江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

江西师大附中高一年级数学期中试卷 命题人：李建兴 审题人：吴小平 一、单项选择题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③， ④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 3．已知函数在上单调递减，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 5．▲若函数为奇函数，则它的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 6．已知函数图像恒过定点，且点在函数图像上，则 的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 7．设是定义在上的奇函数，对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数（且），若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 （本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（    ） A．命题“，都有”的否定是“，使得” B．若，则 C．与表示同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 11．已知函数的定义域为R，其图象关于中心对称，若，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12． . 13．已知幂函数在上单调递减，则 . 14．将的图象向右平移2个单位后得曲线，将函数的图象向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称．若的最小值为且，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 （共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题13分）已知集合为实数集，或，. (1)若，求； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（本题15分）已知函数是定义在上的奇函数. (1) 求的值; (2) 解不等式. 17．（本题15分）已知定义域为的奇函数. (1)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (2)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 18．（本题17分）已知且，函数满足，设,. (1)若，求函数的最小值； (2)函数，若对，都存在，使得，求实数的取值范围. 19．（本题17分）对于定义在区间上的函数，若． (1)已知，，试写出、的表达式； (2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围； (3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知,函数是上的“3阶收缩函数”,求的取值范围. 江西师大附中高一年级数学期中试卷 第 4 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西师大附中高一年级数学期中试卷参考答案 一、单选题 1. C【详解】依题意，，或，所以或. 2. C【详解】因为函数在上单调递减，且，由减函数的定义可知，当时，有，充分性成立；当时，，必要性成立.即充要条件. 3. C【详解】对应关系若能构成从到的函数，须满足：对中的任意一个数，通过对应关系在中都有唯一的数与之对应，对于①，，当时，，故不满足题意； 对于②，，当时，，故不满足题意； 对于③，，当时，，当时，，当时，，当时，，故满足题意； 对于④，，当时，，当时，，当时，，故满足题意． 4. D【详解】由知：，，偶函数，AC错，，B错. 5. B【详解】函数为奇函数，则， ∵不一定在函数的定义域内，故A无法判断；∵，∴的图象必经过点，故B正确，D错误；∵，故C错误. 6. C【详解】由得，又，所以定点为，从而，，当且仅当时等号成立， 7. D【详解】依题意，奇函数在上单调递增，，则在上单调递增，，因为，当时，不等式可化为，解得： 当时，不等式可化为，解得：；所以原不等式的解集为. 8. B【详解】当时，则，且，所以，若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减，可得，不合题意； 若，则在内单调递增，可得，则，解得；综上所述：实数a的取值范围是. 二、多选题 9.AD【详解】对于A，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A正确； 对于B，设，则，故B错误； 对于C，函数的定义域为，函数定义域为， 故函数和不是同一函数，故C错误； 对于D，对函数，其定义域为，所以对函数有，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 10. ABC【详解】对于A，因为，所以，所以函数的定义域为R，故A正确； 对于B，，，故， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，函数定义域为R，，所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，函数是增函数，且，所以函数是减函数，所以函数是增函数，故是增函数，故D不正确． 11. ACD【详解】A选项，的定义域为R，其图象关于中心对称，故，故，A正确； B选项，由题意得，又，故， 令得，即，B错误； C选项，由题意得，即，令，则，所以为奇函数，C正确； D选项，因为，所以， 即，故，令，则， 故为偶函数，D正确. 三、填空题 12. 2【详解】原式. 13. 【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或. 当时，为增函数，不符合题意；当时，在单调递减，符合题意. 14. .【详解】试题分析：首先应求出的表达式，曲线对应的函数式为，曲线与关于轴对称，因此的函数解析式为，向上平移2个单位，就是函数的图象，则.，其最小值大于，说明函数的最小值大于.下面观察函数，若，则当时，，无最小值，同理当时，时，，无最小值，因此，，当且仅当时等号成立，即最小值为，从而，解得. 五、解答题 15.（1）当时，，且，故； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当，即，即时，此时满足题意；当，即，即时， 只需或，即或，又，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 16.（1）因函数在上为奇函数，有，得，又，解得.即. （2）由，不等式为，即，，解得，即.故不等式解得. 17.（1），函数在定义域内单调递增，证明如下： ，且，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （2）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此，所以实数的取值范围是. 18. 1当时，，解得，当时，，无解，故的值为，故，，因为，令，则，又因为在上单调递增，当，即时，函数取得最小值2； （2）设在上的值域为，在上的值域为，由题意可知，，由（1）知，因为，解得：或，当时，且，则， 可得，可得的最大值为，最小值为，即，可得，解得：，当时，且，，可得，可知，的最大值为，最小值为，即，可得，解得：， 综上可知，的取值范围是. 19. （1）因为函数在上单调递减，则， 因为函数在上单调递增，则. （2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增， 当时，令，则，由，则，对称轴，函数在为单调递增，根据复合函数的单调性，函数在 单调递减，不合． 当时，令，由，则，只需，化简得，解得， 综上所述的取值范围为 （3）， 所以，， 由题意： 且 当时， 由图知，时， 当， 又 当， 又 综上可得. 2 / 2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$