提分微专题14 几何动点问题-【中考零距离】2025年山东潍坊中考数学配套Word练习

提分微专题14 几何动点问题 【类型】一 通过已知条件得到特殊平行四边形，由特殊平行四边形的性质得到等量关系，列出方程解决问题 【例1】 如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，AD=8 cm,点P从点A出发沿AD方向运动，速度为1 cm/s，过点P作PE∥AC交DC于点E，同时点Q从点C出发沿射线CB运动，速度为2 cm/s,连接PQ，QE，PQ与AC相交于点F，设运动时间为t s(0<t<8).当t为何值时，PF∥DC？ 【自主解答】 【类型】二 线段平行问题：利用相似或者平行线分线段成比例解决 【例2 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，点P由点B出发沿BA方向向点A运动，速度为1 cm/s,点Q从点A出发沿AC方向向点C运动，速度为2 cm/s,连接PQ，设运动时间为t s(0<t≤4).当t为何值时，PQ∥CB? 【自主解答】 对应练习 1.如图，在△ABC中，∠C=30°，BC=20，AC=16.动点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动.过点P作PD∥AC，交AB于点D，连接DQ，设点P运动的时间为t s(0<t<10),当t＝3时，求PD的长. 【类型】三 线段垂直问题(直角三角形问题也可转化为线段垂直问题) ：利用相似三角形或者勾股定理解决 【例3】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8.动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度移动，同时点Q从点C出发，沿CD方向以每秒1个单位长度的速度移动，当有一个点到达终点后即停止运动，过点Q作QM∥AC交AD于点M，连接PM，PQ，设点P的运动时间为t s(0<t<6).是否存在某一时刻t，使得MQ⊥PQ？ 【自主解答】 对应练习 2.如图，在矩形ABCD中，AB=8 cm，AD=10 cm，E是AD上一点，AE=6 cm，连接BE，CE.点P从点E出发，沿EB方向向点B匀速运动，同时点Q从点C出发，在BC的延长线上匀速运动，P，Q两点的运动速度均为1 cm/s，连接DQ，PQ,PQ交CE于点F.设点P，Q的运动时间为t s(0<t<10).当t为何值时，PQ⊥BE? 【例4】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8.动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度移动，同时点Q从点C出发，沿CD方向以每秒1个单位长度的速度移动，当有一个点到达终点后即停止运动，过点Q作QM∥AC交AD于点M，连接PM，PQ，设点P的运动时间为t s(0<t<6).是否存在某一时刻t，使得△MPQ为直角三角形？ 【自主解答】 对应练习 3.在例4中，当∠MQP=90°时，你还有别的解决方法吗？ 【类型】四 等腰三角形问题(垂直平分线问题可以转化为等腰三角形问题，菱形问题 也可以转化为等腰三角形问题) 【方法总结】 (1)两腰都能表示出来时，直接列方程. (2)两条腰中有一条表示不出来，但是底能表示出来，利用三线合一解决. (3)两条腰都表示不出来，底也表示不出来时，构造直角三角形用勾股定理表示出两条腰的平方，利用两腰的平方相等列方程. 【例5】 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，点P由点B出发沿BA方向向点A运动，速度为1 cm/s,点Q从点A出发沿AC方向向点C运动，速度为2 cm/s,连接PQ，设运动时间为t s(0<t≤4).当t为何值时，△PQA是等腰三角形? 【自主解答】 【类型】五 角平分线问题 【例6】 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC，BD相交于点O，现有两动点E，F分别从C,A两点同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度，由点C向点A做匀速运动，点F以每秒1个单位长度的速度,由点A向点D做匀速运动，运动中时刻保持FP∥AB，直线FP与对角线BD相交于点P,与对角线AC相交于点M,设运动时间为t s(0<t≤1)，是否存在某一时刻t,使得点E在∠BDC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 【自主解答】 【例7】 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16 cm，BC=6 cm，CD=8 cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm/s.点P和点Q同时出发，以QA，QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t s(0＜t＜5).在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 【自主解答】 【方法总结】 (1)利用角平分线的性质解决.若角平分线上有一点到角一边的距离已经表示出来了，则过这个点作角另一边的垂线，表示出这个点到角另一边的距离，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，找出等量关系，列出方程. (2)利用等腰三角形解决.利用平行和角平分线得到等腰三角形. 【类型】六 面积问题 面积 【例8 】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s；点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2 cm/s，连接PQ.设运动的时间为t s(0＜t＜4)，△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式. 【自主解答】 【例9 】如图，在ABCD中，AD=3 cm，CD=1 cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3 cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1 cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为N，连接AN,PN.设运动时间为t s(0<t<1)，四边形ANPM的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式. 【自主解答】 【类型】七 三点共线问题 【例10】 如图，在矩形ABCD中，AD=10,CD=5,DM为CD的延长线.点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长度的速度向点A移动，同时点F从点C出发，沿射线CM以每秒2个单位长度的速度移动，当B,E,F三点在同一条直线上时，两点同时停止运动.设点E的移动时间为t s，求t为何值时，两点同时停止运动. 【自主解答】 动点题专练 1.如图,将两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE摆放在一起(点A，B，D在同一条直线上),∠A=∠D=90°,AB=DE=8 cm,AC=BD=6 cm.点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿AB方向向点B运动;同时,点Q从点B出发,以2 cm/s的速度沿BE方向向点E运动,当其中一点到达终点时，两点都停止运动.连接CP,CQ,PQ,PQ与BC交于点F.设运动时间为t s(0<t<5). (1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？ (2)设△CPQ的面积为y(cm2),求y与t的函数关系式. (3)是否存在某一时刻t，使得PQ与BC的夹角为45°？若存在,求出t的值；若不存在，请说明理由. 2.Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放(点P与点B重合)，点F，B(P)，C在同一条直线上，AB=EF=6 cm，BC=FP=8 cm，∠EFP=90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1 cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1 cm/s.过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动.设运动时间为t s(0＜t＜6)，解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ∥BD？ (2)设五边形AFPQM的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式. (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. ① ② 参考答案 【例1】解：∵PF∥DC,AD∥BC， ∴四边形PQCD是平行四边形， ∴PD=QC，即8-t=2t， ∴t=. 【例2】解：∵∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm, ∴AB===10(cm). ∵PQ∥CB， ∴=，即=，∴t=. 对应练习 1.解：∵PD∥AC， ∴∠BDP=∠BAC,∠BPD=∠BCA， ∴△BPD∽△BCA， ∴=，即=， 解得PD=. 【例3】解：设AC与PQ交于点N， ∵QM∥AC,MQ⊥PQ, ∴AC⊥PQ， ∴∠PNC=90°， ∴∠1+∠2=90°. 又∵∠ABC=∠PNC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， ∴△PCQ∽△ABC， ∴=，即=， ∴t=. 对应练习 2.解：在Rt△ABE中，BE==10(cm). 若PQ⊥BE,则∠BPQ=∠A=90°. ∵AD∥BC,∴∠PBQ=∠AEB, ∴△PQB∽△ABE, ∴=,即=, ∴t=. 【例4】解：①如图，若∠MQP=90°，则∠1+∠2＝90°. ∵QM∥AC,∴=,即=,∴MD=8-t. ∵∠1+∠3=90°,∴∠3=∠2. ∵∠MDQ=∠QCP=90°, ∴△MDQ∽△QCP,∴=,即=, 化简得7t2-74t+192=0,∴t1=6(舍去),t2=. ②若∠PMQ=90°, 过点P作PE⊥AD于点E,可证△PEM∽△MDQ, ∴=,即=, 解得t3=6，t4=. ∵0<t<6,∴t3,t4不符合题意，舍去. ③若∠MPQ=90°, ∵AM=t>BP,可知∠MPE>0°, ∴∠MPQ<90°,故此种情况不存在. 综上所述，存在t=使得△MPQ为直角三角形. 对应练习 3.解：如图，过点P作PH⊥AD,则BP=AH=t, PC=8-t,CQ=t,DQ=6-t. ∵QM∥AC，∴=，即=， ∴MD=8-t,AM=t，∴HM=t. 若∠MQP=90°， 在Rt△PMQ中，PM2=PQ2+MQ2， 即PH2+HM2=PC2+CQ2+DQ2+MD2， ∴62+ 2=(8-t)2+t2+(6-t)2+ 2， 化简得7t2-74t+192=0， ∴t1=6(舍去),t2=， ∴存在t=使得∠MQP＝90°. 【例5】解：由题易得AB=10 cm. ①当AP=AQ时，10-t=2t， ∴t=. ②如图①，当AQ=PQ时， ① 过点Q作QE⊥AB于点E，则AE=AP. 由△AEQ∽△ACB可得=，∴AE=t， ∴t=(10-t)，∴t=. ③如图②，当AP=PQ时， ② 过点P作PE⊥AC于点E，∴AE=AQ=·2t=t. 易知△APE∽△ABC，则有=， ∴=， ∴t=>4，不符合题意，舍去. 综上所述，当t=或时，△PQA为等腰三角形. 【例6】解：存在. 如图，过点E作EN⊥CD于点N. 根据角平分线性质可得OE=EN，DO=DN. 结合题目已知条件易求出OD=DN=，OC=1，CN=2-， CE=2t，NE=EO=1-2t. 在Rt△CEN中，由勾股定理得CN2+EN2=CE2， 即(2-)2+(1-2t)2=(2t)2， ∴t=2-. 【例7】解：存在. 由题易得AD=BD=10 cm. 如图，延长EP交BD于点F,连接BE. 由EF∥AB得∠DPF=∠DAB,∠DFP=∠DBA. ∴△DPF∽△DAB， ∴==，即==， ∴PF=t,DF=2t， ∴EF=PE+PF=2t+t=t. ∵EF∥AB， ∴∠1=∠3. ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴BF=EF，即10-2t=t， ∴t=. 【例8】解：由题易得AB=10 cm. 如图，过点P作PE⊥AC于点E. ∵PE⊥AC，BC⊥AC， ∴PE∥BC， ∴∠APE=∠B,∠AEP=∠C， ∴△APE∽△ABC， ∴=，即=， ∴PE＝6-t， ∴y=×2t =-t2+6t. 【例9】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠MAP=∠D,∠PMA=∠PQD， ∴△AMP∽△DQP， ∴=，即=， ∴AM=t. ∵MN⊥BC， ∴∠MNB=90°. ∵∠B=45°， ∴∠BMN=45°=∠B， ∴BN=MN. ∵AM=t,AB=1,∴BM=1+t. 在Rt△BMN中，由勾股定理得BN=MN=(1+t). ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∵MN⊥BC， ∴MN⊥AD， ∴y=AP·MN =·3t·(1+t) =t2+t. 【例10】如图,当B,E,F三点在同一条直线上时，由AD∥BC可证得△DEF∽△CBF, ∴=,即=, ∴t=5. 动点题专练 1.解：(1)当点B在线段PQ的垂直平分线上时，BP=BQ, ∴8-t=2t, ∴t=. (2)在Rt△BDE中，BD=6 cm,DE=8 cm,由勾股定理得BE==10 cm. 如图，过点Q作QG⊥BD于点G， 则∠BGQ=90°. ∵∠D=90°， ∴∠BGQ=∠D. ∵∠QBG=∠EBD， ∴△BQG∽△BED， ∴=， 即=， ∴GQ=t. ∵Rt△ABC和Rt△BDE是两个全等的三角形， ∴∠ACB=∠DBE,∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠DBE+∠ABC=90°， ∴∠CBQ=180°-(∠DBE+∠ABC)=90°， ∴S△CPQ=S△ABC+S△CBQ-S△APC-S△PBQ =AC·AB+BC·BQ-AC·AP-PB·GQ =×6×8+×10×2t-×6×t-×(8-t)×t =24+10t-3t-t+t2 =t2+t+24. (3)存在. 如图，过点F作FH⊥AB，则∠BHF=90°. ∵∠BGQ=90°， ∴∠BHF=∠BGQ. ∵∠FBH+∠QBG=90°,∠FBH+∠BFH=90°， ∴∠BFH=∠QBG. ∵PQ与BC的夹角为45°，∠FBQ＝90°， ∴△BFQ是等腰直角三角形， ∴BF=BQ， ∴△FBH≌△BQG， ∴=， 解得t=. 2.解：(1)若PQ∥BD，易证得△CPQ∽△CBD， 可得=，即 =，解得t=. (2)由∠MQD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°， 可得∠MQD=∠CBD. 又∵∠MDQ=∠C=90°，∴△MDQ∽△DCB， ∴=，即=， 解得MD=(6-t)， ∴y=S△ABF+S矩形ABCD-S△CPQ-S△MDQ =AB·BF+AB·BC-PC·CQ-MD·DQ =×6×(8-t)+6×8-×(8-t)t-×(6-t)×(6-t) =t2-t+. (3)存在. 易证△PGB∽△PEF， ∴=，即=，∴BG=t， 则AG=6-t， AM=AD-MD=8-(6-t)=t+. 如图，过点M作MN⊥BC于点N，则四边形MNCD为矩形， ∴MN=CD=6，CN=MD=(6-t)， 故PN=(8-t)-(6-t)=-. 若点M在线段PG的垂直平分线上，则GM=PM， ∴GM2=PM2，∴AG2+AM2=PN2+MN2， 即 2+ 2= 2+62， 整理得17t2-32t=0，解得t1=,t2=0(舍去)， ∴当t=时，点M在线段PG的垂直平分线上. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$