提分微专题2 反比例函数与一次函数综合的面积问题-【中考零距离】2025年山东潍坊中考数学配套Word练习

提分微专题2 反比例函数与一次函数综合的面积问题 模型一 反比例函数中比例系数k的几何意义 反比例函数图象上一点与坐标轴的垂线及另一坐标轴上一点(含原点)围成的三角形面积为. S△ABC=S△AOC= S△ABC=S△AOB= S△AOE=S△OAC-S△OEC=S△DBO-S△OEC=S四边形ECDB 【例1 】如图，函数y=kx(k>0)与函数y=的图象相交于A,C两点，过点A作AB⊥y轴于点B,连接BC，则△ABC的面积为( ) A.1 B.2 C.k2 D.2k2 【思路点拨】设点A的坐标为 ，根据反比例函数和正比例函数的中心对称性，可求出点C的坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可. 模型应用 1. 1.如图是反比例函数y=的图象，A(x,y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B,连接OA,则△AOB的面积是( ) A.1 B. C.2 D. 2.如图，直线AB交x轴于点C,交反比例函数y=(a>1)的图象于A,B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为D,若S△BCD=5,则a的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 3.如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OD∶OB＝2∶3，则k的值为( ) A.12 B.-12 C.16 D.-16 4.如图,在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA⊥x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为( ) A.-3 B.- C.3 D. 5.(2022·内江中考)如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P,Q两点.若S△POQ＝15，则k的值为( ) A.38 B.22 C.-7 D.-22 第5题图 第6题图 6.(2023·连云港中考)如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=(x<0)的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC=，则k= . 7.(2023·达州中考)如图，一次函数y=2x与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y=的图象过点C，则k的值为 . 第7题图 第8题图 8.(2023·烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B,CB为⊙A的直径，点C在函数y=(k>0,x>0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 . 9.(2023·威海中考)如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上.点A的坐标为(m,2).连接OA,OB,AB.若OA=AB,∠OAB=90°，则k的值为 . 第9题图 第10题图 10.(2022·烟台中考)如图，A，B是双曲线y＝(x＞0)上的两点，连接OA，OB.过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D.若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为(m，2)，则m的值为 . 模型二 一次函数与反比例函数相交，作垂线所围成三角形的面积问题 反比例函数与正比例函数图象的两个交点所连线段、由一个交点向坐标轴所作的垂线和另一交点与垂足的连线所围成的三角形面积为|k|. 反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成的三角形面积等于坐标轴所分的两个三角形面积之和. S△ABM=S△AOM+S△BOM =OM·AM+OM· BC =+ =|k| S△ABM=S△AOM+S△BOM =OM·AM+OM· BC =+ =|k| S△ABC=S△ADC+S△CDB =CD·|yB-yA| S△ABC=S△BCD+S△ACD =CD·|xB-xA| 模型应用 11.如图，反比例函数y=的图象与经过坐标原点的直线l相交于A,B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为C,若△ABC的面积为3,则这个反比例函数的解析式为 . 第12题图 12.如图，反比例函数y＝(k≠0)的图象与正比例函数y＝ax(a≠0)的图象交于点A，C，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为B，D，若四边形ABCD的面积为12，则k的值为 . 13.(2023·日照中考)已知反比例函数y=(k>1且k≠2)的图象与一次函数y=－7x+b的图象有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1x2>0，请写出一个满足条件的k值 . 14.如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y＝与直线y＝-x-(k+1)在第二象限的交点.AB⊥x轴于点B，且S△ABO＝. (1)求这两个函数的解析式； (2)求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积. 模型三 反比例函数与一次函数综合面积问题 类型一 两交点在反比例函数图象的同一支上 示例1:如图①. 方法一：S△AOB=S△COD-S△AOC-S△BOD. 方法二：过点A作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，过点B作BF⊥x轴于点F，则S△OAM=S四边形MEFB(参考模型一)，则S△AOB=S梯形AEFB. ① ② 示例2:如图②. 方法一：当=m或=m时，S四边形OFBE=m|k|. 方法二：过点E作EM⊥x轴于点M，则S△OEF=S梯形EMAF(参考示例1). 【例2 如图，A(4，3)是反比例函数y＝在第一象限图象上的一点，连接OA，过点A作AB∥x轴，截取AB＝OA(点B在点A的右侧)，连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P. (1)求反比例函数y＝的解析式； (2)求点B的坐标及OB所在直线的解析式； (3)求△OAP的面积. 【自主解答】 【思路点拨】 (1)已知点A的坐标，采用待定系数法求解； (2)要求出直线OB的解析式，只要求出点B的坐标即可，已知AB＝OA，所以由点A的坐标，根据勾股定理可求出OA的长，进而问题得到解决; （3)如图，过点A作AC⊥x轴于点C,过点P作PD⊥x轴于点D,延长DP交AB于点E，连接AP,由反比例函数的比例系数k的几何意义，可把△OAP的面积转化为△OAB的面积与△PAB的面积的差，也可把△OAP的面积转化为梯形ACDP的面积，也可将△OAP的面积转化为梯形OAED的面积-△AEP的面积-△ODP的面积. 模型应用 15.如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点,AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，则四边形ABCD的面积为( ) A.1 B.2 C.4 D. 第15题图 第16题图 16.如图，直线AB与反比例函数y=(x>0)的图象交于A,B两点，已知点A的坐标为(6,1),△AOB的面积为8,则点B的坐标为 . 17.(2023·济宁中考)如图，正比例函数y1=x和反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m,2). (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线OA向上平移3个单位长度后，与y轴交于点B，与y2=(x>0)的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积. 18.(2023·青岛一模)如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A，B两点，已知A(1，m)，B(2，1). (1)求k2的值及直线AB的解析式； (2)根据函数图象，直接写出不等式y2＞y1的解集； (3)设P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，当△PED的面积最大时，请求出此时点P的坐标. 类型二 两交点分别在反比例函数图象的两支上 求反比例函数与一次函数图象的交点与原点所围成的三角形面积，若两交点在双曲线的两支上，用加法. 方法一：如图，S△AOB=S△AOD+S△BOD=OD·|xA-xB|或S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC·|yA-yB|. 方法二：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，并延长AE,BF交于点N，则S△AOB=S△ABN-S△AOE-S△OBF-S矩形OENF. 模型应用 19.一次函数y=x+n的图象与x轴交于点B,与反比例函数y=(m>0)的图象交于点A(1,m),且△AOB的面积为1,则m的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 20.(2023·青岛市南一模)如图，直线y＝-x+2与反比例函数y=的图象交于A(-1，m)，B(n，-1)两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D. (1)求m，n的值及反比例函数的解析式. (2)当≤-x-2时，x的取值范围是 . (3)在直线y＝-x+2上是否存在点P，使得S△PAC＝S△PBD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 21.(2022·济南中考)如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(a，3)，与y轴交于点B. (1)求a，k的值. (2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB. ①求△ABC的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标. 参考答案 【例1】B 【例2】(1)y= (2)B(9,3),y=x. (3)5. 模型应用 1.B 2.D 3.D 4.A 5.D 6.- 7.-6 8.24 9.2-2 10.6 11.y= 12.-6 13.1.5(答案不唯一) 14.解：(1)设点A的坐标为(x，y)，且x<0，y>0， 则S△ABO=BO·BA=(-x)y=， ∴xy=-3. 又∵y=， ∴xy=k，即k=-3. ∴所求的两个函数的解析式分别为y=-，y=-x+2. (2)设直线与y轴交于点D.由y=-x+2，令x=0，得y=2. ∴直线y=-x+2与y轴的交点D的坐标为(0，2). 由得 ∴点A的坐标为(-1，3)，点C的坐标为(3，-1)， ∴S△AOC=S△ODA+S△ODC=OD·(|x1|+|x2|)=×2×(3+1)=4. 15.C 16.(2，3) 17.(1)y2=. (2)3. 18.解:(1)∵点B(2，1)在双曲线y2=上， ∴k2＝2，∴双曲线的解析式为y2＝. ∵点A(1，m)在双曲线y2＝上， ∴m＝2，∴A(1，2). ∵直线y1＝k1x+b过A(1，2)，B(2，1)两点， ∴解得 ∴直线AB的解析式为y＝-x+3. (2)0＜x＜1或x＞2. (3)设点P(x，-x+3)，且1≤x≤2， 则S△PED＝PD·OD＝x(-x+3)＝- 2+. ∵-<0,∴当x＝时，△PED的面积取得最大值， 此时点P的坐标为 . 19.B 20.解：(1)把A(-1，m)，B(n，-1)分别代入y＝-x+2，得 m＝1+2，-1＝-n+2，解得m＝3，n＝3， ∴A(-1，3)，B(3，-1). 把A(-1，3)代入y=，得k＝-3，∴y=-. (2)x≤-1或0＜x≤3. (3)存在.设P(x，-x+2)，则点P到AC，BD的距离分别为|x+1|，|x-3|. ∵S△PAC＝S△PBD，∴AC×|x+1|=BD×|x-3|， ∴AC×|x+1|＝BD×|x-3|，∴3×|x+1|＝1×|x-3|， ∴=，∴=或=-, 解得x＝-3或x＝0，∴P(-3，5)或(0，2). 21.解：(1)把A(a,3)代入y＝x+1，得a+1=3，解得a＝4. 把A(4,3)代入y＝，得3＝，解得k＝12. (2)∵点A(4，3)，点D的纵坐标是0，AD＝AC， ∴点C的纵坐标是3×2-0＝6. ① 把y＝6代入y＝，得x＝2， ∴C(2，6). ①画草图①，作CF⊥x轴于点F，交AB于点E， 当x＝2时，y＝×2+1＝2， ∴E(2，2). ∵C(2，6)，∴CE＝6-2＝4， ∴S△ABC=CE·xA=×4×4＝8. ②画草图②， ② 当AB是对角线，即四边形APBQ是平行四边形时， ∵A(4，3)，B(0，1)，点Q的纵坐标为0，∴yP＝1+3-0＝4. 当y＝4时，4＝，∴x＝3， ∴P(3，4). 当AB为边，即四边形ABQP是平行四边形时(即ABQ′P′)， 由yQ′-yB＝yP′-yA，得0-1＝yP′-3， ∴yP′＝2.当y＝2时，x＝＝6，∴P′(6，2). 综上所述，点P的坐标为(3，4)或(6，2). ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$