精品解析：江苏省连云港市东海县八校联考2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期初中段九组“PK”校学业质量第二次监测 八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 2. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 在三角形中，，，的对边分别为，，，且满足，则这个三角形中互余的一对角是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 以上都不正确 4. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 6. 如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 8. 如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 点与点关于轴对称，则点的坐标是______． 10. 小亮的体重为44.85kg，精确到0.1kg得到的近似值为_____kg． 11. 若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于___________（填一个即可）． 12. 如图，，若，，则的度数为______． 13. 在中，点D，E分别是，的中点，若，，则的度数为_______． 14. 如图，地块△ABC中，边AB＝40 m，AC＝30 m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320 m2，则地块△ACD的面积为______m2． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，则当_________时，是等腰三角形． 16. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 _____． 三、解答题（共10小题，满分102分） 17. 计算： （1） （2） 18. 求下列式子中的未知数的值： （1） （2） 19. 已知y﹣3与x+4成正比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣3．求： （1）y与x之间的函数表达式； （2）当x＝﹣5时，y的值． 20. 如图，点D在的边上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，一块四边形的纸板剪去△DEC，得到四边形ABCE，测得∠BAE =∠BCE=90°，BC=CE，AB=DE． （1）能否在四边形纸板上只剪一刀，使剪下的三角形与△DEC全等？请说明理由； （2）求∠D的度数． 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，若，求的长． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点都在格点上． （1）仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分；（保留必要的作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点、、的坐标分别为、、． （1） ； （2）画出关于x轴对称的； （3）已知点在轴上，且，则点的坐标是 ． 25. 已知一次函数． （1）画出这个函数的图象； （2）若这个一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点是轴正半轴一点，且，连接，判断的形状，并说明理由； （3）在轴上是否存在一点使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在请说明理由． 26. （1）【课本再现】苏科版数学八年级上册第67页习题2.5第10题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论． （2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（ ） A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②③④ （3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期初中段九组“PK”校学业质量第二次监测 八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计的值，可以通过比较已知的平方数来确定其范围． 【详解】解：∵，，且10介于9和16之间， ∴应在3和4之间， 故选：C． 2. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， 而四个选项中，只有D符合题意， 故选：D． 3. 在三角形中，，，的对边分别为，，，且满足，则这个三角形中互余的一对角是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】先由勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵b2-a2=c2， ∴b2=a2+c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°， ∴∠C与∠A互余． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角是直角．同时考查了直角三角形两锐角互余的性质． 4. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 6. 如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 8. 如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 点与点关于轴对称，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特点可得答案． 【详解】解：∵点与点Q关于x轴对称， ∴点Q的坐标为， 故答案为：）． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 10. 小亮的体重为44.85kg，精确到0.1kg得到的近似值为_____kg． 【答案】44.9 【解析】 【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：44.85kg精确到0.1kg得到的近似值为44.9kg． 故答案为44.9． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字；掌握好相关的基础知识是关键． 11. 若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于___________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握：在正比例函数中，当时，随的增大而增大，图象经过第一、三象限；当时，随的增大而减小，图象经过第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴的值可以等于． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 13. 在中，点D，E分别是，的中点，若，，则的度数为_______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理，平行线的性质，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ∴ ， ， 故答案为：． 14. 如图，地块△ABC中，边AB＝40 m，AC＝30 m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320 m2，则地块△ACD的面积为______m2． 【答案】120 【解析】 【分析】利用角平分线的性质定理证明，再根据△ABD的面积为320 m2，求出，即可求出△ACD的面积． 【详解】解：作， ∵AD是的角平分线， ∴， ∵AB＝40 m，AC＝30 m，△ABD的面积为320 m2， ∴，解得：， ∴， ∴△ACD的面积为． 故答案为：24 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，则当_________时，是等腰三角形． 【答案】4或5或6或16 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．分四种情况解答，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过点P作轴于点C，则，， 当时，， ∴， 此时； 当时， ， 此时； 当时， 若为锐角三角形，， 此时； 若为钝角三角形， 在中，， ∴； 综上所述，当4或5或6或16时，是等腰三角形． 故答案为：4或5或6或16 16. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理．利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：过点Q作轴于点轴于N， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 当时，有最小值为5， ∴最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，满分102分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握定数运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值和算术平方根，再计算减法即可； （2）先计算乘方与开方，再计算加法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 求下列式子中的未知数的值： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握求一个数的平方根与立方根是银题的关键． （1）把看做一个整体，直接开平方，得到一元一次方程，再求解即可； （2）先变形为，再开立方即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 或； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 19. 已知y﹣3与x+4成正比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣3．求： （1）y与x之间的函数表达式； （2）当x＝﹣5时，y的值． 【答案】（1） （2）y＝5 【解析】 【分析】（1）设，通过待定系数法求解． （2）将x＝−5代入解析式求解． 【小问1详解】 解：设， 将x＝−1，y＝−3代入得−3−3＝3k， 解得k＝−2， ∴，即． 【小问2详解】 解：把x＝−5代入y＝−2x−5得 y＝−2×（−5）−5＝5． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，由y﹣3与x+4成正比例设． 20. 如图，点D在的边上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，． 21. 如图，一块四边形的纸板剪去△DEC，得到四边形ABCE，测得∠BAE =∠BCE=90°，BC=CE，AB=DE． （1）能否在四边形纸板上只剪一刀，使剪下的三角形与△DEC全等？请说明理由； （2）求∠D的度数． 【答案】 （1）沿AC剪一刀. 理由：∵∠BAE=∠BCE=90°， ∴∠ABC+∠AEC=180°， ∵∠AEC+∠DEC=180°， ∴∠DEC=∠B， 在△ABC和△DEC中， AB＝DE，∠B＝∠EDC， BC＝EC， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． （2）45°. 【解析】 【分析】（1）连接AC, 利用全等三角形的判定方法（SAS）进而判断得出答案． （2）由第（1）△ABC≌△DEC,可得AC=DC, ∠ACB=∠DCE，根据∠BCE=90°, ∠ACB+∠ACE=∠BCE, ∠ACB=∠DCE，∠DCE+∠ACE=∠ACB+∠ACE=∠BCE=90°, 可得∠ACD=90°,继而可得△ADC是等腰直角三角形. 【详解】（1）略 （2）∵△ABC≌△DEC, ∴AC=DC, ∠ACB=∠DCE， ∵∠BCE=90°, ∠ACB+∠ACE=∠BCE, ∠ACB=∠DCE， ∴∠DCE+∠ACE=∠ACB+∠ACE=∠BCE=90°, ∴∠ACD=90°, ∵AC=DC, ∴∠D=45°. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等腰直角三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法和等腰直角三角形的判定是解题关键． 22. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质： （1）根据作已知直线的垂直平分线的作法画出图形即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质，可得，再由等腰三角形的性质可得，即可． 【小问1详解】 解：如图，直线l即为所求； 【小问2详解】 解：连接． 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点都在格点上． （1）仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分；（保留必要的作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 如图所示，点E即为所作， （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，角平分线及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）找出格点F，连接交于点E，点E即为所求； （2）连接，运用三角形面积法求得的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由格点图可得：， ∵ ∴ ∴ 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点、、的坐标分别为、、． （1） ； （2）画出关于x轴对称的； （3）已知点在轴上，且，则点的坐标是 ． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出、、都是对应点，，即可； （3）线段的垂直平分线与轴的交点即为所求． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点在轴上，且 点在垂直平分线上． 作的垂直平分线上，如上图，点即为所求，． 25. 已知一次函数． （1）画出这个函数的图象； （2）若这个一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点是轴正半轴一点，且，连接，判断的形状，并说明理由； （3）在轴上是否存在一点使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 （3）存在，点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）用描点法作出函数图象即可； （2）先求出点A、B、C的坐标，再用勾股定理求出，，从而得出，由勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别 求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：列表： x … 0 … y … 2 0 … 描点，连接，如衅所示， 【小问2详解】 解：是直角三角形． 理由如下： 令，则，解得：， 令，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 画图如下： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【小问3详解】 解： 分三种情况：如图， ①当时， 则， 或， ∴或； ②当时， 则， ∴， ∴； ③当时，过点P作于Q，如图， ∵，， ∴点Q是线段的中点， ∵，， ∴， 设直线解析式为， 把、代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴设直线解析式为， 把代入，得， ∴， ∴直线解析式为， 令，则， ∴． 综上，存在，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查作一次函数的图象，一次函数图象性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，等腰三角形，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解． 26. （1）【课本再现】苏科版数学八年级上册第67页习题2.5第10题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论． （2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（ ） A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②③④ （3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），见解析 （2）C （3）是， （4）是， 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，得，可判定①成立，，又，可得是等边三角形，可判定③成立；，则，可得，可判定②成立；由于点O不一定是的中点，可判定④不是恒成立； （3）设交于M，由（1）知：，又，，则∴，即可求得． （4）连接交于N，连接交于M，交，由等腰直角 三我性质与勾股定理求得，，再证明，得，从而求得 ，由勾股定理得，，，，即可由求解． 【详解】解：（1）， 证明：和均为等边三角形， ，，． ∴ ． 在和中， ， ． ． （2）和均为等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由（1）知： ∴ 又∵ ∴ ∴，故①成立； ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形，故③成立； ∴ ∴ ∴，故②成立； 由于点O不一定是的中点，故④不是恒成立； 故选：C． （3）设交于M，如图3， 由（1）知： ∵，， ∴ ∴． （4）是，。 理由：连接交于N，连接交于M，交，如图4， ∵和是以和为直角的等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∴，是定值． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手”模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $