专题02 向量基本定理及坐标表示（6大考点60题）（期中真题汇编，江苏专用）高一数学下学期苏教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02向量基本定理及坐标表示(6大考点60题) ☆6大高频考点概览 考点01已知向量共线（平行）求参数 考点02平面向量共线定理的推论 考点03用基底表示向量 考点04平面向量基本定理的应用 考点05向量坐标表示与运算 考点06向量平行的坐标表示 目目 考点01 已知向量共线（平行）求参数 一、单选题 1.(24-25高一下江苏高邮期中)设e,e,是平面内两个不共线的非零向量，已知AB=2e+k2, BC=e+3E,,CD=-2e+e,若A,B,D三点共线，则实数k的值为() B.2 C.8 D.-8 2.(24-25高一下江苏东台期中)已知向量a,不共线，m=a-36,n=2a-xb,若m/n,则x=() A.-6 B. 2 C.6 D青 3.(22-23高一下江苏南通期中)已知，6是两个不共线的向量，向量ā=2-e,万=ke+6.若ā1B, 则k=() A.-2 1 B.2 C.2 D.2 4,(24-25高-下江苏连云港赣榆区期中在△0AB中，C是AB上一点，且0c-0A+0B,若 3 CB=AC,则实数2的值为() A吉 B. C.1 D.2 5.(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学期中)设a与五是两个不共线向量，且向量ā+2b与2a-b共线，则 1=() A.0 B月 C.-2 D. 二、填空题 6.(24-25高一下江苏新海高级中学开发区校区·期中)在ABC中，N为AB中点，BC=3BM,设AM与 1/11 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C交于点P,则 C 三、解答题 7.(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)如图，在ABC中，M是线段BC上一点，且满足BM=2MC,点 P满足AP=3PM,过P的一条直线I分别交线段AB、AC于点E、F.设AE=xAB,AF=yAC,其中x 、ye(0,1.记AB=a,AC=b. G (1)试用a、E表示A亚： (2)求x+2y的最小值； (3)若直线1交CB的延长线于点G,并有MB=BG,求C的值. 2 目目 考点02 平面向量共线定理的推论 一、单选题 8.2425高一下江苏东台期中在4BC中，N=C,P是直线8v上的-点，若亚=m丽+号4C, 则实数m的值为() A月 3 B.- c月 D.月 9.(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在平行四边形ABCD中，E,F分别为AB,BC中点，AF与 DE交于点N,AN=xAB+yAD,则x+y=() A B c 4 D.5 二、多选题 10.(2425高一下·江苏连云港赣榆区·期中)已知a,五，C是三个非零向量，则下列结论正确的是() A.若ab=,则ab B.若ac=b.c,则a=b C.若allb,blc,则allc 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.(6.c)a-(a.c)i不与c垂直 三、填空题 11.(24-25高一下·江苏南京中华中学期中)如图，已知点G是ABC的重心，过点G作直线分别与AB,AC 两边交于M,N两点，设AM=xAB,A=yAC,则x+4y的最小值为， 12.(2425高一下·江苏徐州期中)在ABC中，O是BC边上靠近B的四等分点，过点0的直线分别交直线 AB,AC于不同的两点M,N,设AB=mAM,AC=nAN,其中m>0,n>0,则lnm+lnn的最大值为 目目 考点03 用基底表示向量 一、 单选题 13.(24-25高一下江苏高邮期中)如图，在ABC中，P在线段BC上，满足2BP=PC,0为线段AP上一 点，且BO=BA+元BC,则元的值为() A昌 B. 14.(24-25高一下江苏徐州铜山区期中)在平行四边形ABCD中，AB=3AE,BF=2BC,则EF=() AB+号DB. 4B+4D C.2AB+2AD D.24B+2AD 15.(2425高一下江苏南京外国语学校期中)已知平行四边形4BCD的两条对角线交于点0，A正=4C, 则() A.AO=AB-AD B.DE=1DA+3DC 4 4 C.BO=BA+BC D.BE=3BO-1BC 2 2 16.(24-25高一下江苏南京中华中学期中)在ABC中，点D为AB的中点，记CA=ā，CD=b,则CB=() 3/11 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A.2a-b B.2a+b C.a+2b D.26-a 17.(2425高一下江苏南通海门实验学校期中)直角梯形ABCD,AB·AD=0,AC.BD=0,AD=3BC,且 BC=1,则AB=() A.3 B.1 c. D.√2 18.(②324高一下江苏徐州期如图，在A8C中，∠B4C=子AD=2DB,P为CD上一点，且满足 P=m4C+号4B,若4C=3,4B=25,则.C历值为《) 人吕 B.21 4 c. D.-19 12 19.(24-25高一下江苏南京金陵中学期中)在ABC中，∠A=60°，AB=3,AC=2,若BD=2DC, AD.AE=-4且AE=2AC-AB(2∈R),则元的值为() A. B. 4 7 D. 20.(24-25高一下·江苏无锡第一中学期中)已知G为△ABC重心，线段AB上一点满N足AB=3AN,CN与 1G相交于点M,则 =() AG A. B 21.(24-25高一下江苏扬州中学期中)如图，已知D,E分别是△ABC边AB,AC上的点，且满足AB=三AD, AC=4AE,BE与CD交于点O,连接A0并延长交BC于点F,若AO=1OF,则实数1的值为() A.2 B > 3 C. 2 D.3 22.(24-25高一下江苏连云港东海县·期中)在ABC中，M是BC中点，AM=1,AB.AC=-3,则BC= 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () A.√5 B.5 C.2 D.4 二、填空题 23.(24-25高一下江苏苏州中学校期中)已知M是边长为3的正ABC所在平面内一点，且 AM=2元AB+(1-2)AC(2∈R),则MA.MB的最小值为， 三、解答题 24.(24-25高一下江苏苏州期中)在ABC中，AM=MC,BN=2NC,设AB=a,AC=b (1)用a,b分别表示AN,BM; ②若B=21C=10os∠BAC=0求NBW 25.(24-25高一下江苏盐城五校期中在直角梯形ABCD中，AB/1CD,∠DAB=90°， AB=2AD=2DC=4,点F是BC边上的中点 B (I)若点E满足DE=2EC,且EF=1AB+4AD,求6元+4的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求AP.DP的取值范围， 26.(2425高一下·江苏南京协同体十校期中)如图，在ABC中，已知AB=4,AC=2,∠BAC=60°，M 为AB边上一点，点N在线段BC上，且CN=NB,AN⊥CM. 2 M (1)求线段AN的长度， (2求4的值 AB 目目 考点04 平面向量基本定理的应用 5/11 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 一、单选题 27.(23-24高一下江苏盐城响水中学期中)如图，在ABC中，∠BAC=60,∠BAC的平分线交BC于点D ,若AB=4,且AD=AC+入AB(∈R),则AD的长为() 4 B A.35 B.4V5 C.5 D.5 28.(23-24高一下江苏宿迁期中)在ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且 cD=DA,P=名AB+元AC,则无=() A. B. D. 1 6 3 29.(24-25高一下·江苏常州·期中)在正六边形ABCDEF中，P是正六边形ABCDEF内部以及边界上任意一 点，且AP=1AB+μAF,则2+“的最大值为() A.2 B.3 C.4 D.5 二、多选题 30.(24-25高一下·江苏连云港·期中)下列说法中正确的是() A.若AB=CD,则AB=CD,且方向相同 B.若单位向量ā，乙夹角为石，则向量a在向量让的投影向量为y5万 C.对任意向量a,五，c,都有(ab)c=a(6c) C的所在平面内一点，若A0AB+4C,则△ABO的面积是6AC0 三、填空题 31.(23-24高一下江苏南京六校联合体考试期中)已知D,E分别为aABC的边AB、AC上的点，线段BE和 .21 CD相交于点P,若AD=3DB,且DP=1PC,CE=μuEA,其中元>0，u>0,则2+二的最小值为 32.(23-24高一下·江苏常州教育学会)如图，△0AB所在平面内的两点P,Q满足0P+00=x0A+y0B.若 P,Q是线段AB的两个三等分点，则y=若P,Q是线段AB上的动点，则x+y=· 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 33.(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学.期中)在ABC中，H为BC的中点，M为AH的中点.若 AM=2AB+μAC,则2+H的值为 34.(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)四边形ABCD内接于圆O,AB/1CD,AB=2AD=8,若 AO=xAB+yAD且x+2y=1,则四边形ABCD的面积为 四、解答题 35.(23-24高一下江苏苏州期中)已知向量OA,OB不共线，点P满足OP=xOA+yOB,x,y∈R证明： 1 ()若x=y=2,则点P是线段4B的中点： (2)x+y=1是A、B、P三点共线的充要条件 目目 考点05 向量坐标表示与运算 一、单选题 36.(24-25高一下江苏扬州扬州大学附属中学期中)已知向量ā=(1,2)，b=(2,入)，若ā·6=0，则2=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 37.(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学期中)已知向量ā，b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网 格纸上小正方形的边长为1，则(a-bc=() b A.-10 B.-6 C.6 D.10 38.(2425高一下江苏东台期中)已知点A-1,1),B(2,-1,若直线AB上的点D满足AD=2BD,则D点 坐标为() A.(5,-2 B.6,-2 C.（4,-3 D.(5,-3) 7/11 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 39.(24-25高一下江苏南通如皋调研)已知向量ā=（-2,2)，b=(2,2),若a1b,则1=() A.2 B.-2 C. D月 40.(2425高一下江苏常州六校联合体期中已知向量ā=(3，m),b=(1,-1),1a+i7,则m的值为 () A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或2 41.(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)边长为2的正方形ABCD上有一动点P,则向量 AB.AP的最大值是() A.1 B.2 C.22 D.4 42.(24-25高一下江苏盐城五校期中)如图，“六芒星”是由两个边长为6正三角形组成，中心重合于点0且 三组对边分别平行，点A,B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则 OB.AP的取值范围是（) 图1六芒星 图2 A.[-8,8 B.[6,6 c.[-65,65 D.[-4,45 43.(24-25高一下江苏沭阳如东中学期中)已知向量ā=(2,1,6=(3,4)，则6-a在ā上的投影向量为() A.(2,1 B.(1,2 C.(2,4) D.（-2,-1 二、多选题 44.(24-25高一下·江苏镇江中学期中)给出下列命题中，其中正确的选项有() A.若非零向量a,飞满足：a+=a+,则a与洪线且同向 B.若非零向量a,E满足：a==a-，则a与a+i的夹角为60° C.若a=(2,3),b=(-3,m),a与向量夹角为钝角，则m取值范围为(-0,2) AB AC D.在ABC中，若 BC=0,则ABC为等腰三角形 AB AC 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 三、填空题 45.(24-25高一下江苏镇江徐州七校期中)设向量a=(1,x),6=(4,-2)，若a1,则实数x= 46.(24-25高一下江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知向量a=(1,2),b=（x,1),2a+b与平行， 则x的值为· 47.(24-25高一下江苏无锡第三高级中学期中)已知向量ā=(1,2)，万=(x,1-x),若ā1万，则x= 四、解答题 48.(Q425高一下江苏南京鼓楼区南京第二十九中学期中)已知向量a=(2,-25),5=2,与Z的夹角为写 (1)求ab的值； (2)若ma-3b=2W13,求实数m的值. 目目 考点06 向量平行的坐标表示 一、单选题 49.(24-25高一下江苏南京中华中学期中)a=(3,-2),b=(,1),若a/6,则实数t为() B c D青 50.(24-25高一下·江苏南通海安期中)已知平面向量a=(-3,4),b=(k,8),a/6,则k=() A.-8 B.-6 C.6 D.8 51.(2425高一下·江苏南京金陵中学期中)已知向量a=(-2,2),b=(1,2),若c=(xy),且满足c+b)∥ā ,则x+y=() A.-3 B.-2 C.2 D.4 二、填空题 52.(24-25高一下江苏盐城五校期中)已知向量AB=(1,2),BC=(3,m,AD=(-1,2m),若A,C,D三 点共线，则m= 9/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 53.(24-25高一下江苏无锡宜兴期中)如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上， P,O是边B,C的两个三等分点，AP分别交B,CBC2于PP,AQ,分别交B,CB,C2于g、Q2,则 ∑(AB,·A+AB,·Ag) ·（注： a,=4+a,+…+a,) B B C C C 三、解答题 54.(24-25高一下江苏东台期中)设2为实数，已知向量a=(2,4),b=(2+4,1) (1)若a/6,求的值： (2)设a⊥(a-b),向量a与的夹角为0，求0的大小 55.(24-25高一下江苏镇江徐州七校期中)已知点A(1,1,B(3,-1),C(k,3) (I)若A,B,C三点共线，求实数k的值： (2)若ABC为等腰三角形，求实数k的值； (3)若四边形ABCD为矩形，求向量AC与BD夹角的余弦值， 56.(24-25高一下江苏泗阳县·期中已知向量a=(2,0),b=(1,1),c=(1,-1). (1)若(a+1b)⊥b,求实数1的值： (2)若(xa+yb)11c,且x,y为非零实数，求X的值 12 57.(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知向量=(2,1，万=（-1,3) (I)设keR,若向量a+6与a-kb互相平行，求a-k6的值； (2)设k∈R,当a-kb取得最小值时，求向量ā与a-kb夹角的余弦值 58.(24-25高一下江苏南通如皋调研)如图，在形ABCD中，AB11CD,且AB=2CD,M为AD的中点， BF=元BC(0<元<1)，MC1IAH. 专题02 向量基本定理及坐标表示（6大考点60题） 6大高频考点概览 考点01已知向量共线（平行）求参数 考点02平面向量共线定理的推论 考点03用基底表示向量 考点04 平面向量基本定理的应用 考点05 向量坐标表示与运算 考点06 向量平行的坐标表示 地 城 考点01 已知向量共线（平行）求参数 一、单选题 1．(24-25高一下·江苏高邮·期中)设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线定理列方程，解方程即可. 【详解】由已知，， 则， 又，，三点共线， 则与共线，， 即，解得， 故选：D. 2．(24-25高一下·江苏东台·期中)已知向量，不共线，，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即， 又向量，不共线，所以，解得. 故选：C 3．(22-23高一下·江苏南通·期中)已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量共线定理结合向量的数乘运算、平面向量基本定理求解. 【详解】由题意，，设，即， 则，解得. 故选：A. 4．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】变形得到，故，得到答案. 【详解】， 所以，故. 故选：D 5．(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学·期中)设与是两个不共线向量，且向量与共线，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线结合与是两个不共线向量，即可计算求出参数. 【详解】因为向量与共线， 则存在，使， 又因与是两个不共线向量，则，解得. 故选：B. 二、填空题 6．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)在中，为中点，，设与交于点，则_____． 【答案】/ 【分析】以、为基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论求出，即可求出，，即可得解. 【详解】因为， 所以， 由三点共线，可设， 所以. 又三点共线，所以， 又、不共线，所以，解得， 所以，又， ， 所以，即. 故答案为： 三、解答题 7．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)如图，在中，是线段上一点，且满足，点满足，过的一条直线分别交线段、于点、．设，，其中、．记，. (1)试用、表示； (2)求的最小值； (3)若直线交的延长线于点，并有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于的表达式，再由可得结果； （2）利用向量共线定理、平面向量的基本定理可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量共线定理、平面向量的基本定理可求出的值，代入可得出的值，由此可得出的值. 【详解】（1）因为是线段上一点，且满足，则， 所以，可得， 因为，故. （2）因为，，其中、， 由（1）可知， 因为、、三点共线，则存在，使得， 所以，可得， 又因为、不共线，所以，，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. （3）因为，，所以，即， 即，可得， 因为，所以，则， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，所以， 因为、不共线，所以，，则，解得， 由（2）可知，代入可得，故. 地 城 考点02 平面向量共线定理的推论 一、单选题 8．(24-25高一下·江苏东台·期中)在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：C 9．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底法得，再根据向量共线定理知，最后根据三点共线系数和为1结论即可得到答案. 【详解】在平行四边形中，因为，分别为，中点， 则， 因为，则， 则，显然，， 则，而三点共线， 故，则，则， 即 则，则. 故选：C.    二、多选题 10．(24-25高一下·江苏连云港赣榆区·期中)已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．不与垂直 【答案】AC 【分析】A选项，利用向量数量积公式得到，所以同向共线，A正确；B选项，只能得到，B错误；C选项，得到，，C正确；D选项，计算出，故D错误. 【详解】A选项，，又，，是非零向量， 所以，所以同向共线，A正确； B选项，若，则， 是非零向量，故，故不一定相等，B错误； C选项，若，，设， 故，，C正确； D选项，， 与垂直，D错误. 故选：AC 三、填空题 11．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，得到，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】因为点G为重心，可得， 又因为三点共线，所以， 所以， 当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 12．(24-25高一下·江苏徐州·期中)在中，是边上靠近的四等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件可得，再利用共线向量定理的推论及基本不等式求出最大值. 【详解】在中，由是边上靠近的四等分点，得，则， 而，则，由共线，得， 又，因此，当且仅当时取等号， 因此，， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 地 城 考点03 用基底表示向量 一、单选题 13．(24-25高一下·江苏高邮·期中)如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解. 【详解】由已知为线段上一点， 设，， 则， 又， 则， 所以， 则， 解得， 故选：D. 14．(24-25高一下·江苏徐州铜山区·期中)在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得出关于、的表达式. 【详解】如下图所示： 在平行四边形中，，，则，， 故. 故选：C. 15．(24-25高一下·江苏南京外国语学校·期中)已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加法、减法及数乘的几何意义求解即可. 【详解】由图可得：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确. 故选：D. 16．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)在中，点为的中点，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，即可得解. 【详解】因为点为的中点，所以， 所以. 故选：D． 17．(24-25高一下·江苏南通海门实验学校·期中)直角梯形，且，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】用表示其它向量后，由数量积的运算律列式计算即可． 【详解】，又，所以， 因为， 所以， 所以，所以，即． 故选：A 18．(23-24高一下·江苏徐州·期中)如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据平面向量基本定理求，再利用基底表示和，再结合数量积运算，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则，即，则， ， 所以， . 故选：D 19．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)在中，，，，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先根据向量运算法则，将用与表示出来.接着计算，把和代入并展开.然后根据已知的角度和边长，求出、以及的值.最后将这些值代入的表达式中，得到关于的方程，求解方程得出的值. 【详解】由，且，所以. 又因为，则. 展开得. 则. 根据乘法分配律展开： ， 且.  已知，，. ，，.   把，，代入前面式子中，得. 即. 解得. 故选：C. 20．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形重心的性质可得，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果. 【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：C. 21．(24-25高一下·江苏扬州中学·期中)如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选： 22．(24-25高一下·江苏连云港东海县·期中)在中，是中点，，，则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用向量的加减法以及数量积的运算规则，结合中点的性质来求解BC的长度. 【详解】因为是BC中点，所以，且，. 可得：. 已知，又因为，所以，移项可得. 因为是BC中点，所以，而，则，所以. 故选: D. 二、填空题 23．(24-25高一下·江苏苏州中学校·期中)已知是边长为3的正所在平面内一点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由可推出，进而可得，然后，然后运用二次函数的知识可得到答案. 【详解】已知，则， 又， 那么 展开可得 因为是边长为3的正三角形， 所以，且， 代入上式得， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 三、解答题 24．(24-25高一下·江苏苏州·期中)在中，，设. (1)用分别表示； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算可求得； （2）利用向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）由，所以， 所以， . （2）因为，所以， 所以 . 25．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)在直角梯形ABCD中，，，，点F是BC边上的中点. (1)若点E满足，且，求的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）根据图形用表示出，即可得参数值； （2）令且，进而得，，再应用向量数量级的运算律求得，即可得范围. 【详解】（1）由， 又，即，故； （2）如下图，令且， ， ， 所以， 所以. 26．(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将、当作一组基底表示，平方之后求模即可； （2）设，将、当作一组基底表示、，再利用垂直关系即可求解. 【详解】（1）因为， ， ， ，，， 所以，所以. （2）设，因为， 所以，， ， 所以，所以. 地 城 考点04 平面向量基本定理的应用 一、单选题 27．(23-24高一下·江苏盐城响水中学·期中)如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三点共线得到，再由平行四边形定则结合图形关系得到边长关系，最后计算结果即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以， 过作的平行线，分别交于， 则， 又，的平分线交于点， 所以，为正三角形， 所以， 故选：A. 28．(23-24高一下·江苏宿迁·期中)在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：B 29．(24-25高一下·江苏常州·期中)在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】过作于，设正六边形的边长为，根据向量的数量积的定义计算，由，可得，根据数量积的几何意义计算得取值范围，从而得的取值范围，即可得答案. 【详解】如图，过作于， 设正六边形的边长为，则，， 则， 因为， 所以， 又， 由于是正六边形内部以及边界上任意一点，所以， 所以，即，所以， 故的最大值为. 故选：C. 二、多选题 30．(24-25高一下·江苏连云港·期中)下列说法中正确的是（   ） A．若，则，且方向相同 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．对任意向量，，，都有 D．是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】ABD 【分析】对于A，根据相等向量的定义判断；对于B，利用投影向量公式判断；对于C，利用向量数量积的性质即可判断；对于D，利用平面向量基本定理和数乘向量的意义即可计算判断. 【详解】对于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正确； 对于B，依题意，， 则向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，对任意向量，，，与结果均为实数， 设为，，则，， 而与关系不明确，故得不到，即C错误； 对于D，如图，分别取，则，即得，故， 因，则， 故，即的面积是的面积的2倍，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 31．(23-24高一下·江苏南京六校联合体考试·期中)已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】先由平面向量的基本定理得到，然后由三点共线得，用基本不等式求解最小值即可. 【详解】如图： 因为，所以，又，所以， ，所以, ， 又三点共线，所以， 所以，，当且仅当时， 即时，等号成立， 故答案为：. 32．(23-24高一下·江苏常州教育学会·)如图，所在平面内的两点满足．若是线段的两个三等分点，则______；若是线段上的动点，则______． 【答案】 1 2 【分析】第一空由向量的加法法则结合图形关系可得；第二空取的中点，然后由向量共线的充要条件可得. 【详解】因为，① 因为是线段的两个三等分点， 所以， 所以由①可得， 所以； 取的中点，由平行四边形定则可得， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以， 故答案为：1；2. 33．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，为的中点，为的中点．若，则的值为_________． 【答案】/0.5 【分析】由平面向量线性运算及基本定理即可求解. 【详解】因为在中，为的中点，为的中点． 所以，， 所以， 又因为， 所以，则， 故答案为： 34．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)四边形内接于圆，，，若且，则四边形的面积为______ 【答案】 【分析】根据圆内接四边形性质以及可求得为等腰梯形，再由平面向量共线定理以及三角形相似计算可得，利用勾股定理求出梯形的高计算即可求得其面积. 【详解】取的中点为，连接，作于点，如下图所示： 因为四边形内接于圆，所以， 又，可得， 所以，因此可得四边形为等腰梯形， 易知，所以，由可得三点共线， 由圆的性质可知，所以， 可知，可得， 所以，； 可知梯形面积. 故答案为： 四、解答题 35．(23-24高一下·江苏苏州·期中)已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： (1)若，则点P是线段AB的中点； (2)是A、B、P三点共线的充要条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明； （2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明. 【详解】（1）因为的，所以，即， 所以，所以，所以P是线段AB的中点. （2）充分性： 若，则，所以， 所以，所以， 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：， 所以，即， 所以，所以 综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件. 地 城 考点05 向量坐标表示与运算 一、单选题 36．(24-25高一下·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知向量，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，则，解得. 故选：B 37．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，可得，再根据平面向量的线性运算及数量积的坐标表示直接计算即可. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 易得，则， 所以. 故选：D. 38．(24-25高一下·江苏东台·期中)已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及坐标表示求解. 【详解】令坐标原点为，由，得，则， 而点，，因此， 所以点坐标为. 故选：D 39．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)已知向量，若，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量垂直的坐标表示，列方程求参数即可. 【详解】由题设. 故选：A 40．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 【答案】D 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的模，求出结果 【详解】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 41．(24-25高一下·江苏新海高级中学开发区校区·期中)边长为2的正方形上有一动点，则向量的最大值是（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，分在正方形的四条边上的情况分别求解即可． 【详解】如图，分别以为轴建立平面直角坐标系， 则， 设，则，，所以， 当在边或上时，，所以， 当在边上时，，所以， 当在边上时，，所以， 所以的取值范围是，所以向量的最大值是． 故选：D. 42．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 43．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知向量，， 则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的坐标，然后根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由向量，，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：A 二、多选题 44．(24-25高一下·江苏镇江中学·期中)给出下列命题中，其中正确的选项有（   ） A．若非零向量，满足：，则与共线且同向 B．若非零向量，满足：，则与的夹角为 C．若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为 D．在中，若，则为等腰三角形 【答案】AD 【分析】对于A，等式两边平方后可求向量的夹角，故可判断其正误；对于B，根据以为三边的三角形为等边三角形可判断其正误，对于C，根据数量积为负及向量不共线反向可判断其正误，对于D，根据向量隐含的几何意义可判断其正误. 【详解】选项A，对非零向量， ， 若使成立，即使成立， 则，即，所以与共线且同向，选项A正确； 选项B：非零向量满足， 则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，选项B错误； 选项C：因为与向量夹角为钝角，故且不共线反向， 故且，故且，故C错误； 选项D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线， 又因为，即， 所以，即为等腰三角形,所以选项D正确. 故选：AD. 三、填空题 45．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)设向量，，若，则实数______. 【答案】2 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】∵向量，，， ∴，解得. 故答案为：. 46．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知向量，与平行，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，得到，结合与，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为与，可得，解得. 故答案为：. 47．(24-25高一下·江苏无锡第三高级中学·期中)已知向量，，若，则______. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 48．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)已知向量，与的夹角为． (1)求的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，求得，结合向量的数量积的定义，即可求解； （2）由，利用向量模的计算公式，得出关于的方程，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，所以， 因为，与的夹角为，可得. （2）解：由， 因为，所以，即， 所以或. 地 城 考点06 向量平行的坐标表示 一、单选题 49．(24-25高一下·江苏南京中华中学·期中)，若，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为， 由，可得，解得. 故选：B． 50．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知平面向量，，，则（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可． 【详解】由得，，解得， 故选：B． 51．(24-25高一下·江苏南京金陵中学·期中)已知向量，，若，且满足，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据条件，利用向量的坐标运算及共线的坐标运算，即可求解. 【详解】根据题意，得到， 由. 故选：A. 二、填空题 52．(24-25高一下·江苏盐城五校·期中)已知向量，，，若，，三点共线，则_______. 【答案】 【分析】首先表示出，依题意，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，即， 所以，解得. 故答案为： 53．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，是边的两个三等分点，分别交于分别交于、，则___________．（注：）    【答案】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，分别表示出的坐标，再由相似表示出的坐标，结合向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】    建立如图所示平面直角坐标系，则， 由是边的两个三等分点，可得，即， 则，即， 则，， 则， ， 结合图像可知，且， 则，同理可得， 则， ， 且，， 则，同理可得， 则， ， 则， ， 所以 . 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的数量积运算，难度较大，解答本题的关键在于建立平面直角坐标系，结合向量的坐标运算解答. 三、解答题 54．(24-25高一下·江苏东台·期中)设为实数，已知向量，. (1)若，求的值； (2)设，向量与的夹角为，求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式求解. （2）利用向量垂直的坐标表示求出，再利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）向量，，由，得， 所以. （2）依题意，，由，得，解得， 因此，，，，， 则，而， 所以. 55．(24-25高一下·江苏镇江徐州七校·期中)已知点，， (1)若A，B，C三点共线，求实数k的值； (2)若为等腰三角形，求实数k的值； (3)若四边形ABCD为矩形，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算以及共线向量的坐标表示求解； （2）分不同的相等边的情况进行解答，借助等腰三角形三线合一和平面向量垂直的坐标表示求解； （3）根据平面向量垂直的坐标表示确定实数k的值，再求夹角坐标公式求解. 【详解】（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即， 又，，则有，所以； （2）①若，取AB中点D，则， 又，，则AB中点， 而，，得：， ②若，取BC中点E，则， 又，，， 由，得或3， 由（1）得：时，A，B，C三点共线，舍去．所以， ③若，取AC中点F，则， 又，，， 由，得，方程无解， 综上，或5； （3）设，因为四边形ABCD为矩形，所以，， 又，，，则，，， 则，，则， 综上，向量与夹角的余弦值为. 56．(24-25高一下·江苏泗阳县·期中)已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，且为非零实数，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，由，结合向量的数量积的坐标表示，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到，由，结合共线向量的坐标表示，列出方程，求得的关系式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 因为，所以，解得. （2）解：因为， 可得 ， 又因为，所以，可得， 因为为非零实数，所以. 57．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)已知向量， . (1)设， 若向量与互相平行， 求的值; (2)设， 当取得最小值时， 求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出与的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再由向量模的坐标表示计算可得； （2）用坐标法表示，结合二次函数求出取最小值时的值，再由夹角公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，， 又向量与互相平行，所以，解得， 所以，则； （2）因为， 所以 ， 所以当时取得最小值， 此时，则，， ， 所以设向量与夹角，则， 所以向量与夹角的余弦值为. 58．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)如图，在梯形中，，且为的中点，，． (1)求的值； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用平面向量基本定理用表示出，再结合它们同向共线列方程求参数值即可； （2）由（1）得，应用数量积的运算律求其模长和，再应用向量夹角公式求角的大小. 【详解】（1）由， 由，又，结合图知同向共线， 所以； （2）由, 由（1），则， ， ，，则. 59．(24-25高一下·江苏常州六校联合体·期中)已知向量，． (1)若，求x； (2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可得解； （2）先根据投影向量的计算公式求出x，然后根据向量夹角为锐角即可得出，且与不共线，然后列出关于λ的不等式组，解出范围即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， 解得； （2）∵在方向上的投影向量为， ∴，解得， ∴，，， ∵与的夹角为锐角， ∴，且与不共线， ∴，解得且， ∴λ的取值范围为：． 60．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)已知向量，其中O为坐标原点． (1)若A,B,C三点共线，求实数m的值； (2)当四边形ABCD为矩形时，设点M为线段CD的中点，问在线段AD上是否存在点N使得，若存在，请求出所有满足条件的点N的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）由向量坐标求得三点坐标，利用直线斜率相等计算即得实数m的值； （2）通过矩形性质确定各点坐标，设参数表示N，结合向量模长公式列方程，求出满足条件的N． 【详解】（1）由， 得． 则， 因A,B,C三点共线，则，即，解得． （2）如图，四边形ABCD为矩形，则， 因，则 由，解得，即， 因的中点即的中点， 故，解得，即. 因M为CD中点，故，假设在线段AD上存在点N满足条件， 则，则可得 则，．故． 由，可得． 展开并化简：，解得或． 故或．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 专题02向量基本定理及坐标表示(6 目目 考点01 已知向量共线（平行）求参数 1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.02 3)17 y14 目目 考点02 平面向量共线定理的推论 8.C 9.C 10.AC 11.3 12.好 目目 考点03 用基底表示向量 13.D 14.C 15.D 16.D 17.A 18.D 19.C 20.C 21.B 1/4 让教与学更高效 考点60题) 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.D 23. 16 24.0=ā+2五，BM=-a+万 3 3 2 (2)AN.BM=31 25.(1)2: ar6 26.(I)4N=45 3 a时 目目 考点04 平面向量基本定理的应用 27.A 28.B 29.C 30.ABD 31.42 32. 1 2 34.7V15 35.(因为x=y=的，所以om-o+0丽，即20P=01+08, 所以OP-OA=OB-OP,所以AP=PB,所以P是线段AB的中点 (2)充分性： 若x+y=1,则y=1-x,所以OP=xOA+(1-x)OB, 所以OP-OB=xOA-xOB,所以BP=xOA-OB=xBA, 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数X满足：BP=xBA, 所以Op-0B=x(OA-0B,即OP-OB=x0A-x0B, 函学科网 www.zxxk.com 所以OP=xOA+(1-xOB，,所以x+y=1 综上所述，x+y=1是A、B、P三点共线的充要条件 目目 考点05 向量坐标表示与运算 36.B 37.D 38.D 39.A 40.D 41.D 42.B 43.A 44.AD 45.2 46.05 47.2 48.(1)4 (2)m=2或m=- 1 目目 考点06 向量平行的坐标表示 49.B 50.B 51.A 52号 53.72 4.9 ②星 55.(1)k=-1 3/4 让教与学更高效 丽学科网 (2)k=3或5； ag 56.(1)-1 (2)-1 57.(1)V17 27 0 5802-f (2)∠HAB= 6 59.(①x=±5 ⊙21A>子且2 60.(1)m=-1 (2存在， )成传号 www.zxxk.com 让教与学更高效