提分微专题15 函数的动点问题-【中考零距离】2025年山东潍坊中考数学配套Word练习

提分微专题15 函数的动点问题 【类型】一 平行问题 【例1 】如图，已知抛物线y=x2-2x-3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，M为图象上一点，当AM∥BC时，求点M的坐标. 【自主解答】 【类型】二 垂直问题(或直角三角形的存在性问题) 【例2 】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(-3，0)，B(1，0)，C(0，-3). (1)求抛物线的解析式； (2)若P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值,并求此时点P的坐标; (3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程. 【自主解答】 【方法总结】 斜率k=，两直线垂直⇔k1·k2=-1,第一种方法，设点的坐标，表示出两条直线的斜率，利用斜率乘积为-1列出方程.第二种方法，求出已知直线的斜率，利用斜率乘积为-1，求出另一条直线的斜率，代入已知点的坐标，求出另一条直线的函数关系式，求两条直线的交点坐标即可. 对应练习 1.如图，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B(2，0)，C(0，4). (1)求该抛物线的解析式. (2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，当点P运动到何处时，由点P，B，C构成的三角形的面积最大？求出此时点P的坐标. (3)若M是抛物线上的一个动点，当点M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形？求出此时点M的坐标. 2.如图，一次函数y=-x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝-x+1的图象交于B，C两点，与x轴交于D，E两点，且点D的坐标为(-1，0). (1)求二次函数的解析式. (2)求四边形BDEC的面积S. (3)在x轴上是否存在一点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【类型】三 等腰三角形(中垂线问题也可以转化为等腰三角形问题) 【例3 】如图，已经抛物线经过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2. (1)求此抛物线的解析式； (2)若B是x轴上的一点，且△OAB为等腰三角形，请直接写出点B的坐标. 【自主解答】 对应练习 3.如图，二次函数y＝-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1，0)，交y轴于点B(0，3). (1)求此二次函数的解析式. (2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积(请在图①中探索). (3)二次函数图象的对称轴上是否存在一点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图②中探索). ① ② 4.已知二次函数y＝ax2+bx-3a的图象经过点A(-1，0)，C(0，3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D. (1)求此二次函数的解析式. (2)连接DC，BC，DB，求证：△BCD是直角三角形. (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【类型】四 等腰直角三角形 【例4】 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A(-1，0)和点B(2，0). (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标. 【自主解答】 对应练习 5.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式； (2)M为该抛物线的对称轴l上一点，P为该抛物线上的点且在l左侧，当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标. 【类型】五 最值问题 【例5】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx-3(a＞0)与x轴交于A(-1，0),B(3，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N.求线段PM的最大值和此时点P的坐标. 【自主解答】 对应练习 6.如图，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝-1，抛物线交x轴于A,C两点，与直线y＝x-1交于A,B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标. 【类型】六 平行四边形问题 【例6】 如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B(3，0)，C(0，-2)，直线l：y＝-x-交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点(不与点A，D重合). (1)求抛物线的解析式. (2)当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值. (3)设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由. 【自主解答】 【方法总结】设点的坐标，利用中点坐标相等列方程. 对应练习 7.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3. (1)求抛物线的解析式. (2)作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标. (3)在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使得四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 8.如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B，C三点，直线y＝-x+4过点B和点C. (1)求抛物线的解析式. (2)E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE，CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标. (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在一点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案 【例1】解：方法一：由题意得A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), ∴kBC==1. ∵AM∥BC，∴kAM=kBC=1， ∴设直线AM的解析式为y=x+b. ∵直线AM过点A(-1，0)，∴0=-1+b，∴b=1，即y=x+1. 联立 得x2-3x-4=0， ∴x1=-1(舍去)或x=4, ∴点M的坐标为(4,5). 方法二：由题意得A(-1,0),B(3,0)，C(0,-3). 设M(a,a2-2a-3), 则kBC==1， kAM=. ∵AM∥BC,∴kAM=kBC， 即=1, ∴a=1(舍去)或a=4, ∴点M的坐标为(4,5). 【例2】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(-3，0)，B(1，0)， ∴可设抛物线的解析式为y＝a(x+3)(x-1)， 将C点坐标(0，-3)代入，得 a(0+3)(0-1)＝-3， 解得a＝1， ∴y＝(x+3)(x-1)＝x2+2x-3， ∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x-3. ① (2)如图①，过点P作x轴的垂线交AC于点N. 设直线AC的解析式为y＝kx+m，由题意，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝-x-3. 设动点P的坐标为(x，x2+2x-3)， 则点N的坐标为(x，-x-3)， ∴PN＝-(x2+2x-3)+(-x-3)＝-x2-3x. ∵S△PAC＝S△PAN+S△PCN， ∴S＝PN·OA ＝×3(-x2-3x) ＝- 2+， ∴当x＝-时，S有最大值，此时点P的坐标为 . (3)∵y＝x2+2x-3＝(x+1)2-4， ∴顶点D的坐标为(-1，-4). 设点M的坐标为(0，t)， ∵A(-3，0)，D(-1，-4)，M(0，t)， ∴AD2＝(-1+3)2+(-4-0)2＝20， AM2＝(0+3)2+(t-0)2， DM2＝(0+1)2+(t+4)2. 分三种情况进行讨论： ①当A为直角顶点时，如图②， 由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2， 即(0+3)2+(t-0)2+20＝(0+1)2+(t+4)2， 解得t＝， 所以点M的坐标为 . ②当D为直角顶点时，如图③， 由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2， 即(0+1)2+(t+4)2+20＝(0+3)2+(t-0)2， 解得t＝-， 所以点M的坐标为 . ③当M为直角顶点时，如图④， 由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2， 即(0+3)2+(t-0)2+(0+1)2+(t+4)2＝20， 解得t＝-1或t=-3， 所以点M的坐标为(0，-1)或(0，-3). 综上所述，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为 或 或(0，-1)或(0，-3). ② ③ ④ 对应练习 1.解：(1)由题意得 解得 则该抛物线的解析式为y＝-x2+x+4.① (2)如图①，过点P作PH∥y轴交BC于点H. 由点C，B的坐标得，直线BC的表达式为y＝-2x+4， 则S△PBC＝S△PHB+S△PHC＝PH·OB＝PH. 设点P的坐标为 ，则点H(m,-2m+4)， ∴PH＝-m2+m+4+2m-4＝-m2+3m. ∵-<0，∴PH有最大值，此时点P的坐标为 . (3)由点B，C的坐标知，tan∠CBA＝2. 当∠MBC为直角时，如图②， ① ② 则tan∠ABM＝， 则直线BM的表达式为y＝(x-xB)＝(x-2)＝x-1.② 联立①②，得-x2+x+4＝x-1， 解得x＝2(舍去)或x=-， 即点M . 当∠BCM′为直角时， 同理可得，直线CM′的表达式为y＝x+4.③ 联立①③，得-x2+x+4＝x+4， 解得x＝0(舍去)或x=， 即点M′ . 综上所述，点M的坐标为 或 . 2.解：(1)在y＝-x+1中，令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝2， ∴A(2，0)，B(0，1). 把B(0，1)，D(-1，0)代入y＝x2+bx+c，得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2+x+1. (2)如图，连接BD,CE, 在y＝x2+x+1中，令y＝0，得0＝x2+x+1， 解得x＝-2或x＝-1， ∴E(-2，0)，D(-1，0). ∵A(2，0)， ∴AE＝4. 由解得或 ∴C(-4，3)， ∴S△ACE＝×4×3＝6，S△ABD＝×3×1＝1.5， ∴S＝S△ACE-S△ABD＝6-1.5＝4.5. (3)存在. 设P(m，0)， ∵B(0，1)，C(-4，3)， ∴BC2＝20，PB2＝m2+1，PC2＝(m+4)2+9. ①当P为直角顶点时，PB2+PC2＝BC2， ∴m2+1+(m+4)2+9＝20， 解得m＝-1或m＝-3， ∴P(-1，0)或P(-3，0). ②当B为直角顶点时，PB2+BC2＝PC2， ∴m2+1+20＝(m+4)2+9， 解得m＝-， ∴P . ③当C为直角顶点时，PC2+BC2＝PB2， ∴(m+4)2+9+20＝m2+1， 解得m＝-， ∴P . 综上所述，点P的坐标为(-1，0)或(-3，0)或 或 . 【例3】解：(1)∵抛物线经过点O(0，0)，对称轴为直线x＝2， ∴抛物线经过点(4，0). 设抛物线的解析式为y＝ax(x-4)(a≠0)， 把A(5，5)代入得5＝5a， 解得a＝1， ∴y＝x(x-4)＝x2-4x， ∴此抛物线的解析式为y＝x2-4x. (2)设B(m，0)， ∵O(0，0)，A(5，5)， ∴OA2＝50，OB2＝m2，AB2＝(m-5)2+25. ①若OA＝OB，则50＝m2， 解得m＝5或m＝-5， ∴B(5，0)或B(-5，0). ②若OA＝AB，则50＝(m-5)2+25， 解得m＝0(与点O重合，舍去)或m＝10， ∴B(10，0). ③若OB＝AB，则m2＝(m-5)2+25， 解得m＝5， ∴B(5，0). 综上所述，点B的坐标为(5，0)或(-5，0)或(10，0)或(5，0). 对应练习 3.解：(1)由题意得 ∴ ∴此二次函数的解析式为y＝-x2-2x+3. (2)如图，连接OP. ∵y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4， ∴P(-1，4)， ∴PQ＝4，OQ＝1. 由-x2-2x+3＝0得x1＝1，x2＝-3， ∴OA＝3， ∴S四边形AOBP＝S△AOP+S△BOP＝OA·PQ+OB·OQ=×3×4+×3×1＝. (3)由(2)得A(-3,0).设M(-1，m)， 由B(0,3),AM2＝BM2得[(-3)-(-1)]2+m2＝(-1)2+(m-3)2， ∴m＝1， ∴M(-1，1). 4.(1)解：∵二次函数y＝ax2+bx-3a的图象经过点A(-1，0)，C(0，3)， ∴ 解得 ∴此二次函数的解析式为y＝-x2+2x+3. (2)证明：由y＝-x2+2x+3＝-(x-1)2+4得点D的坐标为(1，4)， 对于抛物线y＝-x2+2x+3，令y＝0，则-x2+2x+3＝0，解得x＝-1或x=3， ∴B(3，0)， ∴CD＝＝， BC＝＝3， BD＝＝2. ∵CD2+BC2＝()2+(3)2＝20，BD2＝(2)2＝20， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形. (3)解：存在. 抛物线y＝-x2+2x+3的对称轴为直线x＝1. ①如图，若以CD为底边，则P1D＝P1C， 设P1(x，y)，根据勾股定理可得P1C2＝x2+(3-y)2，P1D2＝(x-1)2+(4-y)2， 因此x2+(3-y)2＝(x-1)2+(4-y)2， 即y＝4-x. 又P1(x，y)在抛物线上， ∴4-x＝-x2+2x+3， 即x2-3x+1＝0， 解得x1＝，x2＝(舍去)， ∴x＝， ∴y＝4-x＝， 即点P1的坐标为 . ②如图，若以CD为一腰， ∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称， 此时点P2的坐标为(2，3). 综上，符合条件的点P的坐标为 或(2，3). 【例4】解：(1)∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A(-1，0)和点B(2，0)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2-x-2. (2)如图，∵PQ⊥x轴于点Q， ∴∠PQA＝90°. ∵△APQ是等腰直角三角形， ∴AQ＝PQ. ∵点P在抛物线y＝x2-x-2上， ∴设点Q的坐标为(m，0)，则点P(m，m2-m-2)， ∴AQ＝|m-(-1)|＝|m+1|，PQ＝|m2-m-2|， ∴|m+1|＝|m2-m-2|， ∴m+1＝m2-m-2或m+1＝-(m2-m-2)， 即m2-2m-3＝0或m2＝1， 当m2-2m-3＝0时， 解得m＝3或m＝-1(舍去)， 此时P(3，4). 当m2＝1时， 解得m＝1或m＝-1(舍去)， 此时P′(1，-2). 综上所述，点P的坐标为(3，4)或(1，-2). 对应练习 5.解：(1)将点A(-1，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx+3， 得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3. (2)由y＝-x2+2x+3得y＝-(x-1)2+4. 设点M的坐标为(1，m)，过点M作PM⊥AM交抛物线于点P，过点P作PE⊥l于点E，l与x轴交于点D. ①如图①，当点M在x轴上方时， ∵PM＝AM，∠PMA＝90°， ∴∠AMD+∠PME＝90°. ∵∠MAD+∠AMD＝90°， ∴∠MAD＝∠PME， ∴△AMD≌△MPE(AAS)， ∴PE＝DM＝m，EM＝AD＝2， ∴点P的坐标为(1-m，2+m)， ∴-(1-m)2+2(1-m)+3＝2+m， 解得m1＝-2(舍去)，m2＝1， ∴点M的坐标为(1，1). ① ② ②当点M在x轴上时，显然不符合题意. ③如图②，当点M在x轴下方时，同①可证 △AMD≌△MPE(AAS)， ∴PE＝DM＝-m，EM＝AD＝2， ∴点P的坐标为(m+1，m-2)， ∴-(m+1)2+2(m+1)+3＝m-2， 整理得m2+m-6＝0， 解得m3=2(舍去)，m4=-3， ∴点M的坐标为(1,-3). 综上所述，符合条件的点M的坐标为(1，1)或(1,-3). 【例5】解：(1)将A(-1，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx-3(a＞0)， 得 解得 故抛物线的解析式为y＝x2-2x-3. (2)当x＝0时，y＝-3， ∴C(0，-3). ∵B(3，0)， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°. ∵PN∥y轴， ∴∠MNP＝45°. ∵PM⊥BC， ∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大. 设直线BC的解析式为y＝mx+n， ∴ 解得 ∴直线BC的解析式为y＝x-3. 设P(x，x2-2x-3)，N(x，x-3)， ∴PN＝x-3-(x2-2x-3)＝- 2+， 当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝， ∴P ， 故线段PM的最大值为，此时点P的坐标为 . 对应练习 6.解：(1)对于y=x-1，令y＝0，可得x＝1， ∴A(1，0). ∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝-1， ∴-1×2-1＝-3，即C(-3，0)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝-x2-2x+3. (2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动， ∴设点P(m，-m2-2m+3). ∵抛物线与直线y＝x-1交于A，B两点， 联立解得 ∴B(-4，-5). 如图，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M， 则M(m，m-1)， ∴PM＝-m2-2m+3-m+1＝-m2-3m+4， ∴S△ABP＝S△PBM+S△PMA ＝(-m2-3m+4)(m+4)+(-m2-3m+4)(1-m) ＝- 2+， ∴当m＝-时，△ABP的面积最大， 此时点P的坐标为 . 【例6】解：(1)把B(3，0)，C(0，-2)代入y＝x2+bx+c，得 ∴ ∴抛物线的解析式为y＝x2-x-2. (2)设P ， ∵PM∥x轴，PN∥y轴，点M，N在直线AD上， ∴N ，M ， ∴PM+PN＝-m2+2m+2-m-m--m2+m+2＝-m2+m+＝- 2+， ∴当m＝时，PM+PN的最大值是. (3)∵直线l：y＝-x-交y轴于点E， ∴E ， ∴CE＝. 设P ， 若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形， ①以CE为边，∴CE∥PF，CE＝PF， ∴F ， ∴-m--m2+m+2＝或m2-m-2+m+＝， ∴m1＝1，m2＝0(舍去)，m3＝，m4＝， ∴F1 ，F2 ，F3(，-). ②以CE为对角线，如图，连接PF交CE于点G， ∴CG＝GE，PG＝FG， ∴G ,F . ∴× ＝-， ∴m＝1或m＝0(舍去)， ∴F4(-1，0). 综上所述，当点F的坐标为 ， ， ，(-1，0)时，以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形. 对应练习 7.解：(1)∵OA＝2，∴点A的坐标为(-2，0). ∵OC＝3，∴点C的坐标为(0，3). 把(-2，0)，(0，3)代入y＝-x2+bx+c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+3. (2)把y＝0代入y＝-x2+x+3， 解得x1＝-2，x2＝3， ∴点B的坐标为(3，0)， ∴OB＝OC＝3. ∵OD⊥BC， ∴OD平分∠BOC， ∴OE所在的直线为y＝x. 解方程组 得 ∵点E在第一象限内， ∴点E的坐标为(2，2). (3)存在. 如图，过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE，PO. 把y＝2代入y＝-x2+x+3， 解得x1＝-1，x2＝2， ∴点P的坐标为(-1，2). ∵PE∥OB，且PE＝OB＝3， ∴四边形OBEP是平行四边形， ∴在x轴上方的抛物线上，存在一点P(-1，2)，使得四边形OBEP是平行四边形. 8.解：(1)在y=-x+4中，当x＝0时，y＝4， ∴B(0，4). 当y＝0时，x＝4， ∴C(4，0). 将点B，C的坐标代入y＝ax2+x+c， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+4. (2)设直线BC的解析式为y＝kx+4， ∴4k+4＝0，解得k＝-1， ∴直线BC的解析式为y＝-x+4， 如图，过点E作EG∥y轴交BC于点G. 设E ，则G(t，-t+4)， ∴EG＝-t2+2t， ∴S△BCE＝ ×4＝-t2+4t＝-(t-2)2+4， 当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E(2，4). (3)∵y＝-x2+x+4＝-(x-1)2+， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. 设Q(1，m)，P ，B(0，4)，C(4，0)， ①当PQ为平行四边形的对角线时，1+n＝4，解得n＝3， ∴P ； ②当PB为平行四边形的对角线时，n＝4+1＝5， ∴P ； ③当PC为平行四边形的对角线时，4+n＝1，解得n＝-3， ∴P . 综上所述，点P的坐标为 或 或 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$