黄金卷02（贵州专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（贵州专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．2的相反数是（    ） A． B． C．2 D． 2．笔、墨、纸、砚是中国独有的书法书画用具，如图，这是一方端砚及其示意图，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．北京时间10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船于酒泉卫星发射中心发射，小时后，成功对接天和核心舱的前向端口，这一速度，刷新了中国航天交会对接的历史．天和核心舱与地球之间的距离约为400 000米，将400 000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．计算，正确的结果是（  ） A．1 B． C．a D． 6．一家鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示： 鞋的尺码（） 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 销售量（双） 1 2 5 11 7 3 1 若每双鞋的销售利润相同，下列统计量中店主最关注的是（　　） A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数 7．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 8．在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ） A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 9．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，则最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图是抛物线的示意图，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 11．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，当长度最小时，的面积是（　　） A． B． C． D． 12．甲、乙两支龙舟队沿安居古城涪江段进行比赛，早上9：00同时从起点出发．甲队在上午11：30分到达终点，乙队一直匀速前进．比赛时甲、乙两队所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．甲队先达到终点 B．上午10：30分乙队追上甲队 C．甲、乙两队在上午10：00时相距最远 D．上午11：10乙队到达终点 二、填空题：（本大题共4题，每题4分，共16分.） 13．因式分解： ． 14．北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．    15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 16．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共9题，第17-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共98分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算或化简： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18．为扎实推进“五育并举”工作，某校组织了丰富多彩的学生社团活动．该校就学生对篮球、动漫、文学和摄影四类社团（分别用，，，表示）的选择意向进行了抽样调查（每人选且只选一类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)扇形统计图中_______，并补全条形统计图； (2)若该校有1600名学生，请估计选择摄影社团的人数； (3)在动漫社团中，甲、乙、丙、丁四名学生表现优秀，现决定从这四名学生中任选两名参加区级中学生动漫大赛，请求出恰好选中乙、丙两名学生的概率． 19．为了加强劳动教育，落实五育并举，贵阳市某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，计划来年将基地内的土地全部种植甲、乙两种蔬菜，每平方米的乙种蔬菜的种植成本比甲种蔬菜多20元．设每平方米的甲种蔬菜的种植成本是x元，解答下列问题： (1)每平方米的乙种蔬菜的种植成本是 元；（用含x的式子表示） (2)经测算，当种植甲种蔬菜的总成本是3000元，种植乙种蔬菜的总成本是7500元时，甲种蔬菜的种植面积为乙种蔬菜的，求每平方米的乙种蔬菜的种植成本． 20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F，连结AF、CE． （1）求证：△AOE≌△COF． （2）试判断四边形AFCE的形状，并证明． 21．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，．反比例函数的图像分别与，交于点和点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图像相交于点，当点在反比例函数图像上，之间的部分时（点可与点，重合），求出的取值范围． 22．某商铺为更好地服务顾客，便于顾客休憩，提升顾客的幸福感，在其商铺外墙安装遮阳棚（如图1），如图2是该遮阳棚侧面横截示意图．已知遮阳棚长2米，靠墙端离地面的高度为5米，遮阳棚与墙面的夹角．（图中所有点均在同一平面内）    (1)求点C到墙面的距离的长； (2)某日阳光明媚，一束太阳光线经点C射入，落在地面上的点E处．当时，求的长． 23．如图，四边形内接于，，对角线为的直径，延长交过点的切线于点． (1)写出图中一个与相等的角：__________________________； (2)求证：； (3)若的半径为5，，求的长． 24．如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与横梁相互垂直，且，． (1)建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且，求的长； (3)根据（1）中求解得到的函数表达式，若当时，函数的最大值与最小值的差为1，求的值． 25．阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且． （1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点F．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，E是上一点，绕点E顺时针旋转得绕点E顺时针旋转得，当时，求四边形的面积． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（贵州专用） 黄金卷02 一、选择题：（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C A D B A A A 题号 11 12 答案 C C 二、填空题：（本大题共4题，每题4分，共16分.） 13． 14． 15．4 16． 三、解答题：（本大题共9题，第17-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共98分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（1）7；（2），1 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 18．(1)，见解析 (2)选择摄影社团的共有人 (3) 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（人）， 类别人数为：（人）， 则， ． 故答案为：． 补全条形统计图如下： （2）（人）． 答：估计选择摄影社团的共有人． （3）画树状图得： 共有种等可能的结果，恰好选中乙、丙两位同学的结果数为， 恰好选中乙、丙两位同学的概率为． 19．(1) (2)每平方米的乙种蔬菜的种植成本为50元 【详解】（1）解：∵每平方米的乙种蔬菜的种植成本比甲种蔬菜多20元， ∴每平方米的乙种蔬菜的种植成本是元， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：每平方米的乙种蔬菜的种植成本为50元． 20．（1）详见解析；（2）四边形AFCE是菱形，证明详见解析． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠OAE＝∠OCF． ∵O是AC中点， ∴AO＝CO． 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）． （2）解：四边形AFCE为菱形，理由如下： ∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF． 又AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF为菱形． 21．(1)； (2) 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵是等腰直角三角形，，且与反比例函数的图像交于点， ∴的横坐标为4， 对于反比例函数，当时，， ∴点的坐标为； （2）把代入得，， 把代入得，， ∴的取值范围是． 22．(1)米 (2)米 【详解】（1）解：由题意，得，米，， ∴， ∴在中，（米）． 由勾股定理，得（米）． （2）如图，过点C作于点H，    ∴四边形为矩形， ∴（米），（米）． 设的长为x米，则米， ∴（米）． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴的长为米． 23．(1)； (2)见解析； (3)． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，连接并延长交于点． ， ． 是的切线， ， ． 为的直径， ， ， ． （3）解： 为的直径， ． ， 设，则， ， ， ，． ， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ． 24．(1) (2) (3)的值为或2． 【详解】（1）解：，， ，，， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：四边形是矩形， ， ， 设，， ， 把代入得， 解得（负值舍去）， ； （3）解：，对称轴为直线， 当时，随着的增大而增大， 当， 当时，随着的增大而增大， 函数的最大值，函数最小值， 函数的最大值与最小值的差为1， ， ； 当时，随着的增大而减小， 当， 当时，随着的增大而减小， 函数的最小值，函数最小值， 函数的最大值与最小值的差为1， ， ， 综上所述，的值为或2． 25．（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【详解】解：（1），理由如下： 如图1， 延长交于点H， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ ，即； （2），理由如图下： 如图2， 延长交于H， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，点D与点关于对称， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）如图3，连接并延长交于点T，交于S，过E作于N，交的延长线于M， ∵四边形是菱形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（贵州专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．2的相反数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：2的相反数是， 故选： A． 2．笔、墨、纸、砚是中国独有的书法书画用具，如图，这是一方端砚及其示意图，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：这个方端砚的左视图为： 故选：C． 3．北京时间10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船于酒泉卫星发射中心发射，小时后，成功对接天和核心舱的前向端口，这一速度，刷新了中国航天交会对接的历史．天和核心舱与地球之间的距离约为400 000米，将400 000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：； 故选：A． 4．如图，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 5．计算，正确的结果是（  ） A．1 B． C．a D． 【答案】A 【详解】， 故选A. 【点睛】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6．一家鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示： 鞋的尺码（） 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 销售量（双） 1 2 5 11 7 3 1 若每双鞋的销售利润相同，下列统计量中店主最关注的是（　　） A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数 【答案】D 【详解】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数． 故选：D． 7．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 8．在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ） A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 【答案】A 【详解】解：有5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球， 小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是； 摸出标有“天眼”的概率是； 摸出标有“高铁”的概率是， ， 摸出标有“北斗”小球的可能性最大． 故选：A． 9．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，则最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 10．如图是抛物线的示意图，则a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴二次项系数小于0，只有A选项符合题意． 故选：A． 11．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，当长度最小时，的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 故选：C． 12．甲、乙两支龙舟队沿安居古城涪江段进行比赛，早上9：00同时从起点出发．甲队在上午11：30分到达终点，乙队一直匀速前进．比赛时甲、乙两队所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．甲队先达到终点 B．上午10：30分乙队追上甲队 C．甲、乙两队在上午10：00时相距最远 D．上午11：10乙队到达终点 【答案】C 【详解】解：对于乙队，x＝1时，y＝16，所以y＝16x， 到达终点用时35÷16＝时＝2时11分15秒，时间为11时11分15秒， ∵甲队在上午11：30分到达终点， ∴乙队先到达终点． 故A、D错误，不符合题意； 对于甲队，出发1小时后，设y与x关系为y＝kx+b， 将x＝1，y＝20和x＝2.5，y＝35分别代入上式得： ， 解得： ， 所以y＝10x+10 ∴解方程组 得：x＝． 即出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队， 故B错误，不符合题意； 1小时之内，两队相距最远距离是4千米； 乙队追上甲队后，两队的距离是16x﹣（10x+10）＝6x﹣10，当x为最大， 即x＝时，6x﹣10最大， 此时最大距离为6×﹣10＝3.125＜4， 所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远， 故C正确，符合题意． 故选：C． 二、填空题 13．因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 14．北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．    【答案】 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图： 可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为； 故答案为：． 15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为4． 16．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：连接，取的中点O，连接， ∵N为的中点， 为的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形中，， 的取值范围为， 即， 故答案为：． 三、解答题 17．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）7；（2），1 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 18．为扎实推进“五育并举”工作，某校组织了丰富多彩的学生社团活动．该校就学生对篮球、动漫、文学和摄影四类社团（分别用，，，表示）的选择意向进行了抽样调查（每人选且只选一类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)扇形统计图中_______，并补全条形统计图； (2)若该校有1600名学生，请估计选择摄影社团的人数； (3)在动漫社团中，甲、乙、丙、丁四名学生表现优秀，现决定从这四名学生中任选两名参加区级中学生动漫大赛，请求出恰好选中乙、丙两名学生的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)选择摄影社团的共有人 (3) 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（人）， 类别人数为：（人）， 则， ． 故答案为：． 补全条形统计图如下： （2）（人）． 答：估计选择摄影社团的共有人． （3）画树状图得： 共有种等可能的结果，恰好选中乙、丙两位同学的结果数为， 恰好选中乙、丙两位同学的概率为． 19．为了加强劳动教育，落实五育并举，贵阳市某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，计划来年将基地内的土地全部种植甲、乙两种蔬菜，每平方米的乙种蔬菜的种植成本比甲种蔬菜多20元．设每平方米的甲种蔬菜的种植成本是x元，解答下列问题： (1)每平方米的乙种蔬菜的种植成本是 元；（用含x的式子表示） (2)经测算，当种植甲种蔬菜的总成本是3000元，种植乙种蔬菜的总成本是7500元时，甲种蔬菜的种植面积为乙种蔬菜的，求每平方米的乙种蔬菜的种植成本． 【答案】(1) (2)每平方米的乙种蔬菜的种植成本为50元 【详解】（1）解：∵每平方米的乙种蔬菜的种植成本比甲种蔬菜多20元， ∴每平方米的乙种蔬菜的种植成本是元， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：每平方米的乙种蔬菜的种植成本为50元． 20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F，连结AF、CE． （1）求证：△AOE≌△COF． （2）试判断四边形AFCE的形状，并证明． 【答案】（1）详见解析；（2）四边形AFCE是菱形，证明详见解析． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠OAE＝∠OCF． ∵O是AC中点， ∴AO＝CO． 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）． （2）解：四边形AFCE为菱形，理由如下： ∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF． 又AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF为菱形． 21．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，．反比例函数的图像分别与，交于点和点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若一次函数与反比例函数的图像相交于点，当点在反比例函数图像上，之间的部分时（点可与点，重合），求出的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵是等腰直角三角形，，且与反比例函数的图像交于点， ∴的横坐标为4， 对于反比例函数，当时，， ∴点的坐标为； （2）把代入得，， 把代入得，， ∴的取值范围是． 22．某商铺为更好地服务顾客，便于顾客休憩，提升顾客的幸福感，在其商铺外墙安装遮阳棚（如图1），如图2是该遮阳棚侧面横截示意图．已知遮阳棚长2米，靠墙端离地面的高度为5米，遮阳棚与墙面的夹角．（图中所有点均在同一平面内）    (1)求点C到墙面的距离的长； (2)某日阳光明媚，一束太阳光线经点C射入，落在地面上的点E处．当时，求的长． 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：由题意，得，米，， ∴， ∴在中，（米）． 由勾股定理，得（米）． （2）如图，过点C作于点H，    ∴四边形为矩形， ∴（米），（米）． 设的长为x米，则米， ∴（米）． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴的长为米． 23．如图，四边形内接于，，对角线为的直径，延长交过点的切线于点． (1)写出图中一个与相等的角：__________________________； (2)求证：； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，连接并延长交于点． ， ． 是的切线， ， ． 为的直径， ， ， ． （3）解： 为的直径， ． ， 设，则， ， ， ，． ， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ． 24．如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与横梁相互垂直，且，． (1)建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且，求的长； (3)根据（1）中求解得到的函数表达式，若当时，函数的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或2． 【详解】（1）解：，， ，，， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：四边形是矩形， ， ， 设，， ， 把代入得， 解得（负值舍去）， ； （3）解：，对称轴为直线， 当时，随着的增大而增大， 当， 当时，随着的增大而增大， 函数的最大值，函数最小值， 函数的最大值与最小值的差为1， ， ； 当时，随着的增大而减小， 当， 当时，随着的增大而减小， 函数的最小值，函数最小值， 函数的最大值与最小值的差为1， ， ， 综上所述，的值为或2． 25．阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且． （1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，E是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点F．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，，E是上一点，绕点E顺时针旋转得绕点E顺时针旋转得，当时，求四边形的面积． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【详解】解：（1），理由如下： 如图1， 延长交于点H， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴ ，即； （2），理由如图下： 如图2， 延长交于H， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，点D与点关于对称， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）如图3，连接并延长交于点T，交于S，过E作于N，交的延长线于M， ∵四边形是菱形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$