提分微专题9 6种方法解决角平分线问题-【中考零距离】2025年山东潍坊中考数学配套Word练习

提分微专题9 6种方法解决角平分线问题 方法一 过角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON平分线上的一点，PA⊥OM于点A，过点P作PB⊥ON于点B，则PB＝PA，Rt△AOP≌Rt△BOP.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”.在这个基本图形中，可以利用角平分线的性质定理得到线段相等，也可以得到一组全等三角形. 方法应用 1.(2023·随州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD= . 第1题图 2.(2024·云南中考)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( ) A. B.2 C.3 D. 3.(2024·陕西中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 . 方法二 角平分线遇平行线，构造等腰三角形 模型解读 当图中有角平分线时，可以过角平分线上的一点作角一边的平行线或过角一边上的一点作角平分线的平行线，构造出等腰三角形.可记为“角平分线加平行线，等腰三角形必呈现”. 如图①，点P在∠AOB的平分线上，若过点P作PQ∥OB交OA于点Q，则△POQ是等腰三角形. ① 如图②，OC是∠AOB的平分线，D是OA上一点，若过点D作DE∥OC交BO的延长线于点E，则△EOD是等腰三角形. ② 方法应用 4.(2023·泸州中考)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 第4题图 第5题图 5.(2023·张家界中考)如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1=40°，则∠2的度数是( ) A.70° B.50° C.40° D.140° 6.(2024•江西中考)如图，追本溯源题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2). (1)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由. 方法应用 (2)如图②，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G. ①图中一定是等腰三角形的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长. ① ② 方法三 利用角平分线，构造对称图形 如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB，则△OPB≌△OPA.可记为“图中有角平分线，可将图形对折看，对称后关系现”.这个方法利用角平分线的对称性把一些线段和角进行转移，是常用的解题技巧. 方法应用 7.(2023·重庆中考)如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE=BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB=2，则OF的长度为( ) A.2 B. C.1 D. 第7题图 第8题图 8.如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为 . 方法四 作角平分线的垂线构造等腰三角形 如图，P是∠MON的平分线上一点且AP⊥OP，延长AP交ON于点B，则△AOB是等腰三角 形，P是底边AB的中点，OP为△AOB的高和中线，Rt△AOP≌Rt△BOP.可记为“角平分线上遇垂直，三线合一试试看”，这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系在一起. 方法应用 9.如图，已知S△ABC＝8 m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC＝ m2. 第9题图 第10题图 10.如图，已知D为△ABC内一点，AD平分∠CAB，BD⊥AD，∠C＝∠CBD.若AC＝10，AB＝6，则AD的长为 . 方法五 两内角平分线的交角 如图，若P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点(点P是△ABC的内心)，PD∥AB，PE∥AC，FG∥BC，则∠BPC＝90°+∠A，△PDE的周长＝BC，△AFG的周长＝AB+AC. 方法应用 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为( ) A.120° B.110° C.115° D.130° 12.如图，点O为△ABC的内心，将∠ABC平移使顶点B与点O重合，两边与AC分别交于点D，E，若AB＝5，BC＝4，AC＝7，则△ODE的周长是 . 方法六 一内角一外角平分线的交角 如图，若P是∠ABC和∠ACE平分线的交点，则∠P＝∠A. 方法应用 13.如图，已知∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为 M，N.现有四个结论： ①CP平分∠ACF； ②∠BPC＝∠BAC； ③∠APC＝90°-∠ABC； ④S△APM+S△CPN>S△APC. 其中结论正确的为 .(填写正确结论的序号) 14.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于点M，若EF＝6，则CM等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 参考答案 1.5 2.C 3.60 4.A 5.A 6.解：(1)△BDE 是等腰三角形. 理由如下：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵BC∥ED，∴∠EDB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠ABD， ∴EB＝ED， ∴△BDE是等腰三角形． (2)①共有四个等腰三角形．分别是△ABE，△ABG，△AFD，△CGF， 故答案为B. ②由(1)可知，∠ABE＝∠EBG＝∠AEB,AB＝AE＝3. ∵AF⊥BE， ∴∠BAF＝∠EAF． ∵BC∥AD， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴∠BAF＝∠AGB， ∴AB＝BG＝3. ∵AB∥FD， ∴∠BAF＝∠CFG. ∵∠AGB＝∠CGF， ∴∠CGF＝∠CFG， ∴CG＝CF. ∵CG＝BC-BG＝5-3＝2， ∴CF＝2． 7.D 8.60° 9.4 10.4 11.B 12.7 13.①②③ 14.A ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$