提分微专题12 4大常考相似三角形模型-【中考零距离】2025年山东潍坊中考数学配套Word练习

提分微专题12 4大常考相似三角形模型 模型一 正A字型、斜A字型 (1)正A字型：如图①，当有一组对应边平行(DE∥BC)时，根据同位角相等可得到另外一组对应角相等，因此这两个三角形相似，为正A字型. ① ② 同理，如图②为线簇型：DE∥BC. (2)斜A字型：如图③，当对应边都不平行(DE与BC不平行)时，根据条件找另外一组对应角相等或者共有的两边对应成比例，得这两个三角形相似，为斜A字型. ③ 模型应用 1.(2023·临沂中考)如图，三角形纸片ABC中，AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向，从靠近点A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 . 2.(2024•河南中考)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为( ) A.1/2 B.1 C.4/3 D.2 3. (2023·成都中考)如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′;④过点N′作射线DN′交BC于点E.若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21，则的值为 . 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N，若AC=2，则MN的长为 . 模型二 8字型相似及变形 (1)正8字型：如图①，当有一组对应边平行(AB∥CD)时，根据内错角相等可得到另外一组对应角相等，因此这两个三角形相似. ① ② ①△AOB∽△DOC. ②△ABO∽△DCO;△AEO∽△DFO;△BEO∽△CFO. 同理，如图②为线簇型：AB∥CD. 模型应用 5.(2024•陕西中考)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为( ) A.2 B.3 C.5/2 D.8/3 6.(2023·东营中考)如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G，若AC=9，BC=6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为 . 7.(2024•云南中考)如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若(OA+OC+AC)/(OB+OD+BD)=1/2，则AC/BD＝ . 8.(2023·烟台中考)如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE. (1)如图①，求证：DE=BF； (2)如图②，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长. 模型三 一线三等角 (1)点P在线段AB上. 全是锐角 ① 全是钝角 ② (2)点P在线段AB的延长线上. 全是锐角 ③ 全是钝角 ④ 结论：如图①，已知∠1＝∠2＝∠3，则△ACP∽ △BPD. 特别地，当P为线段AB的中点时，连接CD，则△ACP∽△BPD∽△PCD. (3)一线三垂直(直角三角形的相似). 如图①②,Rt△ABD与Rt△CEB相似. ① ② 如图③,Rt△AFD与Rt△CEB相似. ③ 模型应用 9.(2023·东营中考)如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE=60°，若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为( ) A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 模型四 手拉手模型 通过手拉手模型构造相似三角形. 旋转一个位置后，结论仍然成立. 模型应用 10.(2023·青岛莱西一模) 【问题呈现】 如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD=CE. 【类比探究】 如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.连接BD，CE.请直接写出的值. 【拓展提升】 如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且==.连接BD，CE.延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值. 11.(2023·临沂中考)如图，∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD. (1)写出AB与BD的数量关系； (2)延长BC到点E，使CE=BC，延长DC到点F，使CF=DC，连接EF，求证：EF⊥AB； (3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH=FH. 参考答案 1.14 2.B 3. 4. 5.B 6.12 7. 8.(1)证明：∵△ACD和△BCE是等腰三角形， ∴AD=CD，EC=EB，∠A=∠DCA. ∵∠A=∠CBE，∴∠DCA=∠CBE， ∴CD∥BE，∴∠DCE=∠BEF. ∵EF=AD，∴EF=CD. 在△DCE和△FEB中， ∴△DCE≌△FEB(SAS)，∴DE=BF. (2)解：如图，取CE的中点H，连接GH. ∵G是DE的中点，∴GH是△ECD的中位线， ∴GH=CD=AD=1，GH∥CD. 设BE=a， 则CH=EH=CE=BE=a. ∵EF=AD=2，∴FH=a－2. ∵CD∥BE，∴GH∥BE，∴△FGH∽△FBE， ∴=，即=，整理得a2－4a－4=0， 解得a=2+2 (负值已舍去)， 经检验，a=2+2 是所列方程的解，且符合题意， ∴BE=2+2 . 9.C 10.【问题呈现】 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形, ∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°, ∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE, ∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE. 【类比探究】. 【拓展提升】 解：∵==,∠ABC=∠ADE=90°, ∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,==, ∴∠CAE=∠BAD,∴△CAE∽△BAD, ∴∠ACE=∠ABD. ∵∠AGC=∠BGF, ∴∠BFC=∠BAC,∴sin∠BFC=sin∠BAC==. 11.(1)解：∵∠A=90°,AB=AC,∴BC=AB. ∵BC=AB+BD,∴AB=AB+BD, 即(－1)AB=BD. (2)证明：如图①， ∵∠A=90°,AB=AC, ∴∠ABC=45°. ∵BD⊥AB，∴∠DBC=45°. ∵EC=BC，∠1=∠2,CF=CD, ∴△CBD≌△CEF(SAS), ∴∠E=∠DBC=45°, ∴EF∥BD,∴EF⊥AB. (3)证明：如图②，延长BA,EF交于点M，延长CH交ME于点G，连接AG, ∵EF⊥AB，AC⊥AB， ∴ME∥AC， ∴∠CGE=∠ACG. ∵CH是∠ACE的平分线， ∴∠ACG=∠ECG， ∴∠CGE=∠ECG,∴EG=EC. ∵△CBD≌△CEF， ∴BD=EF.又∵CB=CE， ∴EG=CB. 又∵BC=AB+BD， ∴EG=AB+BD=AC+EF， 即FG+EF=AC+EF，∴AC=FG. 又AC∥FG，则∠HAC=∠HFG. 在△AHC和△FHG中， ∴△AHC≌△FHG(AAS)， ∴AH=FH. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$