精品解析：广东省河源市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024年秋季期末教学质量检测 八年级数学学科试卷 说明：1．全卷含答题卡共4页，满分120分，考试用时为120分钟． 2．本次考试范围：八年级上册内容． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，，3 D. 1.5，2，3 3. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制)选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ） A. 170分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 4. 在雪枫中学的社团象棋班里，善于思考的小强发现:在如图所示的象棋盘上，若“帅"和“相"所在的坐标分别是(1，-2)和(3，-2)上，则“炮”的坐标是( ) A. (-1， 1) B. (-1， 2) C. (-2， 1) D. (-2， 2) 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于一次函数，下列说法正确是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与x轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 8. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2.5 9. 在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了节废电池啊！”小丽说：“如果你给我节废电池，我的废电池数量就是你的倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了节废电池，小丽收集了节废电池，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，实数、在数轴上的位置，化简：（ ） A. 0 B. C. D. 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约是（π取3）________. 12. 在平面直角坐标系中，在第二象限内有一点，点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为__________． 13. 一条直线过点且平行于直线，则此函数的解析式为________． 14. 如图所示，直线直线，，，则的度数为___________． 15. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 三、解答题（一）（本大题共4小题，其中16、17题各4分，18、19题各7分，共22分） 16. 计算：． 17. 解方程组：． 18. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若轴，且，求的值． 19. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米； （2）请你求出旗杆高度． 四、解答题（二）（本人题共2小题，每小题9分，共27分） 20. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4﹣7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）． 回答下列问题： （1）补全条形图； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）请你计算平均数，并估计这260名学生共植树多少棵？ 21. 如图，在中，平分交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 22. 如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，．在边上取一点E，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点D处． （1）直接写出点D和点E的坐标：D（ ），E（ ）； （2）求直线的表达式； （3）若直线与平行，当它过长方形的顶点C时，且与y轴相交于点F时，求的面积． 四、解答题（三）（本大题共2小题，每小题13分，共26分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求长； （2）求点C和点D坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 【综合与应用】 正值双十一购物节，深圳线下各大商场开展火热的促销活动． 恰逢莲花中学举行秋季运动会，团委想借此机会购进一批足球． 现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？ 某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的足球购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A品牌足球和4个B 品牌足球共需440元；购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场： A，B品牌足球均按原价的8折销售． 乙商场： ①购买A品牌足球数量不超过8个时，按原价销售；数量超过8个时，超过的部分按原价的7折销售． ②购买B品牌足球不打折． 问题解决 任务一 求A、B两种品牌足球的原价． 任务二 学校打算购买A、B品牌足球共60个， 若设购买A品牌足球a个，选择在甲商场购买总费用为元、选择在乙商场购买的总费用为元．分别求出和关于a的函数关系式． 任务三 任务二中和的函数图象如上图所示， 请结合函数图象分析，学校选择哪个商场购买足球更合算？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期末教学质量检测 八年级数学学科试卷 说明：1．全卷含答题卡共4页，满分120分，考试用时为120分钟． 2．本次考试范围：八年级上册内容． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相同，进而得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故选：D． 2. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，，3 D. 1.5，2，3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 3. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制)选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为（ ） A. 170分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：（分）； 故选B． 4. 在雪枫中学的社团象棋班里，善于思考的小强发现:在如图所示的象棋盘上，若“帅"和“相"所在的坐标分别是(1，-2)和(3，-2)上，则“炮”的坐标是( ) A. (-1， 1) B. (-1， 2) C. (-2， 1) D. (-2， 2) 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知两点的坐标,确定其在直角坐标系中的位置,画出坐标系,即可解题. 【详解】解：如图所示, “帅"和“相"所在的坐标分别是(1，-2)和(3，-2), ∴“炮”的坐标是(-2， 1) 故选C. 【点睛】本题考查了直角坐标系的概念,属于简单题,作出坐标系是解题关键. 5. 如图，，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据，得到，再结合三角形内角和为，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．逐一分析各选项的运算是否正确，利用二次根式的性质和运算法则进行判断． 【详解】A. 与非同类二次根式，无法直接相加，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D.，则，计算正确． 故选D． 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与x轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据解析式逐一判断选项，即可解答，明确题意，熟练利用一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 图象经过第一、二、三象限，故A正确； 函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误； 当，可得，解得， 图象与x轴交于点，故B错误； 函数值y随自变量x的增大而增大， 当时，，故D错误， 故选：A． 8. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是， 故选：C． 9. 在学习完“垃圾分类”的相关知识后，小明和小丽一起收集了一些废电池，小明说：“我比你多收集了节废电池啊！”小丽说：“如果你给我节废电池，我的废电池数量就是你的倍”．如果他们说的都是真的，设小明收集了节废电池，小丽收集了节废电池，则可列方程组为（　　） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小明收集了节废电池，小丽收集了节废电池，由题意列出即可，读懂题意，找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小明收集了节废电池，小丽收集了节废电池， 由题意可得，， 故选：． 10. 如图，实数、在数轴上的位置，化简：（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，由数轴得到，，再化简绝对值后利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约是（π取3）________. 【答案】10cm 【解析】 【分析】画出圆柱的半个侧面展开图，由两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理求解． 【详解】如图为圆柱的半个侧面展开图，连接AB，AB即为最短路径， AC=×3×4=6cm，BC=8cm， ∴AB2=62+82=100， ∴AB=10cm． 故答案为10cm． 【点睛】本题主要考查圆柱的侧面展开图以及勾股定理的应用． 12. 在平面直角坐标系中，在第二象限内有一点，点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据各象限内点的坐标特征，可得答案． 【详解】由题意，得 ，． ∵点P在第二象限内， ∴，， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 13. 一条直线过点且平行于直线，则此函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式；设函数解析式，将，代入即可求解． 【详解】解：由题意设函数解析式为， ∵过， ∴， 解得：． ∴． 14. 如图所示，直线直线，，，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识，数形结合分析思想是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由三角形外角的性质得到，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案： ． 15. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共4小题，其中16、17题各4分，18、19题各7分，共22分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，绝对值化简，负指数幂的计算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，绝对值，负指数幂的结果，再根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键． 运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 得，， 整理得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 18. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点坐标； （2）若轴，且，求的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握在轴上的点的坐标的纵坐标为零，平行于轴的两个点的横坐标相等是解此题的关键． （1）根据在轴上的点的坐标的纵坐标为零，求解即可； （2）根据平行于轴的两个点的横坐标相等得到，根据得到，先求出a的值即可． 【小问1详解】 解：点在x轴上， ， 解得． ∴ 【小问2详解】 解：轴， ∴点A与点B的横坐标相同， ∴ ∵， ∴， 解得或 当时，， 当时，， 即的值为或． 19. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1）5； （2）12米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【小问1详解】 解：根据题意知：米，米． 故答案为：5；； 【小问2详解】 解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 四、解答题（二）（本人题共2小题，每小题9分，共27分） 20. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4﹣7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）． 回答下列问题： （1）补全条形图； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）请你计算平均数，并估计这260名学生共植树多少棵？ 【答案】（1）补全条形图见解析；（2）众数为5棵，中位数为5棵；（3）估计260名学生共植树5.3×260=1378棵. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用总人数20乘以对应的百分比即可求得D类的人数，从而补全直方图； （2）根据众数、中位数的定义即可直接求解； （3）首先求得调查的20人的平均数，乘以总人数260即可． 试题解析：（1）D类的人数是：20×10%=2（人）． （2）众数为5棵，中位数为5棵 （3）（棵）． 估计260名学生共植树5.3×260=1378（棵） 21. 如图，在中，平分交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当时，求度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义和平行线的性质与判定， （1）根据平分得到，再由等量代换推出， 根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， 平分， ， ． 22. 如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，．在边上取一点E，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点D处． （1）直接写出点D和点E的坐标：D（ ），E（ ）； （2）求直线的表达式； （3）若直线与平行，当它过长方形的顶点C时，且与y轴相交于点F时，求的面积． 【答案】（1）4，8；0，5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，则，得出．由勾股定理得出，解得，可求出点的坐标； （2）由待定系数法可求出直线解析式； （3）求出直线的解析式，可求出点的坐标，由三角形面积可得出答案． 【小问1详解】 解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， ， ． 在△中，由勾股定理，得， 又，， ， 解得， ． ，； 故答案为：4，8；0，5； 【小问2详解】 解：设、两点所在的直线的解析式为， 则，解得， 所以过、两点的直线函数表达式为． 【小问3详解】 解：直线与平行， ， 直线过长方形的顶点， ， ， 直线的解析式为， 时，， ， ， 的面积． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 四、解答题（三）（本大题共2小题，每小题13分，共26分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）分别令，可求得；令，可求得，根据，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得，可求，进而可求点坐标． 【小问1详解】 解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的长为5； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可知，，， ∴，即； 设，则，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∴存在，点坐标为或． 【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． 24. 【综合与应用】 正值双十一购物节，深圳线下各大商场开展火热的促销活动． 恰逢莲花中学举行秋季运动会，团委想借此机会购进一批足球． 现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？ 某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的足球购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A品牌足球和4个B 品牌足球共需440元；购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场： A，B品牌足球均按原价的8折销售． 乙商场： ①购买A品牌足球数量不超过8个时，按原价销售；数量超过8个时，超过的部分按原价的7折销售． ②购买B品牌足球不打折． 问题解决 任务一 求A、B两种品牌足球的原价． 任务二 学校打算购买A、B品牌足球共60个， 若设购买A品牌足球a个，选择在甲商场购买的总费用为元、选择在乙商场购买的总费用为元．分别求出和关于a的函数关系式． 任务三 任务二中和的函数图象如上图所示， 请结合函数图象分析，学校选择哪个商场购买足球更合算？ 【答案】任务一：A品牌足球的单价是80元，B品牌足球的单价是50元． 任务二：甲商场购买总费用乙商场购买总费用 任务三：见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一次函数的应用等知识． （1）设A品牌足球的单价为x元，B品牌足球的单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）甲商场总花费根据单价乘以数量乘以折扣即可得出答案，乙商场总花费分和两种情况，分别求解即可． （3）当甲，乙两商场总花费相等时，即可得出关于a的一元一次方程求解得出a的值，再结合函数图像即可得出哪个商场购买足球更合算． 【详解】解：任务一：设A品牌足球的单价为x元，B品牌足球的单价为y元． 依题意得， 解得， 答：A品牌足球的单价是80元，B品牌足球的单价是50元． 任务二：甲商场总花费：，即 乙商场总花费：当时， ，即； 当时，，即 综上，甲商场购买总费用， 乙商场购买总费用； 任务三：当甲，乙两商场总花费相等时， 可列方程，， 解得∶， 结合函数图像可得： 当时，，即购买A品牌足球数量少于44个时，选择甲商场购买更合算． 当时，，即购买A品牌足球数量等于44个时，选择甲，乙商场购买都可以． 当时，，即购买A品牌足球数量大于44个时，选择乙商场购买更合算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $