精品解析：江西省景德镇市2025届高三上学期第二次质检数学试题

景德镇市2025届高三第二次质检试题 数学 命题 景德镇二中 马小宇 昌江一中 占星 景德镇十六中 余倩 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为，，则. 故选：C． 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的模及乘方求出，再根据复数的虚部的定义即可得解. 【详解】，， 则，∴，则复数的虚部为. 故选：B． 3. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可． 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：B． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式得到，再利用弦化切化简原式代入即可求得结果. 【详解】由，可得， ∴， 故选：C． 5. 已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，求出，再利用等面积法即可求得答案. 【详解】圆，且，则， 又，∴，利用面积相等，∴， 故选：D． 6. 正项等比数列中，是其前项和，若，，则（ ） A. 20 B. 21 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再利用并项法求和. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得，则， 而，所以. 故选：B 7. 定义在上的函数满足，为偶函数，，则（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2025 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得函数的周期与对称轴，可得函数在自变量取整数时的函数值，可得答案. 【详解】∵，， 则， ∴的最小周期为4．令，解得． ∵为偶函数，由函数的图象可由函数的图象向左平移个单位， ∴关于直线成轴对称．∴，∴， ∴．又，∴，， ∴. 故选：A． 8. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，求出离心率. 【详解】如图，是的平分线，则⊥， 设，则， 根据椭圆的光学性质，点处切线与直线均为， 故点到的距离分别为， ， ∵为的中点， ∴由梯形中位线性质得，原点到点处切线的距离为 ， ∴，故，， 又，由余弦定理，可得 ， ∴，即，故， ∴ 的离心率为. 故选：C． 【点睛】求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 二项式展开式中的常数项为24 B. C. 已知某组数据分别为3，5，6，7，8，9，9，11，则这组数据的分位数为8.5 D. 设是随机变量，若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由二项式的展开式的公式求出通项公式，令的指数为0，得到常数项，判断A选项；由对数的计算化简等式两边，判断B选项；由统计的百分位数公式求得结果，判断C选项；由二项分布方差的公式求得，再由方差的性质求得，判断D选项. 【详解】对于A，，当时，常数项为，A正确； 对于B，，，两边相等，B正确； 对于C，，∴分位数即第5位数为8，故C错误； 对于D，由已知可得，则，故D错误． 故选：AB． 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，离心率为，且到其渐近线的距离为，直线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的渐近线方程为 B. 若为的重心，则 C. 若在线段上，且，则 D. 若过点，且外接圆的圆心在轴上，则外接圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离心率求出，即可判断A；根据题意求出，即可求出双曲线方程，进而可得焦点坐标，根据为的重心，可设，，再根据重心坐标求出，即可判断B；根据双曲线的定义即可判断C；设的外接圆圆心，直线，分别与圆的方程及双曲线方程联立，求出，即可判断D. 【详解】对于A，，∴，的渐近线方程为，A正确； 对于B，到其渐近线的距离为，∴，，， 若为的重心，则直线垂直与轴，不妨设，， 则由重心坐标可知，，∴， 代入可得， ∴，B错误； 对于C，依题意， 又，∴，，∴，C正确； 对于D，设的外接圆圆心，则外接圆方程为， 设直线， 与圆联立可得，①， 直线与联立可得②， 依题意可得，①和②为同一个方程， ∴，解得， 经检验，∴外接圆半径为，D正确． 故选：ACD． 11. 在矩形中，，，将沿折叠至，则下列选项正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的最大值为 B. 存在点，使得 C. 当时，二面角的大小为 D. 当平面平面时，三棱锥的外接球被平面所截得到的截面图形的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】A项，当平面平面时，求解即可；B项，通过假设成立，给出矛盾即可；C项，作垂直于，垂直于，由进行两边平方求解；D项，求出截面圆的半径进行求解． 【详解】对于A，设点到平面的距离为,记直线与平面所成角为, 得, 要使直线与平面所成角取得最大,则取最大, 即当平面平面时，取最大,此时, 得，而，得，故A正确； 对于B，若假设存在点，使得， 而，平面， 得平面，平面， 得，而，显然得不到，故假设不成立， 故不存在满足题意的点，B错误； 对于C，作垂直于，垂直于， 如图所示： 则，， ∴， 设二面角的大小为， 则 ， 得，而，得，C错误； 对于D，当平面平面时，， 由余弦定理，， 得， ∴， 设为的中点，易知为三棱锥的外接球球心，半径为1， 由等体积法可知，到平面的距离为， ∴截面面积为，D正确． 故选:AD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解. 【详解】由，得，， ． 故答案为： 13. 小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色（有一种颜色是黑色）的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有______种．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了排列组合，考查数学运算的核心素养，首先根据题意选择分以下三类：仅小崔选了黑色；仅小汪选了黑色；两人都没有选择黑色，然后根据分步乘法计数原理解决问题. 【详解】若仅小崔选了黑色，则有种选法；若仅小汪选了黑色，同理也有种选法； 若两人都没有选择黑色，则有种选法．故共有种选法． 故答案为：1890 14. 已知二次函数与一次函数，若，不等式在上总存在实数解，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，不等式存在解，转化为求解不等式左边的最大值.构建函数，得到函数在的单调性，从而知道函数在内的值域，当时，取最小，建立不等式，求得的取值范围. 【详解】依题意在上总存在实数解， ∴． ∵，∴在上单调递增， ∴，由于， ∴当时，达到最小，即， ∴，解得． 故答案为： 【点睛】方法点睛，不等式存在解（恒成立）的问题，一般转换为求不等式的最值来建立新的不等式，然后求得参数范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，，分别为，边上的高，，． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）证明：由，则， 则， 所以， 整理可得 则，由，∴或， 当时，可得，， 则，解得，则， ∵，且，∴． 由正弦定理可知，则，显然与矛盾， 所以不符合题意，舍去，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和以及三角函数诱导公式，利用三角函数的和角公式，可得答案； （2）由三角形面积公式，利用正弦函数以及余弦的二倍角公式与和角公式，可得三角形内角的余弦值，根据余弦定理，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，且， 则，故，解得， ，∴， 设，，∵，由余弦定理可知， ∵，解得，∴． 16. 如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接交于，连接，∵，∴． 又∵，∴，∵平面，平面，∴平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的线段比例关系得到，即可证明平面. （2）取中点，以为原点建系，利用线面角的向量求法即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，∵，∴，， 又∵，，∴四边形为矩形，． ∵，∴． ∵，且平面，平面， ∴平面，以为原点建系如上图， ，，，，， ∴，，， 设为平面的法向量， 令，则，，∴， ∴， ∴与平面所成角的正弦值为． 17. 已知抛物线的焦点为，为上的一个动点（不与坐标原点重合），设． （1）求的方程； （2）过作的切线，过作的垂线交于点，求的最小值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的标准方程，可得抛物线的准线方程，由定义建立方程，可得答案 （2）利用导数以及直线垂直求得直线方程，联立求交点，利用基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 设的准线方程为，∴，又，可得， 即，，解得，∴的方程为. 【小问2详解】 ∵，∴点处的切线斜率为，∴直线斜率为，∴直线， 与联立可得，，解得， 即的横坐标为，∴的纵坐标为， ∴，时取等号． 18. 人工智能（英语：Artificial Intelligence，缩写为AI）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对AI的关注与性别有关？ （2）为了激发同学们对AI的关注，某班级举办了一次AI闯关PK，甲，乙两名选手参加PK赛，比赛共有道题目，其中甲，乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局． （ⅰ）已知，，且已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲，乙得分之差的绝对值为，求的分布列及数学期望； （ⅱ）由于甲选手较为自负，甲决定放弃第一题的作答．若最终乙获胜的概率为，求的值． 附： 0.1 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 女生 合计 有％的把握认为学生对AI的关注与性别有关． （2）（ⅰ）的分布列为 ；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）数据分析得到列联表，计算出卡方，与比较后得到结论； （2）（ⅰ）设甲、乙得分分别为，得到或．并根据贝叶斯公式得到相应的概率，得到分布列，得到期望值； （ⅱ）假设除去第一题外的剩余题的答题过程中，甲比乙得分高的概率为，乙比甲得分高的概率为，甲乙得分相同的概率为，分析出，并得到乙获胜概率，结合，解得． 【小问1详解】 列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 女生 合计 ∴， 故能有％的把握认为学生对AI的关注与性别有关． 【小问2详解】 （ⅰ）设甲、乙得分分别为，∵为奇数， 故，，，，，，，， 其中，故或． 又， ， ， ， 根据贝叶斯公式，， ． ∴的分布列为 ∴； （ⅱ）假设除去第一题外的剩余题的答题过程中，甲比乙得分高的概率为， 乙比甲得分高的概率为，甲乙得分相同的概率为， 由于甲乙水平相当，根据对称性可知，且． ∴，． 如若乙比甲得分高，则第1题无论结果如何都是乙获胜； 如若甲比乙得分高，则乙不可能获胜； 如果甲乙得分相同，则第一题乙必须答对才能获胜， 故乙获胜的概率， ∵，， ∴． 19. 对于函数与直线，定义：当时，为函数与直线在区间上的偏差，取最小值时，称为函数在区间上的最佳逼近直线．已知函数，，其中，． （1）当时，函数的两个零点分别为，直线，求在区间上的的值； （2）求证：对于任意给定的一个的值，在上总存在三个不同的零点，且； （3）函数在区间与的最佳逼近直线分别为与，它们在轴截距分别为与，求的值． 【答案】（1） （2）证明：令，即，两边同时取对数并化简整理得：， 记，构造函数，发现，，令，即，∵， ∴此方程存在两不等根，由韦达定理可知， ∴，不难得出函数在上递减，上递增，上递减（如图2）， 且，∴． ∵， 令，则， ∴关于单调递增，∴， 故在上存在零点． 又，于是，． 令， 由对勾函数可知时单调递增，且， 故，即． 而， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得在递减，递增，求出最小值，再根据即可求得结果. （2）构造函数，通过求导知道此函数有两根，∵，通过求导得到故在上存在零点，再利用不等式即可求得结果. （3）先证明在区间的最佳逼近直线为，此时．再求出函数在区间的最佳逼近直线的方程为和的方程为，即可求得结果. 【小问1详解】 ，，令解得，解 得，∴在递减，递增， ∴在时取最小值（如图1）， 当处时，均有，故此时的值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 先证明在区间的最佳逼近直线为，此时． 如图3，显然在点与之间，若斜向上，则， 此时中至少有一个的值大于，同理，若斜向下， 则中至少有一个的值大于，∴在区间的最佳逼近直线为． ，当时，的最小值在处取到．而， ∴， 由的任意性可知也具有任意性，即的最小值在处取到， 故函数在区间的最佳逼近直线的方程为． 同理可得的方程为． 又 ． （或∵，∴） 故 【点睛】关键点睛：对于第二小问：利用构造函数，通过求导知道此函数有两根，∵，通过求导得到故在上存在零点，再利用不等式即可求得结果. 第三小问：先证明在区间的最佳逼近直线为，此时．再求出函数在区间的最佳逼近直线的方程为和的方程为，即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2025届高三第二次质检试题 数学 命题 景德镇二中 马小宇 昌江一中 占星 景德镇十六中 余倩 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（ ） A. B. C. D. 6. 正项等比数列中，是其前项和，若，，则（ ） A. 20 B. 21 C. 24 D. 28 7. 定义在上的函数满足，为偶函数，，则（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2025 D. 2026 8. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）．已知椭圆，坐标原点到点处切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 二项式展开式中的常数项为24 B. C. 已知某组数据分别为3，5，6，7，8，9，9，11，则这组数据的分位数为8.5 D. 设是随机变量，若，则 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，离心率为，且到其渐近线的距离为，直线交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的渐近线方程为 B. 若为的重心，则 C. 若在线段上，且，则 D. 若过点，且外接圆的圆心在轴上，则外接圆半径为 11. 在矩形中，，，将沿折叠至，则下列选项正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的最大值为 B. 存在点，使得 C. 当时，二面角的大小为 D. 当平面平面时，三棱锥的外接球被平面所截得到的截面图形的面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则______． 13. 小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色（有一种颜色是黑色）的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有______种．（用数字作答） 14. 已知二次函数与一次函数，若，不等式在上总存在实数解，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，的对边分别为，，，，分别为，边上的高，，． （1）求证：； （2）若，求． 16. 如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 17. 已知抛物线的焦点为，为上的一个动点（不与坐标原点重合），设． （1）求的方程； （2）过作的切线，过作的垂线交于点，求的最小值． 18. 人工智能（英语：Artificial Intelligence，缩写为AI）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对AI的关注与性别有关？ （2）为了激发同学们对AI的关注，某班级举办了一次AI闯关PK，甲，乙两名选手参加PK赛，比赛共有道题目，其中甲，乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局． （ⅰ）已知，，且已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲，乙得分之差的绝对值为，求的分布列及数学期望； （ⅱ）由于甲选手较为自负，甲决定放弃第一题的作答．若最终乙获胜的概率为，求的值． 附： 0.1 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 对于函数与直线，定义：当时，为函数与直线在区间上的偏差，取最小值时，称为函数在区间上的最佳逼近直线．已知函数，，其中，． （1）当时，函数的两个零点分别为，直线，求在区间上的的值； （2）求证：对于任意给定的一个的值，在上总存在三个不同的零点，且； （3）函数在区间与的最佳逼近直线分别为与，它们在轴截距分别为与，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $