精品解析：湖北孝感市普通重点高中2025-2026学年高二下学期期末联考数学试卷

高二数学 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性计算即可求解. 【详解】由正态分布曲线关于对称，可得， 又，故. 2. 函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线方程和导数几何意义得到方程，求出，得到答案 【详解】，， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则，， 将点代入切线方程得，即，故 3. 若随机变量，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及二项分布的期望公式求得由方差公式求得，然后结合方差的性质即可求解. 【详解】因为， 所以，则， 所以， 则. 4. 已知随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由概率之和为1，求得，再由求解即可. 【详解】由题意得 而由, 得， 解得， 所以． 所以，， 故 5. 若等差数列的公差为，前项和为，则“为单调递减数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】直接通过举反例验证充分性和必要性是否成立可得. 【详解】充分性：如等差数列为：，则， 显然数列为单调递减数列，但，故充分性不成立. 必要性：如等差数列为：，则数列为：， 显然公差，但数列为单调递增数列，必要性也不成立. 因此“数列为单调递减数列”是“”的既不充分也不必要条件. 6. 某班一天上午排4节课，下午排3节课，现要安排7门不同的学科各一节的课程表，要求语文，英语都在上午且不相邻，体育在下午，则不同的排课方法种数有（ ） A. 72 B. 108 C. 216 D. 432 【答案】D 【解析】 【分析】题目考查了排列组合中的特殊元素优先法、插空法，重点是“不相邻问题”和“特殊位置优先安排”的解题技巧. 【详解】除去英语，语文，体育，从剩下的四门课程中选出两门排在上午的两节课中，有种排法， 把英语，语文插空排入上午，有种排法， 下午的三节课中选一节排体育，有种排法， 其余两门有种排法， 所以共有种不同的排课方法. 7. 设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设,结合椭圆定义及余弦定理可得，再利用，求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为， 设， 由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理可得， 即， 解得， 又因为为中点， 所以， 平方得 . 8. 设a，，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，得到函数单调性和极值情况，根据零点个数得到，求出恰有三个零点的有序实数对共有个，从而得到概率 【详解】由a，，，，得有序实数对共有对， 函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值且，在处取得极小值且， 由a，，得恒成立， 因此函数恰有三个零点，当且仅当，即，， 当时，b无解； 当时，； 当时，， 当，5，6，7时，， 满足函数恰有三个零点的有序实数对共有对， 所以函数恰有三个零点的概率为． 二、多选题：本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，选对但选不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列描述中说法正确的是（ ） A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B. 正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由相关系数与变量线性相关程度可判断选项正误；对于B，由正态分布密度曲线与关系可判断选项正误；对于C，由与残差平方和，拟合效果关系可判断选项正误；对于D，由残差定义结合题设判断选项正误. 【详解】对于A选项，两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故A错误； 对于B选项，正态曲线中，当一定时，越小，总体分布越集中，则正态曲线越“瘦高”；越大，总体分布越分散，则正态曲线越“矮胖”，故B正确； 对于C选项，在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好，故C正确； 对于D选项，当时，，残差为，故D选项不正确 10. 记公比为的等比数列的前项和为，前项积为，若数列满足，，，则（ ） A. B. 数列没有最大值，有最大值 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先由条件可得，再假设，可判断与条件矛盾，进而可得，，，从而可判断ABC选项，对D根据前项积及等比数列的性质判断可得. 【详解】因为，即，所以，中一个大于，一个小于. 又，，所以，则. 若，因为，所以等比数列为单调递增数列，所以与矛盾； 若，因为，则，所以与矛盾； 因此，且，. 所以当，，数列单调递增；当，，数列单调递减. 因此数列无最大项，有最大项，故B正确； 对于A，因为，所以，故A正确； 对于C，因为当时，，所以，故C错误； 对于D，因为，再由等比数列的性质 所以，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当时， C. 函数的图象是中心对称图形 D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再通过求导、因式分解分析导数符号，得到函数的单调区间，直接利用单调区间判断正误，判断选项A；举特殊值反例，结合单调性与自变量大小关系，判断不等式不恒成立，判断选项B；验证对称性，判断选项C；结合中心对称性质，通过条件转化自变量大小关系，利用单调性比较函数值判断选项D． 【详解】对于A：易知的定义域为， 求导得， 因，由可得，由可得或， 在上单调递增，在，上单调递减，故A正确； 对于B：因，当时，，即时，，故B错误； 对于C：注意到， ， 则图象关于中心对称，故C正确； 对于D：因，则，又，则， 从而， 又由A分析可得，在上单调递增，则， 从而，故D正确． 三、填空题：本题共有3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若是二项式的展开式中的一项，则n的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】该二项式的通项公式为：，， 由题意可知：，所以， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意，所以， 当时，，不符合题意； n的值为. 13. 已知样本数据点集合为，且，利用最小二乘法求得线性回归方程为，后发现样本数据对应的散点远离回归直线，将其剔除后得到新的线性回归方程为，则______． 【答案】 【解析】 【详解】在原来的样本中，，代入中，得， 剔除一个偏离直线较大的异常点后得到新样本，在新样本中，， 因此剔除该异常点后的回归直线经过，代入中，得出. 14. 已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得在上恒成立，然后通过研究，单调性可得答案. 【详解】∵对任意的，恒成立， 即，在上恒成立， 即在上恒成立， 即，. 设函数，，则在R上为增函数， 则在上恒成立， 则. 令，， 则在上递增，在递减， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越深入广泛，某中学为了增强在校学生学习数学的兴趣，提高本校的数学水平，学校准备开设数学兴趣培辅班，开班之前，学校用简单随机抽样的办法抽取了本校男生和女生各人作为样本，调查学生的性别与喜欢数学是否有关，经统计后得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并根据的独立性检验，推断该校学生的性别是否与喜欢数学有关联； 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）已知该校男生和女生的人数之比为3：2，将样本的频率当作概率，现从全校中随机抽取1名学生，求抽取学生喜欢数学的概率． 参考公式：，其中 【答案】（1） 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 女生 合计 喜欢数学与性别有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）先完成列联表，利用独立性检验判断两个分类变量是否相关； （2）通过全概率公式，借助性别分层计算总体概率． 【小问1详解】 根据等高堆积条形图完成列联表： 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 女生 合计 零假设为：该校的学生性别与是否喜欢数学没有关联， 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即能认为该校学生喜欢数学与性别有关联． 【小问2详解】 设事件A为：“抽取的学生喜欢数学”事件B为“抽取的学生为女生”， 则为“抽取的学生为男生”则，， ，， 由全概率公式：， 故抽取学生喜欢数学的概率为． 16. 已知数列，的各项均为正数，的前n项和，满足，为等比数列，且有，． （1）若，求数列的前n项和； （2）若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据与的关系求出的通项公式，再结合已知条件求出的通项公式，进而得到的通项公式，最后利用错位相减法求出. （2）将不等式进行变形，然后通过构造函数，利用函数的单调性求出实数的取值范围. 【小问1详解】 已知：时，； 时，相减得故． ，得， 是首项为1、公比为2的等比数列，故，． 则：① 两边同乘得：②． ① ②得： 中间等比数列求和得， 代入整理得：． 【小问2详解】 不等式，对恒成立， 代入，得：． 设，作差得： ，2时，； 时，； 时，， 故的最大值为3，因此，即． 17. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分为，两种情况讨论求解即可； （2）令，求导后，根据函数单调性与求解即可. 【小问1详解】 当时，恒成立，故函数在单调递增； 当时，令得． 令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 令，，， ，，． 令，，而在恒成立，即在单调递增， 又因为 故当时，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，，所以，存在，使得时， ，时，， 所以在单调递减，在上单调递增，故由可知，时，与在恒成立矛盾； 综上，实数k的取值范围是． 18. 近年来，羽毛球运动因其特有的运动性价比在全国各地区受到越来越多的人的喜欢，某地区的羽毛球爱好者组织起了A，B两支羽毛球队进行比赛，他们协商规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛A队获胜的概率为，B队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． （1）当时． （i）记比赛开始的前三场中，A队获胜的场数为X，求X的分布列； （ⅱ）求在A队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）根据每场比赛的结果，会赋予球队一些经验值，若比赛结果为或者时，胜方赋经验值3分，负方赋经验值0分，比赛结果为时胜方赋经验值2分，负方赋经验值1分，求A队本次比赛赋经验值的期望，并求的取值范围． 【答案】（1）（i） X 0 1 2 3 P （ⅱ） （2）， 【解析】 【分析】（1）（i）根据服从二项分布可得的分布列；（ii）利用条件概率计算公式求解即可. （2）先求的分布列，表示出，再利用导数分析函数的单调性，求函数的值域. 【小问1详解】 （i）由题意可知，，则X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为 X 0 1 2 3 P （ⅱ）设事件M表示“比赛恰好进行4场”，事件N表示“A队获胜”． A队获胜包含三种情况：比赛3场A队获胜，其概率为， 比赛4场A队获胜，即前3场A队胜2场，第4场A队胜，概率为， 比赛5场A队获胜，即前4场A队胜2场，第5场A队胜，概率为， ∴A队获胜的概率为， A队获胜且比赛恰好进行4场的概率为， ∴在A队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为. 【小问2详解】 A队本次比赛的经验值得分Y的可能取值为3，2，1，0． ； ； ； ． ， 令，则， ，， 再令，， 判别式，的两根为，， 由可得，则在上单调递减，则， 所以时，，，因此函数在上单调递增， 又，当p趋近于1时，，则， 故的取值范围是． 19. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，右焦点到该渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左焦点为F，过F的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点． （i）若，求直线l的方程； （ⅱ）若点，直线与直线相交于Q点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）（i），或者； （ⅱ）根据A，P的坐标，得到直线的方程为： 当时Q的坐标为 , ， 由A，F，B三点共线可知， 即 ， . 【解析】 【分析】（1）由渐近线得，焦点到渐近线距离求，结合得方程; （2）（i）设横截式，利用向量条件得到，结合韦达定理整体求解，简化计算； （ii）先求出点坐标，将斜率差通分整理，利用三点共线化简分子，再代入韦达定理整体代换，消去参数后得定值. 【小问1详解】 渐近线为，得，又因为右焦点到该渐近线的距离为，所以， 双曲线中有，所以代入得， 故双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 （i）易得焦点坐标， 设直线方程为：，，由，得， 联立得到，， 由韦达定理得， 将代入得，，解得 故直线l的方程为：，或者 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若随机变量，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 13 4. 已知随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若等差数列的公差为，前项和为，则“为单调递减数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某班一天上午排4节课，下午排3节课，现要安排7门不同的学科各一节的课程表，要求语文，英语都在上午且不相邻，体育在下午，则不同的排课方法种数有（ ） A. 72 B. 108 C. 216 D. 432 7. 设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 设a，，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，选对但选不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列描述中说法正确的是（ ） A. 已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B. 正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 10. 记公比为的等比数列的前项和为，前项积为，若数列满足，，，则（ ） A. B. 数列没有最大值，有最大值 C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当时， C. 函数的图象是中心对称图形 D. 当且时， 三、填空题：本题共有3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若是二项式的展开式中的一项，则n的值为______． 13. 已知样本数据点集合为，且，利用最小二乘法求得线性回归方程为，后发现样本数据对应的散点远离回归直线，将其剔除后得到新的线性回归方程为，则______． 14. 已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着科技的发展，数学在各个领域的应用越来越深入广泛，某中学为了增强在校学生学习数学的兴趣，提高本校的数学水平，学校准备开设数学兴趣培辅班，开班之前，学校用简单随机抽样的办法抽取了本校男生和女生各人作为样本，调查学生的性别与喜欢数学是否有关，经统计后得到了如图所示的等高堆积条形图． （1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并根据的独立性检验，推断该校学生的性别是否与喜欢数学有关联； 性别 是否喜欢数学 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）已知该校男生和女生的人数之比为3：2，将样本的频率当作概率，现从全校中随机抽取1名学生，求抽取学生喜欢数学的概率． 参考公式：，其中 16. 已知数列，的各项均为正数，的前n项和，满足，为等比数列，且有，． （1）若，求数列的前n项和； （2）若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 17. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 18. 近年来，羽毛球运动因其特有的运动性价比在全国各地区受到越来越多的人的喜欢，某地区的羽毛球爱好者组织起了A，B两支羽毛球队进行比赛，他们协商规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛A队获胜的概率为，B队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． （1）当时． （i）记比赛开始的前三场中，A队获胜的场数为X，求X的分布列； （ⅱ）求在A队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （2）根据每场比赛的结果，会赋予球队一些经验值，若比赛结果为或者时，胜方赋经验值3分，负方赋经验值0分，比赛结果为时胜方赋经验值2分，负方赋经验值1分，求A队本次比赛赋经验值的期望，并求的取值范围． 19. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，右焦点到该渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左焦点为F，过F的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点． （i）若，求直线l的方程； （ⅱ）若点，直线与直线相交于Q点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $