精品解析：湖南省岳阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

岳阳市2025年高中教学质量监测试卷 高一数学 本试卷共4页，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名和座位号填写在答题卡指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】由题意，所以． 故选：B． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由带存在量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【详解】将命题的量词改变，并否定结论即得： 命题“，”的否定是“，”. 故选：A. 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，再代入特殊角的三角函数值即得. 【详解】. 故选：C. 4. 已知，，则“关于的不等式有解”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：若关于的不等式有解， 当时，关于的不等式一定有解，此时无法确定判别式是否大于零， 当时，则， 则关于的不等式有解不能推出， 若， 当时，关于的不等式一定有解， 当时，关于的不等式有解， 所以能推出关于的不等式有解， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解. 【详解】由函数的图象知， 则， 所以函数为增函数， 且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位， 所以函数的大致图象是C选项. 故选：C. 6. 下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 7. 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列方程，通过取对数并代值估计即得. 【详解】由题意，设通过x块这样的玻璃以后，光线削弱为原来的，则易得：， 即，两边取对数，可得， 故至少需要通过16块这样的玻璃. 故选：D. 8. 已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的单调性列出不等式组，求解即得参数范围. 【详解】由题意，需使①；在上恒成立②；③；④ 同时满足，由②可得；由③ 可得；由④ 可得. 综上可得：实数a的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题有个细节是关键，就是需要考虑第一段函数中真数部分函数在上恒为正数这一条件,而且还要考虑对数型复合函数的单调性. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 函数的最大值为2 D. 函数的单调递减区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由周期公式求出周期即可判断A；计算即可判断B；由正弦函数性质即可判断C；计算不等式即可判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，， 所以函数的图象不关于点成中心对称图形，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以函数的最大值为2，故C正确； 对于D，令，解得，故D正确； 故选：ACD 10. 已知实数a,b,c,m，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 D. 若，且，则的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用不等式性质即可判断；对于B，运用作差法比较即得；对于C，利用三个二次的关系，求出的值，再解一元二次不等式即可；对于D，由题设等式推出，代入所求式，运用基本不等式并判断等号成立条件即可判断. 【详解】对于A，由可知，故可得，即A正确； 对于B，由， 因，，可得，故有，即B正确； 对于C，依题意，是方程的两根，且， 则得，解得， 于是不等式即，解得或， 故其解集为，故C错误； 对于D，由，且可得或，解得或， 因 ，故，则，当且仅当时等号成立， 但当时，不满足，故等号不成立，即的最小值不是，故D错误. 故选：AB. 11. 函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用轴对称有中心对称的意义推理可得函数是偶函数，再利用单调性逐项分析判断. 【详解】由为奇函数，得，即， 由为偶函数，得，则， ，于是， 因此函数是偶函数，且当时，单调递减， 对于A，，则，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， 则，，即，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的图象过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】代入即可得到答案. 【详解】当时，， 则其所过定点为. 故答案为：. 13. 已知分别是方程与的实数解，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】结合函数的图象，将看成与的交点的横坐标，看成与的交点的横坐标，因函数与的图象关于直线对称，直线也关于直线对称，则得点与点也关于直线对称，即可列式计算. 【详解】由可得，由可得， 不妨记， 依题意，为与的交点的横坐标， 为与的交点的横坐标，作出这些函数的图象如下： 因函数与是一对反函数，图象关于直线对称， 而直线与直线垂直，故也关于直线对称， 则点与点也关于直线对称， 故得，化简得：，即. 故答案为：10. 14. 已知函数，，则函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，，满足，． （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并用定义证明． 【答案】（1） （2）为奇函数，证明如下： 因的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数． 【解析】 【分析】（1）利用函数值代入解析式，得到方程组，求解即得； （2）利用奇函数的定义计算化简即可判别. 【小问1详解】 因为，，所以 得，，所以 【小问2详解】 略 16. 如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆O相交于点，过A作x轴的垂线，垂足为B． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）理解题意，利用三角函数的定义即可求得； （2）由三角函数的定义先求得，再利用二倍角公式将所求式化简成齐次的弦的分式，运用同角的三角函数关系式化弦为切，代入计算即得. 【小问1详解】 由题意得角的终边与单位圆O相交于， 所以． 【小问2详解】 因角的终边与单位圆O相交于， 故， 则 ． 17. 春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式； （2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）依题意设得的解析式，代入，确定参数，即得的表达式； （2）根据分段函数解析式，分别利用基本不等式和函数的单调性求其最值并比较即得. 【小问1详解】 依题意，当时，设， 因，解得， ， 【小问2详解】 当， ， 当且仅当时等号成立； 当时，在上为减函数，故得. 又，所以当时，需要提供的面包数量最少． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象得出周期，即可根据三角函数周期计算得出，将点代入新解析式，得，根据已知得出范围，结合三角函数的零点得出，将点代入新解析式，即可得出，即可得出答案； （2）设，根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简，结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减，由三角函数的单调区间解出的单调递减区间，即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组，即可解出答案. 【小问1详解】 由图象可知，周期， ， 因为点在函数图象上， 所以，即， 又， ， 则，即， 因为点在函数图象上，所以，即， 故函数的解析式为. 【小问2详解】 由题意可得， 设 ，当时，恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 在区间上单调递减， 令，解得， 因为，所以，则， 故，解得， 所以最大值为. 19. 若函数满足：对于任意正数m,n，都有,，且，则称函数为“速增函数”． （1）试判断函数与是否为“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有． 【答案】（1）不是“速增函数”，不是“速增函数” （2）． （3）由函数为“速增函数”，可知对于任意正数m，n， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于正整数k与正数m，都有． 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故． 【解析】 【分析】（1）根据“速增函数”的定义易判断不是“速增函数”；通过举反例，结合“速增函数”的定义可判断不是“速增函数”； （2）由是“速增函数”可得①与②两式恒成立，经等价转化，利用参变分离，即可求得参数范围； （3）由函数为“速增函数”，取可推得，利用迭代法推出，则可利用该结论证得和，借助于不等式性质即可证明. 【小问1详解】 对于函数， 当，时，有，； 因为， 所以， 故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”． 对于函数， 当时，有， 故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”． 【小问2详解】 因为是“速增函数”， 根据“速增函数”的定义可得：当时，恒成立①； 当，时，恒成立②． 由①可得：对一切正数n恒成立 又因为当时，，所以对一切正数n恒成立，故得． 由②可得：， 即对一切正数n，m恒成立． 因为 ， 所以， 又因为当，时，，所以， 由对一切正数n，m恒成立，可得，即． 综上可知，a的取值范围是． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题为函数新定义题，关键是读懂题意，根据“速增函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“速增函数”的定义，说明是“速增函数”，需按定义严格证明，说明不是只需举一反例；其次若函数是“速增函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和变量分离等方法求出参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳市2025年高中教学质量监测试卷 高一数学 本试卷共4页，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名和座位号填写在答题卡指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则“关于的不等式有解”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（ ） A. B. C. D. 7. 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 函数的最大值为2 D. 函数的单调递减区间为 10. 已知实数a,b,c,m，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 D. 若，且，则的最小值为 11. 函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的图象过定点______． 13. 已知分别是方程与的实数解，则的值为______． 14. 已知函数，，则函数的值域为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，，满足，． （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并用定义证明． 16. 如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆O相交于点，过A作x轴的垂线，垂足为B． （1）求的值； （2）求的值． 17. 春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式； （2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值. 19. 若函数满足：对于任意正数m,n，都有,，且，则称函数为“速增函数”． （1）试判断函数与是否为“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $