第07章 锐角三角函数 章节测试练习卷- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第07章 锐角三角函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．在中，，，，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系及勾股定理，即可求出b． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a=2，CA=b，AB=c， cosB===， ∵BC=a=2，， ∴c=6， ∴b===． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 2．用我们数学课本上采用的科学计算器求的值，按键顺序正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】用计算器求锐角三角函数值 【分析】根据计算器按键顺序计算即可． 【详解】解：采用科学计算器计算，按键顺序正确的是B选项中的顺序． 故选：B． 【点睛】本题主要考查用计算器计算三角函数值，熟悉计算器的按键顺序是解题关键． 3．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴， 在中， 故A、B不符合题意； 在中，， 故C符合题意； ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以计算出书架第七层顶端离地面的高度． 【详解】解：由题意可得， ，米，， ， （米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为:，坝高，则坡面AB的长度（    ） A．12m B．18m C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【详解】∵迎水坡AB的坡度为：，坝高， ∴ . 故选A． 6．在中，，，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求角的余弦值 【分析】题目中没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：当为直角三角形时，存在两种情况： ①当为斜边，． ，， ． ； ②当为斜边，． 由勾股定理得：． ； 综上所述，的值等于或， 故选C． 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论． 7．圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比(    ) A．扩大了一倍 B．扩大了两倍 C．扩大了四倍 D．没有变化 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、正多边形和圆的综合 【分析】设正n边形的边长为x，根据正多边形的性质结合锐角三角函数求出半径的长，再求出比值，即可确定其比值与圆的半径无关，从而选择． 【详解】如图为该正n边形的一部分，过点O作AB的垂线于点P， 设正n边形的边长为x，即AB=x，则． 根据正多边形性质可知它的每个中心角是，即， ∴， ∴半径， ∴正n边形的边长与半径之比为， ∴正n边形的边长与半径之比与圆的半径无关， ∴圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有发生变化． 故选D． 【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，圆的基本性质等知识．正确画出图形，并利用数形结合的思想是解题关键． 8．将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是(　　) A．cm B．2cm C．4cm D．cm 【答案】A 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、矩形与折叠问题 【分析】由图中条件可知纸片重叠部分的三角形ABO是等边三角形，此三角形的高是AM=2，求边长，利用锐角三角函数可求． 【详解】解：如图， 作AM⊥OB，BN⊥OA，垂足为M、N， ∵长方形纸条的宽为2cm， ∴AM=BN=2cm， ∴OB=OA， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， 在Rt△ABN中，AB===cm． 故选A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定及解直角三角形的运用．关键是由已知推出等边三角形ABO，有一定难度． 9．已知下列说法：①如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大；②如果α是锐角，则cosα随着角度的增大而增大；③如果α是锐角，则tanα随着角度的增大而增大；④如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，tanα<1，其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】Sinα是对边与斜边的比值，cosα是邻边与斜边的比值，tanα是对边与邻边的比值，利用锐角三角函数的定义即可解答. 【详解】如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大，cosα随着角度的增大而减小，tanα随着角度的增大而增大，据此可判断①和③正确，②错误；如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，但tanα只有在α＜45°时才小于1，故④错误； 故选择B. 【点睛】理解锐角三角函数的定义是解答此题的关键. 10．如图，正方形中，过点A，B交边于点E，连结交于点F，连结，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数综合、圆周角定理 【分析】连接，，根据四边形是正方形，得, 是的直径，即有,根据圆周角得性质得 ，可有，设 ，则,， ,,设，则 ,由勾股定理得： 则可得 ， ，则可以得出 。 【详解】解：如图示，连接，， ∵四边形是正方形， ∴, ∴经过O点，是的直径， ∴, ∵，, ∴， 设，则, , , 设，则, 由勾股定理得： 即： 解之得：， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，圆的性质等知识点，能连接，得出， 是解题的关键。 二、填空题 11．把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的 ，记作 ，即tan A＝ 【答案】 正切；； tan A 【知识点】求角的正切值 【解析】略 12．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sinα= ． 【答案】0.8 【知识点】求角的正弦值 【详解】试题分析：已知点P的坐标（3，4），就是已知直角三角形的两直角边的长3与4，根据勾股定理就可以求出OP的长5．根据三角函数的定义求sina=． 考点：解直角三角形 13．在△ABC中，∠C-90°，若tanB=2，a=1，则b= ． 【答案】2 【知识点】已知正切值求边长 【详解】试题解析：在Rt△ABC中， ∵∠C=90°， ∴AB为斜边． ∴b=AC•tanB =a•tanB =2． 故答案为2. 14．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 m．（结果精确到0.1m） 【答案】2.3 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长． 【详解】在Rt△ABC中, ∴ ∴ 即斜坡AB的长为2.3m. 故答案为2.3. 【点睛】考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键. 15．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 ． B．用科学计算器计算：13××sin14°≈ （结果精确到0.1） 【答案】 9 11.3 【知识点】用计算器求锐角三角函数值、多边形内角和与外角和综合、实数的混合运算 【分析】A、首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数； B、利用科学计算器计算可得． 【详解】解：A．∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的外角是：180°-140°=40°， 则这个正多边形的边数为：360°÷40°=9． 故答案为：9． B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3， 故答案为：11.3． 【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角和计算器的使用，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数． 16．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，tanB＝，则△ABC的面积是 cm2. 【答案】12 【知识点】已知正切值求边长 【详解】根据锐角三角函数关系tanB=，求出AC的长，再利用直角三角形面积求法求出即可． ∵△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，tanB= ∴tanB= ∴AC=6， ∴△ABC的面积是：×4×6=12． 故答案为12． 17．如图，在中，，D是边的中点，E是边上一点，连接，若且平分的周长，则的长是 ． 【答案】2 【知识点】解直角三角形的相关计算、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可． 【详解】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N， 设AC=x， DE平分△ABC的周长， ∴ME=EB， 又AD=DB， ∴DE=AM，DE∥AM， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACM=120°， ∵CM=CA， ∴∠ACN=60°，AN=MN， ∴AN=AC•sin∠ACN=x， ∴AM=2DE=2AN=2， 在Rt△CAN中，，∠CAN=60︒， ∴AC==2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键． 18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥BC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，则D2D3＝ ，这样继续作下去，线段DnDn＋1＝ . 【答案】 【知识点】解直角三角形 【详解】在Rt△ACB中，∠B=30°，∠A=90°-30°=60°. 又在Rt△AD1C中，AC=1，CD1=AC=. 同理在Rt△CD2D1中，D1D2=CD1=. 在Rt△D2D3D1中，D2D3=D1D2=. 依此下去，在Rt△DnDn+1Dn-1中，DnDn+1=. 点睛：一般求第n个或求下标很大的某个式子，不可能直接算出来，而是通过计算前面几项找到规律后直接写出. 三、解答题 19．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）0． 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握几个特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 20．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度，该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等，测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米，求居民楼的高度．(精确到0.1米，参考数据：≈1.73) 【答案】18.4米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】设每层楼高为x米，由MC﹣CC′求出MC′的长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中，利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′，由C′B′﹣C′A′求出AB 的长即可． 【详解】解：设每层楼高为x米， 由题意得：MC′=MC﹣CC′=2.5﹣1.5=1米， ∴DC′=5x+1，EC′=4x+1， 在Rt△DC′A′中，∠DA′C′=60°， ∴C′A′=（5x+1）， 在Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30°， ∴C′B′=（4x+1）， ∵A′B′=C′B′﹣C′A′=AB， ∴（4x+1）﹣（5x+1）=14， 解得：x≈3.17， 则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4米． 考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 21．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【详解】试题分析：首先根据AB和AC的长度以及勾股定理得出BC的长度，最后根据坡比的计算法则得出答案． 试题解析：∵某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米， ∴水平距离BC= =6（m）， 则该斜坡的坡比是：． 22．已知α、β均为锐角，且满足|sinα-|+ (tanβ−1)2 =0，求α+β的值 【答案】75° 【知识点】特殊角的三角函数 【详解】分析: 根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数． 本题解析：∵|sinα-|+ (tanβ−1)2 =0， ∴sinα= ，tanβ=1， ∴α=30°，β=45°， 则α+β=30°+45°=75°． 点睛：本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值、掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 23．如图，中，，点是线段延长线上一点，，垂足为，交线段于点，点在线段上，经过、两点，交于点. （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的半径. 【答案】（1）证明见解析；（2）的半径为． 【知识点】解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，根据直角三角形的性质可得，从而得出，即可证出结论； （2）根据各角的关系可得，从而求出DF，利用锐角三角函数求出DE，，从而求出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径． 【点睛】此题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质和锐角三角函数，掌握切线的判定、等腰三角形的性质和锐角三角函数是解决此题的关键． 24．如图,在等腰△ABC中,AB=AC,如果2AB=3BC,求∠B的三个三角函数值. 【答案】sin B===,cos B===, tan B===2. 【知识点】正切、余弦、正弦 【详解】试题分析： 三角形函数的定义是建立在直角三角形基础上的，因此我们需要构造一个包含∠B的直角三角形，结合已知条件和等腰三角形的性质，我们选择作出BC边上的高，利用已知条件和“等腰三角形中的三线合一”，可以把AB、AD、BD用含同一待定字母的式子表达出来，就可由“锐角三角函数的定义”求出∠B的三个三角函数值了. 试题解析： 过点A作AD⊥BC于点D，如图所示. ∵AB=AC， ∴BD=CD. 又∵2AB=3BC， ∴=. 设AB=AC=3k，则BC=2k. ∴BD=CD=k， ∴AD====2k. ∴sin B===，cos B===，tan B===2. 点睛：求一个锐角的三角函数在初中阶段我们一般要把这个锐角放到一个直角三角形中去，或证明这个角与某直角三角形中的一个锐角相等，然后在直角三角形中利用锐角三角函数的定义来求解. 25．如图已知：△ABC中，AD是边BC上的高、E是边AC的中点，BC=11，AD=12，DFGH为边长为4的正方形，其中点F、G、H分别在AD、AB、BC上． （1）求BD的长度； （2）求cos∠EDC的值． 【答案】（1）BD=6；（2）. 【知识点】三角函数综合 【分析】（1）将AD=12，GF=DF=4代入即可. （2）用勾股定理得AC，再求出ED=EC,，即可. 【详解】解：（1）∵如图DFGH为顶点在△ABD边长的正方形∴ 将AD=12，GF=DF=4代入得：BD=6， （2）∵BC=11，BD=6，∴CD=5 在直角△ADC中，, ∴AC=13 ∵E是边AC的中点， ∴ED=EC, ∴∠EDC=∠ACD ∴. 【点睛】本题考查的是三角形的综合运用，熟练掌握三角函数是解题的关键. 26．图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝； （2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1； （3）在图③中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】已知正切值求边长 【分析】（1）在图①中，根据正切的定义和tan∠CAB＝即可得到点C位置； （2）在图②中，根据tan∠DAB＝1知Rt△ABD为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得出点D的位置； （3）在图③中，根据正切定义和tan∠AEB＝即可得出点E的位置． 【详解】（1）如图①，点C即为所求作的点； （2）如图②，点D即为所求作的点； （3）如图③，点E即为所求作的点； 【点睛】本题考查基本作图与设计、正切、等腰直角三角形的性质、勾股定理，理解正切的定义，熟悉网格特点，弄清问题中所作图形的要求，结合几何图形的性质和基本作图方法是解答的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07章 锐角三角函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．在中，，，，则等于（    ）． A． B． C． D． 2．用我们数学课本上采用的科学计算器求的值，按键顺序正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   3．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 5．一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为:，坝高，则坡面AB的长度（    ） A．12m B．18m C． D． 6．在中，，，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 7．圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比(    ) A．扩大了一倍 B．扩大了两倍 C．扩大了四倍 D．没有变化 8．将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是(　　) A．cm B．2cm C．4cm D．cm 9．已知下列说法：①如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大；②如果α是锐角，则cosα随着角度的增大而增大；③如果α是锐角，则tanα随着角度的增大而增大；④如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，tanα<1，其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，正方形中，过点A，B交边于点E，连结交于点F，连结，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 11．把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的 ，记作 ，即tan A＝ 12．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sinα= ． 13．在△ABC中，∠C-90°，若tanB=2，a=1，则b= ． 14．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 m．（结果精确到0.1m） 15．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 ． B．用科学计算器计算：13××sin14°≈ （结果精确到0.1） 16．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，tanB＝，则△ABC的面积是 cm2. 17．如图，在中，，D是边的中点，E是边上一点，连接，若且平分的周长，则的长是 ． 18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥BC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，则D2D3＝ ，这样继续作下去，线段DnDn＋1＝ . 三、解答题 19．计算： （1）； （2）． 20．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度，该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等，测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米，求居民楼的高度．(精确到0.1米，参考数据：≈1.73) 21．如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比 22．已知α、β均为锐角，且满足|sinα-|+ (tanβ−1)2 =0，求α+β的值 23．如图，中，，点是线段延长线上一点，，垂足为，交线段于点，点在线段上，经过、两点，交于点. （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的半径. 24．如图,在等腰△ABC中,AB=AC,如果2AB=3BC,求∠B的三个三角函数值. 25．如图已知：△ABC中，AD是边BC上的高、E是边AC的中点，BC=11，AD=12，DFGH为边长为4的正方形，其中点F、G、H分别在AD、AB、BC上． （1）求BD的长度； （2）求cos∠EDC的值． 26．图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝； （2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1； （3）在图③中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$