提分微专题16 最短距离问题-【中考零距离】2025年山东潍坊中考数学配套Word练习

提分微专题16 最短距离问题 【类型】一 隐圆—— 定点定长 【模型建立】 定点定长模型，即到定点的距离等于定长的点的集合是一个圆. 如图，点A为定点，点B为动点，且AB的长度为定值，则点B的运动轨迹为以A为圆心，AB长为半径的圆. 【例1 】如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，长度为2的线段EF贴着矩形的边滑动一周，点E，F始终落在矩形的边上，则线段EF的中点P运动的轨迹长为 . 【例2 】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，点D在AB上，且AD=2.E为AC上的动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，连接CF，则CF的最小值为 . 对应练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，且CF=2，E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 . 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝ . 【类型】二 隐圆—— 定边定角 【例3】 如图，在△ABD中，DA=DB=5，AB=6，点C在线段AB上方，且满足∠ACB=30°，则DC的最大值为 . 【例4】 如图，在等边三角形ABC中，AB=6，点D,E分别在BC和AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F，连接CF,则CF的最小值为 . 对应练习 3.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 . 4.如图，已知正方形ABCD的边长为8，E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为 . 【方法总结】 找出度数不变的角，构造圆，若度数为90°，以这个角为圆周角，斜边为直径，构造圆，根据两点之间线段最短解决.若度数为45°或135°或30°或150°，以这个角为圆周角，以这个角的对边为弦构造圆，根据圆周角和圆心角的关系，求出圆心角的度数，由两点之间线段最短解决. 【类型】三 隐圆—— 四点共圆 【例5】 如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，CD与BE交于点O，连接DE,则∠AED的度数为 . 【例6】 如图，在△ABC中，∠C=60°，AC=5，BC=8，D为AB上的动点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为 . 对应练习 5.如图，在△ABC中，∠C＝45°，∠B＝60°，BC＝+1，P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 . 【类型】四 关于将军饮马问题的变形 类型1 求两条有公共端点的线段和的最小值 【例7 】如图，在等边三角形ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，若AE=2，则EM+EC的最小值为 . 对应练习 6.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 . 7.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内部，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 . 【例8】 如图，在边长为2 cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上一动点，连接PB,PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm. 对应练习 8.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上，且BE=1，P，Q分别是边BC，CD的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 . 第8题图 第9题图 9.如图，点A(a,1),B(-1，b)都在双曲线y=-(x<0)上，P，Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是 . 10.如图,四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含点B)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN,AM,CM.当AM+BM+CM的最小值为+1时，正方形ABCD的边长是 . 类型2 通过平移，使两条线段有公共端点，求两条线段和的最小值 1.直线l1∥l2，在直线l1上找一点C，在直线l2上找一点D，使得CD⊥l2,且AC＋CD+BD最短. 提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移. 2.已知A，B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN的长度等于定长d(动点M位于动点N左侧)，使AM+MN+NB的值最小. 【例9】 点A，B与直线l的位置关系如图，在直线l上找到M，N两点，且MN＝1 cm，点M在点N的左侧，使四边形ABMN的周长最短. 对应练习 11.如图，在矩形OABC中，已知A，C两点的坐标分别为(4，0)，(0，2)，D为OA的中点.设P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合). (1)当点P运动到与点B的距离最小时，点P的坐标是 . (2)已知E(1，-1)，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？此时点P的坐标是 ，△PDE的周长是 . 12.已知点A(3，4)，B为直线x=-1上的动点，设B(-1，y). (1)如图①，若点C(x，0)且-1＜x＜3，BC⊥AC，则y与x之间的函数关系式是 . (2)在(1)的条件下，y是否有最大值？ . (3)如图②，当点B的坐标为(-1，1)时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1.线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？此时点E的坐标是 . ① ② 【方法总结】求两条线段和的最小值，这两条线段有一个公共点，这个公共点所在的直线就是对称轴，找其中一个点关于对称轴的对称点，连接这个对称点和另外一个点，这条线段就是最短距离.若两条线段无公共点，可以通过平行，将线段进行平移，构造有公共点的两条线段.求周长问题，就是求线段的和，也可以转化为将军饮马问题. 【类型】五 费马点问题 1.定义：平面内，到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点. 2.结论 如图，△ABC的三个内角均不大于120°，P为三角形内一点，当点P与△ABC三个顶点的连线夹角均为120°时，PA+PB+PC的值最小. 【证明】如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A′BP′， 连接PP′，则△BPP′是等边三角形， 所以PB=PP′. 由旋转的性质可得PA+PB+PC=P′A′+PP′+PC>A′C， 因此，当A′，P′，P，C四点共线时， PA+PB+PC的值最小. 因为△BPP′是等边三角形， 所以∠BPP′=60°， 所以∠BPC=120°. 因为∠APB=∠A′P′B，∠BP′P=60°， 所以∠APB=180°-60°=120°， 则∠CPA=360°-120°-120°=120°， 故∠BPC=∠APB=∠CPA=120°. 费马点结论: 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点; 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点. 费马问题解决问题的方法是运用旋转变换. 利用旋转把三条共点线段转化成折线段，利用两点之间线段最短构造直角三角形，利用勾股定理. 【例10】 P是边长为2的等边三角形ABC内的一点，则PA+PB+PC的最小值是 . 【例11】 P是边长为1的正方形ABCD内的一点，则PA+PB+PC的最小值是 . 对应练习 13.P是△ABC内的一点，BC=6,AC=5,∠ACB=30°，则PA+PB+PC的最小值是 . 参考答案 【例1】2+2π 【例2】-2 对应练习 1.1.2 2. 【例3】7 【例4】2 对应练习 3.2 4.4-4 【例5】45° 【例6】 对应练习 5. 【例7】5 对应练习 6.4 7.2 【例8】( +1) 对应练习 8. 9.y=x+2 10. 【例9】略 对应练习 11.(1)(3,3) (2) + 12.(1)y=-x2+x+ (2)有 (3) 【例10】2 【例11】 对应练习 13. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$