专题05 辅助圆五种常考模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）

专题05 辅助圆五种常考模型 模型一：定点定长构造辅助圆 1 模型二：定弦定角构造辅助圆 5 模型三：对角互补构造辅助圆 7 模型四：定角定高构造辅助圆 10 模型五：点圆最值构造辅助圆 13 15 模型一：定点定长构造辅助圆 利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型 类型 一点作圆 三点定圆 旋转作圆 折叠作圆 图示 特点 平面内,点0为定点,点A为动点，且 OA的长度固定 0A=0B=0C △ABC绕点A旋转得到△AB'C' 将ΔBEF沿EF折叠,点E是定点,点B的对应点为点 G 作法 结论 点A在以点0为圆心，0A长为半径的圆上运动 点A,B,C均在上 点B,C的运动轨迹分别是以点A为圆心,以AB,AC的长为半径的圆 点G的运动轨迹是以点 E为圆心,BE 长为半径 的一段圆弧 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则． (1)如图2，在四边形中，，，则 ； (2)如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； (3)①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ； ②如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 2．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读理解： (1)【学习心得】 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，AB=AC，∠BAC=46°，D是外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=______°． (2)【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． (3)【问题拓展】 如图3，在的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC． 3．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）如图1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点． (1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ∵AC＝BC＝EC， ∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上， ∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系） ∴∠AEB＝ °． (2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆； (3)线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ． 4．（20-21九年级上·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F． （1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ∵AC＝BC＝EC ∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上 ∴∠AEB＝　 　∠ACB＝　 　°． （2）若BE＝2，求CF的长． （3）线段AE最大值为　 　；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为　 　． 模型二：定弦定角构造辅助圆 定弦定角构造辅助圆的几种常见类型 类型 定角为直角 定角为锐角 定角为钝角 图示 特点 在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=90° 在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=a(a为锐角) 在△ABC中,已知AB的长,点C 为动点,且保持∠ACB=a(a为钝角) 动点运动轨迹 结论 点C在以点0为圆心，AB 长为直径的圆上运动 点C在以点0为圆心,圆心角为 2a 的优弧 AB 上运 动(点0,C在AB 同侧) 点C在以点0为圆心,圆心角为(360°-2a)的劣弧 AB 上运动(点 0,C在 AB 异侧) 1.（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ． 2．（2021·江苏宿迁·三模）如图，B是线段的中点，过点C的直线l与成的角，在直线l上取一点P，使得，则满足条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知中，，，，，点在射线上运动，连接，过点，，三点的圆交于点，则的最小值 ． 4．（2022·江苏扬州·二模）如图，在锐角三角形ABC中，，，于点N，于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是 ． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形中，，，P是矩形内部的一个动点，且，连接并延长交于E，则的最大值为 ．    6.（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）已知：和外一点． (1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：； (2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 模型三：对角互补造辅助圆（四点共圆） 模型 描述 如图①和②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，连接OC，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OC＝OD＝OA＝OB； 如图③，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°(或∠B ＋∠D＝180°) 模型 呈现 模型 结论 (1)A，B，C，D四点共圆； (2)在判断四点共圆后，可以根据圆周角定理等得到角度相等，完成角度之间等量关系的转换，此模型是证明角相等的重要途径之一 1．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有两种类型． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点) 为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，(请你在图1上画圆)则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角， 从而可容易得到 ． ② 类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， 请你完成后面的过程． (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ① 请你写出与的关系，并说明理由； ② 点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 2．（20-21九年级上·江苏连云港·期末）思考发现：    （1）如图1，点A和点B均在上，且，点P和点Q均在射线上，若，则点P与的位置关系是___________；若，则点Q与的位置关系是__________． 问题解决： 如图2，四边形中，，，且，． （2）若点P是边上任意一点，且求的长； （3）如图3，以B为圆心，为半径作弧，交的延长线于点E，若点Q为弧上的动点，过点Q作于点H，设点I为的内心，连结，，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为___________．（直接填空） 模型四：定角定高构造辅助圆 定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路: 图示 在△ABC中，∠ACB为定角，CD是AB边上的高，且CD为定值 作法 作△ABC的外接圆 结论 当构成等腰三角形(AC=BC)时,①AB的长最小:②ΔABC的周长最小;③△ABC 的面积最小 1.（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 2．（21-22九年级上·江苏盐城·期末）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． 3．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：已知，如图1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　．（直接写答案） 问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数； 问题拓展：如图3，在ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长． 模型五：点圆最值构造辅助圆 模型 描述 已知平面内一定点D和☉O，E是☉O上一动点，设点O与点D之间的距离为d，☉O的半径为r， 当D，O，E三点共线时，线段DE有最大(小)值 模型 呈现 点D在☉O内 点D在☉O上 点D在☉O外 ①                  ② ③                ④ ⑤                      ⑥ 模型 结论 如图①，DE的最大值为d＋r；如图②，DE的最小值为r－d 如图③，DE的最大值为2r；如图④，DE的最小值为0 如图⑤，DE的最大值为d＋r；如图⑥，DE的最小值为d－r 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，C为平面内一动点，，连接，M是线段上一点，且满足．当线段的长取最大值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为6，以点C为圆心，2为半径作．P为上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，，，点为边上动点，过点作垂线交于点当点由点运动至点时，点运动路径长 ． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．，点，则长度的最小值是 ． 5．（2023·江苏无锡·二模）如图，正方形的边长为6，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是 ．连结，当点C正好是的内心时，的长是 ．    一、单选题 1．（江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 2．（21-22九年级上·江苏南京·期末）平面直角坐标系内，已知点，，．当时，若最大，则t的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为⊙O上一动点．若D为AP的中点，则线段CD的最小值为（　　） A．－1 B．2 C．＋1 D．4 二、填空题 5．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，点A、B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ．    6．（九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形中，，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点P，则线段的最小值为 ． 7．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．若D为的中点，则线段的最小值为 ． 8．（江苏南京·二模）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 ． 9．（2022九年级·全国·专题练习）如图，四边形中，，的面积为8，则长为 ． 二、解答题 10．（九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．    (1) 求证：A、E、C、F四点共圆； (2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND 11．（九年级上·江苏淮安·期末）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在中，,是外一点，且,求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，则、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=________. （2）【问题解决】如图2，在四边形中，,,求的度数. （3）【问题拓展】如图3，是正方形的边上两个动点，满足.连接交于点，连接交于点,连接交于点,若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是_______. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 辅助圆五种常考模型 模型一：定点定长构造辅助圆 1 模型二：定弦定角构造辅助圆 11 模型三：对角互补构造辅助圆 22 模型四：定角定高构造辅助圆 29 模型五：点圆最值构造辅助圆 38 46 模型一：定点定长构造辅助圆 利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型 类型 一点作圆 三点定圆 旋转作圆 折叠作圆 图示 特点 平面内,点0为定点,点A为动点，且 OA的长度固定 0A=0B=0C △ABC绕点A旋转得到△AB'C' 将ΔBEF沿EF折叠,点E是定点,点B的对应点为点 G 作法 结论 点A在以点0为圆心，0A长为半径的圆上运动 点A,B,C均在上 点B,C的运动轨迹分别是以点A为圆心,以AB,AC的长为半径的圆 点G的运动轨迹是以点 E为圆心,BE 长为半径 的一段圆弧 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则． (1)如图2，在四边形中，，，则 ； (2)如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； (3)①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ； ②如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】(1)25 (2)图见解析 (3)①② 【分析】（1）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （2）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （3）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； ②作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接、． ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （2）作图如下： 由图知，；同理． （3）①．理由如下： 在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读理解： (1)【学习心得】 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，AB=AC，∠BAC=46°，D是外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=______°． (2)【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． (3)【问题拓展】 如图3，在的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC=∠DFC． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解． （2）由、、、共圆，得出， （3）先判断出点、、、在以为直径的同一个圆上，得出，同理得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，，， 以点为圆心，点、、必在上， 是的圆心角，而是圆周角， ， 故答案是：； （2）证明：取中点，连接、， 在中，， 同理： ， 点、、、在以为圆心的同一个圆上， ； （3），， 点、、、在以为直径的同一个圆上， ， 同理：点、、、在以为直径的同一个圆上， ∴， 又∠ADC=∠BEC=90°，∠ACD=∠BCE， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，主要考查了同弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，判断四点共圆是解本题的关键． 3．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）如图1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点． (1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ∵AC＝BC＝EC， ∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上， ∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系） ∴∠AEB＝ °． (2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆； (3)线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ． 【答案】(1)，45； (2)见解析； (3)8， 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答； （2）由题意知，CD垂直平分BE，连接BF，则BF=EF，求得∠EBF=∠AEB＝45°，利用外角的性质得到∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，即可得到结论； （3）当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，当MF⊥BC时线段MF最小，根据BC的中点M，得到CF=BF，设BG=FG=x，则CF=BF=x，CG=(+1)x，由勾股定理得，求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：∵AC＝BC＝EC， ∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上， ∴∠AEB＝∠ACB， ∴∠AEB＝45°． 故答案为：，45； （2）解：由题意知，CD垂直平分BE， 连接BF，则BF=EF， ∴∠EBF=∠AEB＝45°． ∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°． ∵∠ACB＝90°， ∴A、B、F、C在以AB为直径的圆上，即A、B、F、C四点共圆； （3）解：当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8， 当MF⊥BC时线段MF最小， ∵BC的中点M， ∴CF=BF，   设BG=FG=x，则CF=BF=x，CG=(+1)x， ∵， ∴， 得， ∵， ∴， 得， 故答案为：8， ． ． 【点睛】此题考查了圆周角定理，四点共圆的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键． 4．（20-21九年级上·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F． （1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ∵AC＝BC＝EC ∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上 ∴∠AEB＝　 　∠ACB＝　 　°． （2）若BE＝2，求CF的长． （3）线段AE最大值为　 　；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为　 　． 【答案】（1），45；（2）；（3）8， 【分析】（1）根据A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，则由一条弦对的圆心角度数等于其所对圆周角的2倍，即可得到答案； （2）由折叠的性质，CD垂直平分BE，BC＝EC=4，根据∠AEB＝45°，可以得到 ，，再利用勾股定理求解即可得到答案； （3）①A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上,当AE经过圆心C时，线段AE有最大值，最大值即为2AC=8； ②连接BF，取AB的中点O，连接OF，如图所示，先求出来，即点F在以O点为圆心，AB为直径的圆上，再证明点F在以O点为圆心，AB为直径的圆上，从而得到当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC即可求解. 【详解】解：（1）∵AC＝BC＝EC ∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上 ∴∠AEB＝∠ACB＝45°． （2）由折叠的性质可知：CD垂直平分BE，BC＝EC=4 即有BE⊥CD，设CD、BE交于G，则 ∴ ∵∠AEB＝45° ∴ ∴ ∵ ∴ （3）①∵A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上 ∴当AE经过圆心C时，线段AE有最大值，最大值即为2AC=8 ②若取BC的中点M，则线段MF的最小值为，理由如下： 在中，， ∴，， 连接BF，取AB的中点O，连接OF，如图所示： ∵CD垂直平分BE，∠AEB＝45° ∴，从而得到 ∴，从而 ∴ ∴点F在以O点为圆心，AB为直径的圆上 ∵ ∴点C也在圆O上 ∴当OF经过点M时，MF最短，此时OF⊥BC ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了圆的综合问题，勾股定理，三角函数和等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 模型二：定弦定角构造辅助圆 定弦定角构造辅助圆的几种常见类型 类型 定角为直角 定角为锐角 定角为钝角 图示 特点 在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=90° 在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=a(a为锐角) 在△ABC中,已知AB的长,点C 为动点,且保持∠ACB=a(a为钝角) 动点运动轨迹 结论 点C在以点0为圆心，AB 长为直径的圆上运动 点C在以点0为圆心,圆心角为 2a 的优弧 AB 上运 动(点0,C在AB 同侧) 点C在以点0为圆心,圆心角为(360°-2a)的劣弧 AB 上运动(点 0,C在 AB 异侧) 1.（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果． 【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹． 2．（2021·江苏宿迁·三模）如图，B是线段的中点，过点C的直线l与成的角，在直线l上取一点P，使得，则满足条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】以为边作等边三角形，设等边三角形的另一顶点为和，以点O和点为圆心，以为半径作圆，过作交于，连接，过作交于，过作交于，延长交于，由等边三角形的性质和等腰三角形的性质得，由正弦函数的定义得 ，，由正弦三角函数在锐角范围内的增减性得，从而可得，由直线与圆的位置关系得与直线相离，即可判断；由得，由三角形相似的性质得，由图得，可得，由直角三角形直角边与斜边的大小关系得，从而可得，由直线与圆的位置关系得与直线相交，由圆周角定理得，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作等边三角形，设等边三角形的另一顶点为和，以点O和点为圆心，以为半径作圆，过作交于，连接，过作交于，过作交于，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与直线相离， 与直线没有交点； 交于，过作交于， ， ， ， ， ， ， 在中是直角边， 是斜边， ， ， ， 与直线相交， 与直线有两个交点， 如图，交点为和， ， ， 和符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，，圆周角定理及应用，三角函数，直线与圆的位置关系等，掌握相关的判定方法及性质，能将问题转化为直线与圆的位置关系是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知中，，，，，点在射线上运动，连接，过点，，三点的圆交于点，则的最小值 ． 【答案】2 【分析】本题考查了圆的综合题，点和圆的位置关系，点到圆的最短距离，圆周角定理以及勾股定理的应用．解题的关键是确定点F的运动轨迹．要想求的最小值，则需要知道点F的轨迹，由题意可知，因为点F是因点E而变化的，这意味着点F在以为弦的圆上运动，且为定值，设F在以为弦的圆O上运动，，在中可求得半径，在中求出，点在外，要想最短，点应在线段上，问题进而得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 设点F在以为弦的圆O上运动， 当三点共线时，即F运动到位置时，最小， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， 即的最小值为2， 故答案为：2 4．（2022·江苏扬州·二模）如图，在锐角三角形ABC中，，，于点N，于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】先解直角三角形可得，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可得，利用可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 点在以为直径的圆上， ， 在和中，， ， ，即， 设，则， ， ， ，即， ，即， ， 解得， ， 则面积的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 5．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形中，，，P是矩形内部的一个动点，且，连接并延长交于E，则的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】以为直径作，连接，，设，当直线与相切时，最大，证明，得，再同理可证：，得，再在中，根据勾股定理即可． 【详解】解：在矩形中，， 以为直径作，连接，，设，   ， 点在上，， 当直线与相切时，最大， ， ， 在和中 ， ， ， 同理可证：， ， 在中，， ， 解得：， 故的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要四边形综合应用，动点问题，三角形全等的性质和判定，勾股定理，圆的定义等知识，解题的关键是正确的作出辅助线． 6.（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）已知：和外一点． (1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：； (2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，，，首先证（），可得结论； （2）以为直径作，两圆相交于，，直线，即为所求． 【详解】（1）如图，连接，，． ，是切线， ，， ． 在和中， ， ， ． （2）以为直径作，两圆交于点、， 直线、即为所求； 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，直径的性质等知识点，添加合适的辅助线，构造全等三角形，学会利用辅助圆解决问题是解本题的关键． 模型三：对角互补造辅助圆（四点共圆） 模型 描述 如图①和②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，连接OC，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OC＝OD＝OA＝OB； 如图③，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°(或∠B ＋∠D＝180°) 模型 呈现 模型 结论 (1)A，B，C，D四点共圆； (2)在判断四点共圆后，可以根据圆周角定理等得到角度相等，完成角度之间等量关系的转换，此模型是证明角相等的重要途径之一 1．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有两种类型． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点) 为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，(请你在图1上画圆)则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角， 从而可容易得到 ． ② 类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， 请你完成后面的过程． (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ① 请你写出与的关系，并说明理由； ② 点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）①；②；（2）2；（3）①；② 【分析】（1）①点B、C、D都在上，根据，得；②； （2）连接，求出，由轴对称知，根据，得到的值最小为2； （3）①根据正方形性质，结合．证明，得到，推出，即得；②根据，知在点E运动时，点P从点D开始运动到正方形对角线交点O，得点P是在以为直径的上运动，路径长为的周长，为． 【详解】（1）①∵，， ∴点B、C、D都在上， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， ∴当点，，三点共线时，的长最小 ， ∴， ∴长的最小值为； （2）连接， ∵矩形中，，， ∴， 由轴对称知， ∵， ∴当点M在上时，的值最小， 最小值为：； 故答案为：2； （3）①．理由： ∵正方形中，，且． ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴点P在以为直径的上运动， 当点E从点D开始运动到点C时， 点P也随之从点D开始运动到正方形对角线交点O， ∴由对称性知，点P运动的路径长为的圆周长， ∴． 故点P的运动路径长为：． 【点睛】本题主要考查了圆和三角形、四边形综合．熟练掌握圆周角定理及其推论，矩形、正方形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，轴对称性质，三角形外角性质，三角形三边关系，圆周长（或弧长）公式，是解决问题的关键． 2．（20-21九年级上·江苏连云港·期末）思考发现：    （1）如图1，点A和点B均在上，且，点P和点Q均在射线上，若，则点P与的位置关系是___________；若，则点Q与的位置关系是__________． 问题解决： 如图2，四边形中，，，且，． （2）若点P是边上任意一点，且求的长； （3）如图3，以B为圆心，为半径作弧，交的延长线于点E，若点Q为弧上的动点，过点Q作于点H，设点I为的内心，连结，，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为___________．（直接填空） 【答案】（1）在圆上，在圆内；（2）或；（3）． 【分析】（1）利用同圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可判断点与的关系，继而由可判断点Q与的位置关系； （2）过点D作垂直于交于点E，过点A作垂直于，构造等腰直角三角形，以点F为圆心，为半径作圆，交于点P、，根据圆周角定理可知，继而证明四边形是矩形，解得，在等腰直角三角形中，根据勾股定理解得的长，继而得到，在与中，利用勾股定理解的长即可解题； （3）三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，连接，由内心定义得，继而证明，再由全等三角形的对应角相等解得，接着计算的度数，得到，过三个点作，求得的度数，由（2）知， ，在等腰直角三角形中，利用勾股定理解得，最后根据弧长公式解题即可． 【详解】解：（1）如图， 在上， 在圆内， 故答案为: 在圆上，在圆内； （2）如图，过点D作垂直于交于点E，过点A作垂直于，构造等腰直角三角形，以点F为圆心，为半径作圆，交于点P、， ， 四边形是矩形， 在等腰直角三角形中，， 在与中， 、； （3）如图，连接， 是内心， 过三个点作， 当点Q从点C运动到点E时，内心I所经过的路径长为的长， 由（2）知， 在等腰直角三角形中， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的内心性质、不共线三点确定一个圆、弧长公式等知识，是重要考点，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键. 模型四：定角定高构造辅助圆 定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路: 图示 在△ABC中，∠ACB为定角，CD是AB边上的高，且CD为定值 作法 作△ABC的外接圆 结论 当构成等腰三角形(AC=BC)时,①AB的长最小:②ΔABC的周长最小;③△ABC 的面积最小 1.（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3)存在，144 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可． （2）如图2中，作的外接圆，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题． （3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求． （2）存在，理由如下， 如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设． ，，， ，， ，， ， ， ， 的最小值为， ， 的最小值为． （3）存在，理由如下， 如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大， 设，则， ， ， ， 四边形的面积的最大值． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 2．（21-22九年级上·江苏盐城·期末）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． 【答案】（1）45；（2）；（3）见解析；（4）①；② 【分析】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识． （1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点O，连接．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案；②作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：45； （2）如图2，的中点O，连接． ， ， ， ∴点A、B、C、D共圆， ， ， ； （3）作图如下：由图知，；同理． （4）①． 在上截取，连接，以为直径作，交于E，交于F，连接，过圆心O作于H且交圆O于G，过G作的切线交于K，交于Q，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， ∴满足的点恰好有两个，则的取值范围为， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ， ． 在中，， ． ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，， ， ． 3．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：已知，如图1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　．（直接写答案） 问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数； 问题拓展：如图3，在ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长． 【答案】（1）45°；（2）25°；（3） 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由、、、共圆，得出； （3）作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得，，进而求解． 【详解】解：（1）如图，，， 点、、在以点为圆心，长为半径的圆上， 是所对的圆心角，而是所对的圆周角， ， 故答案为：； （2）如图，取的中点，连接、． ，点为的中点， ∴ 点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上， ∵ ， ， ； （3）如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、． ， ， ∵，， ∴， 在中，， 又∵， ． ∵，，， ， ，， ∵在中，，， ， ． 【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的定义、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 模型五：点圆最值构造辅助圆 模型 描述 已知平面内一定点D和☉O，E是☉O上一动点，设点O与点D之间的距离为d，☉O的半径为r， 当D，O，E三点共线时，线段DE有最大(小)值 模型 呈现 点D在☉O内 点D在☉O上 点D在☉O外 ①                  ② ③                ④ ⑤                      ⑥ 模型 结论 如图①，DE的最大值为d＋r；如图②，DE的最小值为r－d 如图③，DE的最大值为2r；如图④，DE的最小值为0 如图⑤，DE的最大值为d＋r；如图⑥，DE的最小值为d－r 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，C为平面内一动点，，连接，M是线段上一点，且满足．当线段的长取最大值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一点到圆上点距离的最值、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．在上取一点，使得，先证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，根据圆的性质可得当点共线，且点在点中间时，的长取最大值，延长交轴于点，过点作轴于点，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，解直角三角形可得，的值，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，最后根据平行线的性质可得，从而可得，的值，在中，解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图1，在上取一点，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上运动， ∴如图2，当点共线，且点在点中间时，的长取最大值， 延长交轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴当线段的长取最大值时，点的坐标为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为6，以点C为圆心，2为半径作．P为上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，则，通过画图发现，点的运动路线为以A为圆心，2为半径的圆，当在对角线延长线上时，最大．再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：如图，连接，， 由旋转得：， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在以点A为圆心，半径为2的圆上， 如图，当在对角线延长线上时，最大， 在中，， ∴， 即长度的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键． 3．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，，，，点为边上动点，过点作垂线交于点当点由点运动至点时，点运动路径长 ． 【答案】 【分析】本题考查了隐圆、直线与圆的位置关系、解直角三角形，关键是搞清什么时候最大． 点从出发进行的往复运动，只要求出的最大值即可，，所以想到作以为直径的圆，当圆与相切时，最大． 【详解】解：以为直径的圆与交于两点，说明点进行的往复运动，当圆与相切时，最大，此时，连接，则， ，，， ，设圆的半径为， 在中，， ， ， 点进行的往复运动， 路径长为， 故答案为：． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N．点P在平面内．，点，则长度的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记点内一点到圆的最短距离半径该点到圆心的距离是解题的关键． 以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，进而可得出的长度及点的长度，结合点的坐标可求出的长，再利用，即可求出长度的最小值． 【详解】解：以为直径作，连接并延长交于点，此时的长度最小， 当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． ，点的坐标为． 又点的坐标为， ， ． 故答案为：1． 5．（2023·江苏无锡·二模）如图，正方形的边长为6，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是 ．连结，当点C正好是的内心时，的长是 ．    【答案】 / 【分析】连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，证明，从而确定点K在以为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到的距离，进一步得出结果． 【详解】解：如图，    连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点K在以为直径的圆O上运动，   ∴当为圆O直径时，最大，此时点K于点C重合， ∴， 当点C为的内心时，   ，，分别平分，和， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点B、C、F共线， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识，添加合适的辅助线． 一、单选题 1．（江苏无锡·期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】如图，取AB的中点T，连接CT，DT．首先证明∠ADB=90°，求出CT，DT，根据CD≥CT-DT，可得结论． 【详解】如图，取AB的中点T，连接CT，DT． ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBD=90°， ∵∠BAD=∠CBD， ∴∠ABD+∠BAD=90°， ∴∠ADB=90°， ∵AT=TB=4， ∴DT=AB=4，CT=， ∵CD≥CT-DT， ∴CD≥-4， ∴CD的最小值为-4， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出CT，DT的长． 2．（21-22九年级上·江苏南京·期末）平面直角坐标系内，已知点，，．当时，若最大，则t的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，利用圆周角定理和三角形外角性质可证得∠ACB最大，过M作MN⊥AB于N，根据垂径定理证得AN=BN=AB，可证明四边形MNOC为矩形，则有MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答． 【详解】解：过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，如图， 则∠ADB=∠ACB， ∵∠ADB是△ADC1的外角， ∴∠ADB＞∠AC1B， ∴∠ACB＞∠AC1B，即∠ACB就是所求的最大角， 过M作MN⊥AB于N，连接MC、MA，则MA=MC，AN=BN=AB，MC⊥y轴， ∴四边形MNOC为矩形，   ∴MC=ON，OC=MN， ∵，，，t＞0， ∴AB=4，OC=t，OA=1， ∴AN=AB=2， ∴MC=ON=OA+AN=3， 在Rt△AMN中，MA=MC =3， 由勾股定理得：， ∴OC=MN=，即t=， 故选：C． 【点睛】本题考查切线性质、圆周角定理、三角形外角性质、矩形的判定与性质、垂径定理、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，得出过A、B、C三点的圆与y轴相切时∠ACB最大是解答的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆上动点恒直角问题，勾股定理，圆周长公式，根据得到，即可得到点H是以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，最后利用周长公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴点H是以为直径的圆上运动， ∵的直径为8， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为⊙O上一动点．若D为AP的中点，则线段CD的最小值为（　　） A．－1 B．2 C．＋1 D．4 【答案】A 【分析】连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，求出OC＝OA＝2，求出OG、OF、CF长，根据勾股定理求出CG，再根据两点之间线段最短得出CD≥CG-GD，再求出答案即可． 【详解】解：∵直径AB＝4， ∴CO＝AO＝2， 连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F， ∵D为AP的中点，OD过O， ∴OD⊥AP， 即点D在⊙G上，GD＝OA＝1， ∴OG＝1， ∵点C为半圆O的三等分点（更靠近A点）， ∴∠AOC＝60°， ∴∠FGO＝30°， ∴OF＝OG＝，GF＝＝， ∴CF＝OC﹣OF＝2﹣＝， 由勾股定理得：CG＝＝＝， ∵CD≥CG-GD， ∴CD≥-1， ∴CD的最小值是-1， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，三角形的三边关系定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键． 二、填空题 5．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，点A、B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】先判断出点C的运动轨迹是在半径为2的上，在y轴负半轴取点D，使，连接，则是的中位线，进而可得当最大时，即最大，而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大，此时取得最大值，计算即可求出结果． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在上，且半径为2， 在y轴负半轴取点D，使，连接，    ∵， ∴是的中位线， ∴， 当最大时，即最大， 而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大，此时取得最大值， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标和图形以及三角形的中位线，定点定长构造辅助圆，解题关键是确定点C的运动轨迹． 6．（九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形中，，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点P，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，以及勾股定理的应用，首先判断出，即可判断出，再根据，可得，所以；然后根据点在运动中保持，可得点的路径是一段以为直径的弧，设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小，最后在中，根据勾股定理，求出的长度，再求出的长度，即可求出线段的最小值为多少． 【详解】解：如图： ，动点，的速度相同， ， 又正方形中，， ， 在和中， ， ∴， ． ， ， ， 点在运动中保持， 点的路径是一段以为直径的弧， 设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小，， 在中，， 即线段的最小值为， 故答案为：． 7．（21-22九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．若D为的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，当点D在上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点D在上时，的值最小， ∵C为半圆O的三等分点（靠近点A）， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，轨迹，勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 8．（江苏南京·二模）定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是 ． 【答案】5 【详解】分析：首先说明点C、B在以OP为直径的圆上，根据直径是圆中最长的弦，即可解决问题． 详解：∵PC、PB是⊙O的切线， ∴∠PCO=∠PBO=90°， ∴点C、B在以OP为直径的圆上， ∵BC是这个圆的弦， ∴当BC=OP=5时，BC的值最大（直径是圆中最长的弦）． 故答案为5． 点睛：本题考查切线的性质、直径的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题. 9．（2022九年级·全国·专题练习）如图，四边形中，，的面积为8，则长为 ． 【答案】4 【分析】如图，作交的延长线于，取的中点，连接，．由对角互补可证明，，，四点共圆，利用全等三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，作交的延长线于，取的中点，连接，． ， ， 四边形对角互补， ，，，四点共圆， ，， ， ，，，四点在以为圆心的圆上， ， ， ， ，   ， ， ， ，， ， ， ， 或（舍弃）， 故答案为4． 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、解答题 10．（九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．    (1) 求证：A、E、C、F四点共圆； (2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆； （2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND． 【详解】（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴∠AEC+∠AFC=180°， ∴A、E、C、F四点共圆； （2）由（1）可知，圆的直径是AC， 连接AC交BD于O， ∵ABCD是平行四边形， ∴O为圆心，OB=OD， ∴OM=ON， ∴BM=ND.    【点睛】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.． 11．（九年级上·江苏淮安·期末）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在中，,是外一点，且,求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，则、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=________. （2）【问题解决】如图2，在四边形中，,,求的度数. （3）【问题拓展】如图3，是正方形的边上两个动点，满足.连接交于点，连接交于点,连接交于点,若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是_______. 【答案】（1）45；（2）25°；（3） 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解． （2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC， （3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小． 【详解】（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC， ∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上， ∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角， ∴∠BDC＝∠BAC＝45°， 故答案是：45； （2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴点A、B、C、D共圆， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BDC＝25°， ∴∠BAC＝25°； （3）在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1＝∠2， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°， ∴∠1＋∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝180°−90°＝90°， 取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH＝AO＝AB＝1， 在Rt△AOD中，OD＝， 根据三角形的三边关系，OH＋DH＞OD， ∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值＝OD−OH＝−1． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$