精品解析：广东省深圳市南山实验教育集团南海中学2024-2025学年九年级下学期开学考数学试题

南海中学九下前测数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是型磁铁示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 根据俯视图的定义即可确定． 【详解】解：从上往下看，是一个大长方形，左右两侧有两个小长方形，中间的棱看得见，为实线， 故选：D． 2. 在直角中，，，，求为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值． 【详解】解：由，， 得出：， 由勾股定理得出：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质． 3. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，根据相关概念，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，所以A项错误，不符合题意． B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，所以B项错误，不符合题意． C、菱形的四个角不一定相等，所以C项错误，不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合题意． 故选：D． 4. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 开口方向向上 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴时，y随x的增大而增大． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 5. 如图，矩形纸片的长，宽分别为两边的中点．若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质“相似多边形的对应角相等，对应边成比例”，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．先根据题意可得矩形与矩形相似，再根据相似多边形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵矩形纸片的长，宽，分别为两边的中点， ∴，四边形是矩形， ∵将矩形纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似， ∴矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， 又∵均为正数， ∴， ∴， 故选：A． 6. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把点P坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：， 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，即，解得：；故B不正确； ∵， ∴在第一象限，随着的增大而减小， ∴当时，，故C错误， 当时，，故D正确， 故选：D 7. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由图象可知：， ，故①正确； ②由抛物线与轴的图象可知：， ，故②正确； ③由图象可知：，， ，故③正确； ④， ， ，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等题型． 8. 如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质． 由基本作图得到垂直平分，则，，，再根据等腰三角形三线合一得到，则可判断四边形为菱形，所以，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出． 【详解】解：由作法得垂直平分AD， ，，， 平分， ， ， ∴四边形为菱形， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 已知，则___________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】由比例的基本性质得：，把x的代数式代入即可求得值． 【详解】解：由条件得：，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，运用比例的基本性质是关键． 10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于的不等式，求出的取值范围即可．对于一元二次方程“（a、b、c是常数，且）”中，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 11. 如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 _____cm2． 【答案】4 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO， ∵BD＝2cm， ∴BO＝1cm， ∵AB＝cm， ∴AO＝ ＝＝2（cm）， ∴AC＝2AO＝4cm． ∴S菱形ABCD＝（cm2）． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系． 12. 如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台的长为20米，主持人站在点处自然得体，已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 __米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可． 【详解】解：点是线段上靠近点黄金分割点，米， （米， 故答案为：． 13. 如图，直线y＝x﹣2交双曲线y（x＞0）于点A，交x轴于点B，直线y＝3x交双曲线y（x＞0）于点C，若OA＝OC，则k的值为 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】设C（m，3m），A（n，n−2），根据勾股定理得到OC2，OA2，由OA＝OC及A，C在双曲线y（x＞0）上，推出k＝2k＋4，即可得到结论． 【详解】解：设C（m，3m），A（n，n−2）， ∴OC2＝m2＋（3m）2，OA2＝n2＋（n−2）2， ∵OA＝OC， ∴m2＋（3m）2＝n2＋（n−2）2，即10m2＝2n2−4n+4， ∵A，C在双曲线y（x＞0）上， ∴m•3m＝k，n（n−2）＝k，即m2＝，n2－2n＝k， ∴k＝2k＋4， ∴k＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，函数的图象，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度适中． 三、解答题（共6小题） 14. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）实数的混合运算，分别计算负整数指数幂，锐角三角函数，化简二次根式，零指数幂，然后在进行计算；（2）用因式分解法解一元二次方程. 【详解】解：（1） =-1 （2） ∴ 【点睛】本题考查负整数指数幂，锐角三角函数，化简二次根式，零指数幂的计算以及解一元二次方程，掌握运算法则正确计算是本题的解题关键. 15. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图． 解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 　 　人． （2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图． （3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率． 【答案】（1）80 （2）32人，图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用学生成绩在B：70≤x＜80组的人数除以20%，即可求解； （2）先求出学生成绩在C：80≤x＜90组的人数，即可求解； （3）把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图可得共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人）， 补全条形统计图如下所示： 小问3详解】 把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁， 根据题意，画树状图如下： 共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种， ∴九年级2名学生恰好分在同一个组的概率为：． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用树状图或列表法求概率，明确题意，从统计图中准确获取信息是解题的关键． 16. 如图，从楼层底部处测得旗杆的顶端处的仰角是，从楼层顶部处测得旗杆的顶端处的仰角是，已知楼层的楼高为米．求旗杆的高度约为多少米?（参考数据：） 【答案】旗杆的高度约为米． 【解析】 【分析】作于点．可得，在Rt△BCD中解直角三角形即可． 【详解】解：作于点， 由题意可知:， 设，则， ， 即：， 则， 答:旗杆的高度约为米， 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 17. 如图，点分别在矩形的边上，连接，交对角线于点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定与性质． （1）根据矩形对边平行，有，再证明，可知； （2）根据勾股定理求出，再根据可得，计算的长即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ， ∴， 【小问2详解】 解：在中， ， ， ， ， ， ， 解得：． 18. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元． （1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ （3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 【答案】（1） （2）这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个 （3）台灯售价定为60元时，每月销售利润最大 【解析】 【分析】（1）根据“售价每上涨1元，其销售量就将减少10个”，即可解答； （2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可； （3）设每月销售利润为W，根据总利润=单件利润×数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答． 小问1详解】 解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴这种台灯的售价为（元）， 销售数量为（个）， 答：这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个． 【小问3详解】 解：设每月销售利润为W， ， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，售价为（元），W取最大值，此时， 答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式，熟练掌握二次函数性质． 19. 下图是两个等宽的矩形（）和矩形叠合得到的四边形的部分图形，与和分别交于点D、C． （1）请用直尺和圆规在图①作出四边形．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； （2）如图②，若点M与点C关于对称，求的度数； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为 （3）的值为 【解析】 【分析】（1）以A为圆心，为半径画弧交于点D，以B为圆心，为半径画弧交于点C，然后连接即可； （2）先说明四边形是菱形可得，再根据轴对称的性质可得，进而得到，最后根据平角的定义即可解答； （3）先说明是等边三角形可得是等边三角形，再根据轴对称的性质可得，进而证明四边形是菱形，即；再说明，最后根据直角三角形的性质及等量代换即可解答． 【小问1详解】 解：如图：四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图：连接 ∵, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∵点M与点C关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵,, ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∵点M与点C关于对称， ∴, ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、尺规作图、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键． 20. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为． （1）若点的“k双曲点”为点，求k及n的值； （2）若， ①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标； ②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上． 解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，设点，点．由题意列方程，即可依次求解； （2）①设，点，点．由点P的“1双曲点”为点，得点，点，进而得方程组，解之即可； ②阅读题中所给例子，设，得点，点， 进而得，点Q在一次函数的图象上，作关于直线的对称点，得，，当，，三点共线时， 的值最大，根据两点间的距离公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：轴，轴， 设点，点． 点， 点，点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①由题意可知：轴，轴， 设，点，点． 点P的“1双曲点”为点， 点，点， ， ， （负值已舍去）， ； ②点P在一次函数的图象上，设， 由题意可知：轴，轴， 设点，点． 点，点， 点Q为点P的“1双曲点”， ， ， 所以点Q在一次函数的图象上， 作关于直线的对称点， 交直线于点D， 作轴于， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 关于直线对称， ， ， 当，，三点共线时，， 此时的值最大， ， ， 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查了新定义下反比例函数与一次函数的综合，涉及轴对称及解直角三角形相关知识，理解题意，作出适当的辅助线是正确解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南海中学九下前测数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图是型磁铁示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在直角中，，，，求为（ ） A. B. C. D. 3. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 4. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x增大而减小 D 开口方向向上 5. 如图，矩形纸片长，宽分别为两边的中点．若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 8. 如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 已知，则___________． 10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 11. 如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 _____cm2． 12. 如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台的长为20米，主持人站在点处自然得体，已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 __米． 13. 如图，直线y＝x﹣2交双曲线y（x＞0）于点A，交x轴于点B，直线y＝3x交双曲线y（x＞0）于点C，若OA＝OC，则k的值为 _____． 三、解答题（共6小题） 14. （1）计算： （2）解方程： 15. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图． 解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 　 　人． （2）求被抽取学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图． （3）学校要将D组最优秀4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率． 16. 如图，从楼层底部处测得旗杆的顶端处的仰角是，从楼层顶部处测得旗杆的顶端处的仰角是，已知楼层的楼高为米．求旗杆的高度约为多少米?（参考数据：） 17. 如图，点分别在矩形的边上，连接，交对角线于点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 18. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元． （1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ （3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 19. 下图是两个等宽的矩形（）和矩形叠合得到的四边形的部分图形，与和分别交于点D、C． （1）请用直尺和圆规在图①作出四边形．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； （2）如图②，若点M与点C关于对称，求的度数； （3）在（2）的条件下，求的值． 20. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为． （1）若点的“k双曲点”为点，求k及n的值； （2）若， ①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标； ②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上． 解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$