10.2 事件的相互独立性【五大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

10.2　事件的相互独立性 【考点梳理】 · 考点一：事件独立性的判断 · 考点二：独立事件和互斥事件 · 考点三：相互独立事件概率的计算 · 考点四：相互独立事件的实际应用 · 考点五：相互独立事件概率的综合应用 【知识梳理】 知识一　相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 知识二　相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 【题型归纳】 题型一：事件独立性的判断 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 2．（23-24高一下·河南安阳）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 3．（2022·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 题型二：独立事件和互斥事件 4．（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 5．（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 6．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 题型三：相互独立事件概率的计算 7．（24-25高一下·江西抚州）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（   ） A． B． C． D． 题型四：相互独立事件的实际应用 10．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（   ） A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚 11．（23-24高二上·广东清远·期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·湖南·阶段练习）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 题型五：相互独立事件概率的综合应用 13．（24-25高一下·山东东营）甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为， 乙发球甲赢的概率为， 不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． (1)求该局打4个球甲赢的概率; (2)求该局打5个球结束的概率． 14．（24-25高一上·江西抚州·期末）临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 15．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）投掷一枚均匀的骰子，事件: 点数大于 2 ; 事件: 点数小于4 ; 事件: 点数为偶数. 则下列关于事件描述正确的是（     ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C．与是独立事件 D．与是独立事件 2．（24-25高一上·江西赣州·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 4．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 5．（24-25高一下·全国·随堂练习）坛子中放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球2次，用表示第1次摸到白球，表示第2次摸到白球，则与（    ） A．是互斥事件 B．是相互独立事件 C．是对立事件 D．不是相互独立事件 6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立 C． D． 7．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）端午节是我国传统节日，甲，乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是，假定2人的行动相互之间没有影响，那么甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 9．（23-24高一下·江苏苏州·期末）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（    ） A．A与B，A与，与B，与都相互独立 B．与是对立事件 C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若B发生时A一定发生，则 B．若A与B互斥，则A和B都不发生的概率为0.5 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 12．（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（   ） A． B． C． D．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为 13．（24-25高一上·山东威海·期末）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 14．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（   ） A．A与C B．A与D C．B与C D．B与D 15．（24-25高二上·云南大理·期末）已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若发生时一定发生，则 16．（24-25高一下·全国·期末）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D． 17．（24-25高二上·山东青岛·期中）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（    ） A． B．与为对立事件 C．与相互独立 D．与相互独立 18．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互为对立事件 B． C． D．事件与事件相互不独立 三、填空题 19．（24-25高一下·河南·期中）已知是相互独立事件，且，，则 ． 20．（24-25高一下·江西景德镇·期中）小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得 元． 21．（24-25高一下·江西赣州·期中）某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.2，0.1，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为 . 22．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得200元奖金. 已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得 元. 23．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 . 24．（24-25高一上·河南驻马店·期末）如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 25．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 . 四、解答题 26．（24-25高一下·山东东营）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响． (1)求乙获胜的概率; (2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 27．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 28．（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 29．（24-25高一上·贵州·期末）某校举行了交通安全知识竞赛，初赛时，每位参赛选手回答2道题，若2道题全部答对，直接进入决赛；若2道题都答错，直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复赛.复赛时，每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同），若2道题都答对，则进入决赛，否则淘汰.该校学生甲参加了这次交通安全知识竞赛，已知甲初赛时答对每道题的概率均为，复赛时答对每道题的概率均为，且各题答对与否互不影响. (1)求甲进入决赛的概率； (2)求甲至少答对2道题的概率. 30．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数； (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）； (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 21．（24-25高一下·江西赣州·）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． (1)有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； (2)现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2　事件的相互独立性 【考点梳理】 · 考点一：事件独立性的判断 · 考点二：独立事件和互斥事件 · 考点三：相互独立事件概率的计算 · 考点四：相互独立事件的实际应用 · 考点五：相互独立事件概率的综合应用 【知识梳理】 知识一　相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 知识二　相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 【题型归纳】 题型一：事件独立性的判断 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【答案】C 【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则 ，共18个基本事件，则， 设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是9， 则共4个基本事件，则， 且，则， ，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件两次朝上面的数字之和是10， 则，则， 且，则， 因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【答案】C 【分析】首先列举样本空间，利用样本空间法，结合互斥，对立事件的定义，判断ABD，根据与的关系，判断C. 【详解】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个， 其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故， 事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故； 事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故， 事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故， 因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确； 因为,所以C与D不相互独立，故C错误. 因为,所以C与D不互斥，故D正确. 故选:C. 3．（2022·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 【答案】A 【分析】利用互斥事件，独立事件的定义即得. 【详解】由题意得，， 所以. 所以与，与均相互独立，与，与均不互斥. 故选：A. 题型二：独立事件和互斥事件 4．（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 5．（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项. 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 6．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可. 【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 题型三：相互独立事件概率的计算 7．（24-25高一下·江西抚州）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得均不正常工作的概率，再结合对立事件、独立事件概率计算公式即可求解； 【详解】由题可知，元件均不正常工作的概率为， 则元件中至少有一个正常工作的概率为， 从而该系统正常工作的概率为． 故选：B 8．（24-25高一下·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出三个事件然后根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程求对应三个事件的概率，再根据公式算出甲命中乙也命中的概率. 【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意解得 故甲命中乙也命中的概率为. 故选D. 9．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，，根据互斥事件和独立事件概率求法运算求解. 【详解】设甲第局胜，，2，3，且，，， 所以甲恰好连胜两局的概率 . 故选：B. 题型四：相互独立事件的实际应用 10．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（   ） A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚 C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚 【答案】B 【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局即可分出胜负，求得甲获胜的概率，进而得到答案. 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为， 若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负， ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 则甲胜出的概率为，则甲应该分得赌金的， 所以枚，乙分得赌金枚. 故选：B. 11．（23-24高二上·广东清远·期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件，根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案. 【详解】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件， 显然为相互独立事件， 则事件“甲通过三个科目的笔试考核”相当于事件， 所求概率． 故选：A． 12．（23-24高三上·湖南·阶段练习）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得. 【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”， 所以，则. 由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立， 法一：，且两两互互斥， 则 . 法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即， 则. 故选：B. 题型五：相互独立事件概率的综合应用 13．（24-25高一下·山东东营）甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为， 乙发球甲赢的概率为， 不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球． (1)求该局打4个球甲赢的概率; (2)求该局打5个球结束的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设相应事件，可知，结合独立事件概率乘法法则运算求解； （2）设相应事件，可知事件D，E为互斥事件，且，根据独立事件以及互斥事件概率求法运算求解. 【详解】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C， 由题意可知：，，且， 可得， 所以该局打4个球甲赢的概率为． （2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F， 可知事件D，E为互斥事件，且， 则， ， 可得， 所以该局打5个球结束的概率为． 14．（24-25高一上·江西抚州·期末）临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有道题目，答对道题则通过面试（前道题都答对或都答错，第道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为、、，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答道题就结束面试”为事件，记“小华道题都回答且通过面试”为事件． (1)求事件发生的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以，. （2）若事件发生，则小华前两题一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件、相互独立，则. （3）记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为， 而由（1）可得小华通过面试的事件记为，则概率为， 由题意可知，事件、相互独立， 则小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为． 15．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为. （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）投掷一枚均匀的骰子，事件: 点数大于 2 ; 事件: 点数小于4 ; 事件: 点数为偶数. 则下列关于事件描述正确的是（     ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C．与是独立事件 D．与是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可. 【详解】依题意事件，事件，事件， 所以与不是互斥事件，显然不可能是对立事件，故A、B错误； 因为，所以，又，， 所以，所以与是独立事件，故C正确； 因为，所以，又， 所以，所以与不是独立事件，故D错误； 故选：C 2．（24-25高一上·江西赣州·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A，B是相互独立事件，结合对立事件和相互独立事件概率运算的性质，直接进行计算即可. 【详解】解：由，得， 则. 故选：A. 3．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（    ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 【答案】C 【分析】设出事件，结合互斥事件，独立事件和对立事件的概率公式求解概率即可. 【详解】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件， 则恰有一人破译密码为，而互斥， 由互斥事件概率公式得， 由题意得相互独立，相互独立， 由独立事件概率公式得， ， 由题意得，，则， ，得到， 则恰有一人破译密码的概率为，故C正确. 故选：C 4．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 【答案】B 【分析】对于A与C，根据互斥事件的定义判断即可；对于B，分别计算、、，验证是否成立即可；对于D，明确的含义即可求解其概率. 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，表示选出的盒子既有笔记本，又有笔袋，故只能选第四个礼盒，故，故D错误． 故选：B． 5．（24-25高一下·全国·随堂练习）坛子中放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球2次，用表示第1次摸到白球，表示第2次摸到白球，则与（    ） A．是互斥事件 B．是相互独立事件 C．是对立事件 D．不是相互独立事件 【答案】D 【分析】首先由互斥事件的概念排除A、C，然后通过求解事件和事件发生的概率判断是否独立. 【详解】互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件，由此判断和不互斥，则也不对立，故A、C错误； 由题意可得,,,，所以不等于 所以事件与事件不是相互独立事件； 故选：D 6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立 C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型的计算公式先求出和，再由互斥事件、独立事件和对立事件的性质即可逐项判断. 【详解】因为，，， 所以，，； 对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，故A不正确； 对于B，，所以事件A与事件B不独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，由，得， 所以，故D正确； 故选：D. 7．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）端午节是我国传统节日，甲，乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是，假定2人的行动相互之间没有影响，那么甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用间接法，求出两人都不来的概率后可得． 【详解】因为甲，乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是， 所以甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为为． 故选：C． 8．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 【答案】B 【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可. 选项B：利用概率的加法公式，求解即可， 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可. 选项D:利用对立事件求解即可. 【详解】选项A：若B⊆A，则 选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确. 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误. 选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误. 故选：B. 9．（23-24高一下·江苏苏州·期末）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由独立乘法、互斥加法公式计算即可求解. 【详解】租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况． 都付0元的概率为； 都付2元的概率为； 都付4元的概率为． 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为． 故选：D. 10．（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（    ） A．A与B，A与，与B，与都相互独立 B．与是对立事件 C． D． 【答案】A 【分析】由独立事件的定义以及乘法公式判断AC，由对立事件的定义、互斥事件的概率公式判断D. 【详解】对于A：由于两人射击的结果没有相互影响， 则A与B，A与，与B，与都相互独立，故A正确； 对于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即与不是对立事件，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D： ，故D错误； 故选：A 二、多选题 11．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若B发生时A一定发生，则 B．若A与B互斥，则A和B都不发生的概率为0.5 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 【答案】BCD 【分析】对于A，分析事件A和事件B的关系即可判断；对于B，利用互斥事件的概率加法公式即可判断；对于C，D，利用独立事件的定义及独立事件的概率乘法公式进行分析判断即可. 【详解】对于A，由“若B发生时A一定发生”可知，故，所以，故A错误； 对于B，由事件A与事件B互斥可知，故事件A和事件B都不发生的概率为，故B正确； 对于C，由题知，，故，所以事件A与事件相互独立，故事件A和事件B相互独立，故C正确； 对于D，若事件A和事件B相互独立，则事件与事件相互独立，，故，故D正确. 故选：BCD. 12．（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（   ） A． B． C． D．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为 【答案】ACD 【分析】由已知易求得判断A；若，计算可判断B；由，，计算可判断C；利用相互独立事件的概率公式计算可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 若，则，故B错误； 若，则， 若，则， 所以，故C正确； 若、相互独立，则也相互独立，所以， 所以和至少有一个发生的概率为，故D正确. 故选：ACD. 13．（24-25高一上·山东威海·期末）口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D； 【详解】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以， 故与不互斥，故A错误； 对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确； 对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则， 表示取出的小球是黑球的概率，则， 因为，所以事件A与B不独立，故C错误； 对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确. 故选：BD． 14．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（   ） A．A与C B．A与D C．B与C D．B与D 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，列举出样本空间，求出有关概率，再利用相互独立事件的判定公式逐项计算判断. 【详解】掷两个质地均匀的骰子的样本空间： ，共36个样本点， ，共18个样本点， ，共24个样本点， ，共10个样本点， ，共9个样本点， ， 对于A，，，A是； 对于B，，，D是； 对于C，，，C是； 对于D，，，D不是. 故选：ABC 15．（24-25高二上·云南大理·期末）已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若发生时一定发生，则 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件概率加法公式求解判断A，根据独立事件乘法公式和概率的性质求解判断B，结合对立事件概率公式，利用独立事件乘法公式求解判断C，根据事件关系求解概率判断D. 【详解】选项A：与互斥，则，正确； 选项B：与相互独立，所以， 从而，正确； 选项C：，正确； 选项D：发生时一定发生，则，，不正确. 故选：ABC. 16．（24-25高一下·全国·期末）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】AC 【分析】根据互斥、对立、相互独立定义和并事件概率的计算公式判断各个选项； 【详解】样本空间为，，，． 对于A，因为，所以事件与事件互斥，故A正确； 对于B，因为，， 所以事件与事件不对立，故B错误； 对于C，，，，， 即事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以事件与事件不互斥，故D错误． 故选：AC. 17．（24-25高二上·山东青岛·期中）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件，事件，事件，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（    ） A． B．与为对立事件 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】AC 【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意，依次拋郑两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个， 事件“”包含的样本点有：，共6个； 事件，包含的样本点有：， ，共18个； 事件，包含的样本点有：，共7个， 对于A，，A正确； 对于B，包含样本点，事件A与C不为对立事件，B错误； 对于C，事件AB包含的样本点有，3个，， 则，即，事件A与相互独立，C正确； 对于D，事件BC包含的样本点有：，共4个， 而，， 事件与不相互独立，D错误． 故选：AC 18．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互为对立事件 B． C． D．事件与事件相互不独立 【答案】BC 【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B；根据独立事件的判定判断D,根据并事件的概率即可求解C. 【详解】对于A，由事件定义，事件与事件可以同时发生，故不互为对立事件，A错误； 抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种， 对于B，事件的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种， 事件的样本点为，，，，，，，，，，，共有12种， 事件的样本点为，，，，，共6种， 所以,， ，B正确； 因为，所以事件与事件相互独立，D错误． 事件的样本点为，共3种 事件的样本点为共12种， 由于互斥，故的样本点共有15种，故，C正确， 故选：BC． 三、填空题 19．（24-25高一下·河南·期中）已知是相互独立事件，且，，则 ． 【答案】0.426 【分析】根据事件独立求出，再利用求出答案. 【详解】因为是相互独立事件，所以， 所以． 故答案为：0.426 20．（24-25高一下·江西景德镇·期中）小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得 元． 【答案】60 【分析】分别求出小王、小明最终获胜的概率，即可求出结论. 【详解】若小王最后获胜的情况为第四局小王赢或第五局小王赢、 故小王赢的概率为， 若小明最后获胜的情况为后两局小明获胜，故小明获胜的概率为， 故两人获胜的比例为，故按获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得元. 故答案为：. 21．（24-25高一下·江西赣州·期中）某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.2，0.1，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为 . 【答案】0.72/ 【分析】根据独立性事件的乘法公式即可得到答案. 【详解】这两台设备在一周内都不发生故障的概率为. 故答案为：0.72. 22．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得200元奖金. 已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得 元. 【答案】 【分析】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜，根据二人在每局比赛中获胜的可能性相同，计算出他们最终获胜的概率，即可得甲应该分到的奖金数. 【详解】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜， 因为甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同， 则乙连赢三局的概率为， 甲获胜的概率为， 所以甲应该分得奖金的，乙应该分得奖金的， 所以元. 故答案为：. 23．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）甲、乙、丙三人进行扳手腕比赛，累计负两场者淘汰，甲、乙两人先进行比赛，丙轮空，每次比赛的胜者与轮空者进行比赛，负者轮空，直到有1人被淘汰，剩余两人继续比赛，直到其中1人淘汰，另1人最终获胜，比赛结束.假设每场比赛没有平局，甲、乙比赛，甲获胜的概率为，甲、丙比赛，甲获胜的概率为，乙、丙比赛，乙获胜的概率为，则甲与乙比赛负1场且最终甲获胜的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，列举出“甲与乙比赛负1场且最终甲获胜”的所有基本事件，利用独立事件的概率乘法公式计算出相应概率. 【详解】设甲乙比赛中甲胜乙负为事件，甲负乙胜为事件；甲丙比赛中甲胜丙负为事件，甲负丙胜为事件;乙丙比赛中乙胜丙负为事件，乙负丙胜为事件. 设甲与乙比赛负1场且最终甲获胜为事件， 则 故答案为： 24．（24-25高一上·河南驻马店·期末）如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是 . 【答案】0.7424 【分析】先求出电流不能通过，且也不能通过的概率，再利用对立事件的概率公式求出电流能通过的概率，然后利用独立事件的概率公式可求得结果. 【详解】根据题意可知电流能通过的概率为，电流能通过的概率为， 所以电流不能通过，且也不能通过的概率为， 所以电流能通过的概率为， 因为电流能通过的概率为， 所以电流能在E，F之间通过的概率为. 故答案为： 25．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 . 【答案】 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得到至少有一天淋雨的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”. 连续上班两天，上班、下班的次数共4次. （1）次均不下雨，概率为：. （2）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：. （3）有次下雨但不被淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨， ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为：. （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：. （5）次均下雨：. 两天都不淋雨的概率为：， 至少有一天淋雨的概率为： . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查概率问题，具体思路如下： （1）至少有一天淋雨的概率不易分析，则计算两天都不淋雨的概率. （2）从下雨次数入手分类讨论：次均不下雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；次均下雨.计算概率求和. （3）利用对立事件概率的性质即可得到至少有一天淋雨的概率. 四、解答题 26．（24-25高一下·山东东营）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响． (1)求乙获胜的概率; (2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由独立事件的乘法公式以及概率的加法公式计算可得结果； （2）将投篮结束时乙只投了2个球的所有情形的概率相加即可. 【详解】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中， 则． 记“乙获胜”为事件C， 则 ； （2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D， 则 ． 27．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得甲两次抽到相同奖品的概率，利用对立事件的概率公式可求得甲两次抽到的奖品价值不同的概率； （2）先得甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品的所有情况，求得对应的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】（1）记甲两次抽到相同奖品为事件， 记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件， 则， ， 所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为； （2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次. 又获得的奖品价值总和不低于80元， 故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元， 又两次抽到40元，一次抽到30元的概率， 两次抽到40元，一次抽到20元的概率， 两次抽到40元，一次抽到10元的概率， 两次抽到30元，一次抽到40元的概率， 两次抽到30元，一次抽到20元的概率， 两次抽到20元，一次抽到40元的概率， 所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为： . 28．（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是. (1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率； (2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率； (3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）分甲解出乙没有解出和乙解出甲没有解出两种情况，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （3）分甲、乙两人都解出和只有一人解出，利用对立事件的性质和相互独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”， 则. （2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”， 则. （3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”， 则. 29．（24-25高一上·贵州·期末）某校举行了交通安全知识竞赛，初赛时，每位参赛选手回答2道题，若2道题全部答对，直接进入决赛；若2道题都答错，直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复赛.复赛时，每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同），若2道题都答对，则进入决赛，否则淘汰.该校学生甲参加了这次交通安全知识竞赛，已知甲初赛时答对每道题的概率均为，复赛时答对每道题的概率均为，且各题答对与否互不影响. (1)求甲进入决赛的概率； (2)求甲至少答对2道题的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求得甲初赛答对2题进入决赛的概率与甲初赛答对1题进入决赛的概率，利用互斥事件的和事件的概率公式可求甲进入决赛的概率； （2）分甲初赛答对2题，甲初赛答对1题，复赛答对2题，甲初赛答对1题，复赛答对1题三种情况求解可求得甲至少答对2道题的概率. 【详解】（1）甲初赛答对2题进入决赛的概率为， 甲初赛答对1题进入决赛的概率为， 所以甲进入决赛的概率； （2）甲初赛答对2题的概率， 甲初赛答对1题，复赛答对2题的概率为， 甲初赛答对1题，复赛答对1题的概率为， 所以甲至少答对2道题的概率. 30．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数； (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）； (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 【答案】(1)；12人中成绩不低于90分的人数为1； (2)平均数约为分，中位数约为分； (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1可求的值，再根据分层随机抽样可得12人中成绩不低于90分的人数； （2）根据频率分布直方图及平均数与中位数的定义计算即可； （3）根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得. 的频率为，的频率为， 的频率为，按分层抽样方法抽取12人的成绩， 则12人中成绩不低于90分的人数为. （2）该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为： . 的频率为， 的频率为， 设中位数为,则，则，解得， 故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分，中位数约为分. （3）设“至少有一位同学复赛获一等奖”， 则， 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为. 21．（24-25高一下·江西赣州·）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． (1)有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； (2)现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举法应用古典概型计算即可； （2）应用对立事件求概率，再应用互斥事件和概率公式及独立事件概率乘积公式计算. 【详解】（1）样本空间，共有10个样本点， 设“猜对本题得4分”，，有3个样本点，故． （2）记丙得分的事件为，丁得分为，其中 由题意； 记丙丁两位考生总分刚好6分的事件为，易知 由题意 2 学科网（北京）股份有限公司 $$