精品解析：湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级下学期开学数学试题

八下数学入学反馈练习 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列实数中，是无理数是（ ） A. B. C. 3.14 D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 在代数式，，，，中整式的个数，是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5 如图，，，，则图中等腰三角形有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小3倍 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 7. 如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保，节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点为圆心为半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 已知，，则_____． 12. 分解因式：______． 13. 若分式值等于0，则_______． 14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是_______边形． 15. 如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ___． 16. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知，求与的值． 20. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．为了了解同学们的支付习惯，某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，随机抽取了部分同学进行调查，其中要求每人选且只能选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）共调查了______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”的扇形圆心角度数为______°； （2）请将条形统计图补充完整； （3）如果该校共有1200名学生，请你估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有多少名？ 21. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12． ①求BD的长度； ②求四边形ABCD的面积． 22. 某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双． （1）求第一次每双球鞋的进价是多少元？ （2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？ 23. 如图，在中，，，在的右侧作锐角三角形，使，连接交于点，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 24. 春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． （1）根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形 “巳巳如意三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，，，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值，并说明理由． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点分别是轴负半轴，轴正半轴上两个动点，点为第一象限的一个动点，其中，，连接，，，． （1）如图2，若，满足，，，以为边在上侧作等边，连接，， ①求证：； ②求的长； （2）如图3，若，，，，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下数学入学反馈练习 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、是无理数，故符合题意； B、是有理数，故不符合题意； C、3.14是有理数，故不符合题意； D、是有理数，故不符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了无理数的定义，解本题的关键在熟练掌握无理数的定义． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了象限的符号特征，根据象限符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限进行，即可求解；掌握象限的符号特征是解题的关键． 【详解】解：，， 在第四象限， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 4. 在代数式，，，，中整式的个数，是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的定义，理解“单形式和多项式统称为整式”是解题的关键． 【详解】解：整式有：，，，，共个， 故选：C． 5. 如图，，，，则图中等腰三角形有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知角度分别求出其他角度，然后根据等腰三角形的性质等角对等边，即可判定. 【详解】∵， ∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72° ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 ∵ ∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72° ∴BC=BD ∴△BCD是等腰三角形 ∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A ∴AD=BD ∴△ABD是等腰三角形 故选：D. 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，熟练掌握，即可解题. 6. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小3倍 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用已知条件，代入原式变形化简即可得出答案． 利用分式的基本性质变形化简得出答案． 【详解】如果把分式中的x和y都扩大3倍， 得，． ∴分式的值不变． 故选：A． 7. 如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质；由线段垂直平分线的性质得，进而有，则有； 进一步由含30度角直角三角形的性质求得，最后可求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴； ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保，节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：电动车充电费为300元时能行驶的总路程燃油车燃油费为300元时能行驶的总路程，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点为圆心为半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，先由A、B的坐标得到，进而利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再求出的长即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故选：B. 10. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，由垂线段最短得的值最小，进而由等边三角形的性质及直角三角形的性质解答即可求解，由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，则，，， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆用．把，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案： 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，首先提出公因式，得到：原式，再把括号里面的用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 若分式的值等于0，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据“分式的值为0的条件为分子等于0，分母不等于0”，即可求解． 【详解】解：∵分式的值等于， ∴且． ∴． 故答案为：． 14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是_______边形． 【答案】六## 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设多边形边数为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设多边形边数为， 根据多边形的内角和公式可得， 解得． 故答案为：六． 15. 如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：△ABC的面积=×BC×AE=2， 由勾股定理得， 则， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 16. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了由分式方程的解求参数的取值范围，解分式方程得，由分式方程的最简公分母不为零得，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 解得：， 解为负数， ， 解得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围为且， 故答案为：且． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，先进行零次幂、绝对值、二次根式化简、负指数幂运算，再进行加减运算，即可求解；掌握（），（）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 19. 已知，求与的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式的变形进而求解即可 【详解】， , ， , ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 20. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．为了了解同学们的支付习惯，某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，随机抽取了部分同学进行调查，其中要求每人选且只能选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）共调查了______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”的扇形圆心角度数为______°； （2）请将条形统计图补充完整； （3）如果该校共有1200名学生，请你估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有多少名？ 【答案】（1）；81 （2）见解析 （3）名学生中估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有名 【解析】 【分析】（1）根据使用现金的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，并求出示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数； （2）根据（1）中的结果可以求得使用微信和银行卡的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）用乘以喜欢支付宝支付和微信支付的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的人数为：（人）， 表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为： ， 故答案为：，81； 【小问2详解】 解：使用微信的人数为：（人）， 使用银行卡的人数为：， 补充完整的条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：． 答：名学生中估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有名． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12． ①求BD的长度； ②求四边形ABCD的面积． 【答案】①5；②36 【解析】 【分析】①根据勾股定理求解即可； ②先根据勾股定理的逆定理判断∠DBC=90°，再根据S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC解答即可． 【详解】解：①在△ABC中，∵∠A＝90°，AB＝3，AD＝4， ∴； ②在△BDC中，∵，， ∴， ∴∠DBC=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC=． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 22. 某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双． （1）求第一次每双球鞋的进价是多少元？ （2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？ 【答案】（1）第一次每双球鞋的进价是70元 （2）最低打6折 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设第一次每双球鞋的进价是x元，由题意易得，然后求解即可； （2）设应打y折，根据题意可得不等式，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次每双球鞋的进价是x元， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第一次每双球鞋的进价是70元． 【小问2详解】 解：设应打y折， 依题意得：双， ， 解得：， 答：最低打6折． 23. 如图，在中，，，在的右侧作锐角三角形，使，连接交于点，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了余角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，直角三角形的特征，勾股定理等； （1）由直角三角形的特征得，，结合对顶角相等，即可得证； （2）连接，由即可得证； （3）延长交于，由全等三角形性质得，由线段垂直平分线定理得 ，由勾股定理得，，即可求解； 掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ 和中 ， （）； 【小问3详解】 解：延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故的长． 24. 春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”． （1）根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形 “巳巳如意三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，，，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值，并说明理由． 【答案】（1）是 （2）是，理由见详解 （3）或，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了新定义，勾股定理； （1）由勾股定理得，由新定义即可求解； （2），，由新定义即可求解； （3）由新定义分类讨论：①当时， ②当时， ③当时，即可求解； 理解新定义，能进行分类讨论是解题关键． 【小问1详解】 解：如图，在中，，， ， ， 等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：是； 理由如下： ， ， ， 该三角形是“巳巳如意三角形”； 【小问3详解】 解：是；理由如下： ①当时， ， 解得：，（舍去）， ； ②当时， ， 解得：，（舍去）， ； ③当时， ， 解得：，（舍去）， ； 故的值为或． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点分别是轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，点为第一象限的一个动点，其中，，连接，，，． （1）如图2，若，满足，，，以为边在上侧作等边，连接，， ①求证：； ②求的长； （2）如图3，若，，，，连接，求的长． 【答案】（1）①见详解；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的判定及性质得，是等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质即可得证； ②取的中为，连接，由勾股定理得；由等边三角形的判定方法得是等边三角形，是等边三角形，由勾股定理得，由全等三角形的性质，即可求解； （2）过作轴交于，作轴交于，过作交于，由平行线的性质得 ，，由勾股定理得，由三角形的面积得，求出，由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 ①证明：，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中 ， （）； ②解：如图，取的中为，连接， ， ，， 解得：，， ，， ； ， 等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过作轴交于，作轴交于，过作交于， 轴，轴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能添加适当的辅助线并熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$