦定理得， 可化为， 即， 所以． 因为，所以，即 因为A为三角形内角，所以， 所以，所以 （2）由余弦定理得， 故． 因为D在边BC上，且， 所以． 又， 所以，所以． 45．（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合已知得即可求解； （2）由三角形面积公式得，进一步由余弦定理得即可求解. 【详解】（1）根据余弦定理得， 则，而，从而； （2）， 则， 由余弦定理得 ， ∴，∴． 46．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且． (1)求的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理把边化成角，进而求解； （2）由三角形面积公式并利用可得，再由余弦定理即可求得，由三角形的面积公式可得结果. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得． 因为，所以， 所以，故， 又因为，所以． （2）由题意可知， 即，化简可得． 在中，由余弦定理得， 从而，解得或（舍）． 则． 47．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． (1)求； (2)若点M为AC中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】（1）证明，求出，求出，根据求出； （2）先证明三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍，根据正弦定理求出三边比例关系，求出和，求出的面积. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以，所以或， 当时，因为， 所以，此时， 所以，因为， 所以，所以； （2）先证明以下定理：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍， 如图，是中线，是高线， 因为，，，， 所以 ， 回到题目中，设， 所以，，， 所以， 设，，， 因为，所以， 所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键（2）关键在于证明三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边一半的平方加上这条中线的平方的和的2倍. 48．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3.1&6.4.3.2　余弦定理、正弦定理 【考点梳理】 · 考点一：正弦定理解三角形 · 考点二：正弦定理判定三角形解的个数 · 考点三：正弦定理求外接圆的半径 · 考点四：正弦定理边角互化的应用 · 考点五：余弦定理解三角形 · 考点六：余弦定理边角互化的应用 · 考点七：三角形面积公式问题 · 考点八：正弦定理和余弦定理的综合应用 【知识梳理】 知识点一．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二：角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识点三：解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：正弦定理解三角形 1．（23-24高一下·新疆·期中）在中，已知，，，则（    ） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90° 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 3．（23-24高一下·贵州·期中）在中，若，则是（    ） A． B．或 C．或 D． 题型二：正弦定理判定三角形解的个数 4．（24-25高一下·全国）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 6．（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三：正弦定理求外接圆的半径 7．（23-24高一下·宁夏·期末）已知外接圆的周长为，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 8．（23-24高一下·山东聊城）已知在中，，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 题型四：正弦定理边角互化的应用 10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A．1 B． C． D． 12．（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 题型五：余弦定理解三角形 13．（24-25高一下·全国）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（   ） A．120° B．45° C．60° D．30° 14．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 15．（23-24高一下·贵州·期中）如图，在中，已知，则为（    ）    A． B． C． D． 题型六：余弦定理边角互化的应用 16．（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 17．（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 18．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型七：三角形面积公式问题 19．（23-24高一下·天津·阶段练习）的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中角对边满足的面积为6，则（    ） A．4 B． C．6 D．6或 21．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型八：正弦定理和余弦定理的综合应用 22．（23-24高一下·云南昭通）在中，分别是角的对边，若. (1)求角的值； (2)若，且满足，求外接圆的半径. 23．（24-25高一下·全国）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求． 24．（23-24高一下·北京丰台·期末）在中，三个内角的对边分别为．已知. (1)求角； (2)将射线AB绕点A旋转交线段BC于点E，已知. （i）若，求c； （ii）求面积的最小值. 【高分演练】 一、单选题 25．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨）在中，，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 27．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 31．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 33．（23-24高一下·四川达州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则是钝角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为等腰三角形 34．（23-24高一下·新疆·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．外接圆的面积为 35．（23-24高一下·河北唐山·期中）的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列命题成立的是（    ） A． B． C．最大内角是最小内角的2倍 D．为直角三角形 36．（23-24高一下·重庆·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D．中边中线长为 37．（22-23高一下·福建福州·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，外接圆半径为R，若，，则（    ） A． B． C．面积的最大值为 D．的取值范围为 三、填空题 38．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，则 ． 39．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 40．（23-24高一下·天津西青·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角 ． 41．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则 . 42．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，且，则的面积为 ． 四、解答题 43．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积； 44．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若． (1)求角A的大小； (2)若，点D在边BC上，且，求AD的长度 45．（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 46．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且． (1)求的大小； (2)若，求的面积． 47．（23-24高一下·江苏无锡）在斜中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且． (1)求； (2)若点M为AC中点，且，求的面积． 48．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$