精品解析：浙江省温州市2024-2025学年高一上学期期末数学试题B卷

2024学年第一学期温州市高一期末教学质量统一检测 数学试题（B卷） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名.准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠.不要弄破. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. -2或2 4. 已知，则（ ） A B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足：，，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. ， 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数存在最小值，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 11. 已知整数集，或，若存，使得，，，则称集合具有性质，则（ ） A. 若，则具有性质 B. 若，则具有性质 C. 若，则一定具有性质 D. 若，则一定具有性质 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 计算：__________. 13. 定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是__________. 14. 在中，，则__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求的值； （2）若角满足，且，求的值. 16. 已知函数，（且）. （1）判断函数奇偶性，并说明理由； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）求； （2）把图象上的所有的点向右平移个单位，得到函数的图象，求，的值域. 18. 某市轨道交通线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万．经市场调研测算，线列车载客量与发车间隔（单位：分钟）有关．当时，载客量为（为常数），且发车间隔时的载客量为344人；当时列车为满载状态，载客量为800人． （1）为响应低碳出行，要求载客量达到满载一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？ （2）已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时，线列车在运营期间每分钟的收益最大，并求出最大值． 19. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； （3）是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期温州市高一期末教学质量统一检测 数学试题（B卷） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名.准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠.不要弄破. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算得解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，，，故B正确； 对C，若，则，则，即，故C错误； 对D，当时，，则，故D错误. 故选：B 3. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. -2或2 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数的定义得到，可解得的值，再利用单调性进行检验即可. 【详解】是幂函数， ，， 当时，，此时在上单调递增，舍去； 当时，，此时在上单调递减，满足题意； . 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】因为，解得. 故选：D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象结合各选项具体解析式逐个分析，注意奇偶性和定义域的应用. 【详解】对A，因为，当且仅当时等号成立，与图象不符，故A不可能； 对B，因为，，则，故为奇函数，图象关于原点成中心对称，与所给图象不符，故B不可能； 对C，因，，则，所以函数为偶函数，关于轴对称，由A选项知，所以，故C可能； 对D，因为的定义域为，当时函数无意义，故D不可能. 故选：C 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值判断充分性，根据对数函数的性质及指数函数的性质判断必要性. 【详解】当时，，但无意义，故不满足充分性； 当时，则，所以， 则，即，满足必要性， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 7. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的函数值，求出的表达式即可得解. 【详解】因为， 所以， 解得， 因为，所以的最小值为. 故选：C 8. 已知定义域为的函数满足：，，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法结合题干信息逐项分析求解. 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据所给函数性质，灵活赋值，恰当变形是解决问题的关键. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据诱导公式逐项分析即可得解. 【详解】由诱导公式知，，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 10. 若函数存在最小值，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分类讨论，结合二次函数的性质求出的取值范围即可得解. 【详解】当时，，此时函数无最小值； 当时，， 若时，则，此时函数有最小值； 若时，则的对称轴为， 在上先增后减，没有最小值； 若时，的对称轴为， 当时，要使函数有最小值， 则即可，解得. 当时，要使函数有最小值， 则，无解. 综上，，所以实数的值可以是. 故选：ACD 11. 已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（ ） A. 若，则具有性质 B. 若，则具有性质 C. 若，则一定具有性质 D. 若，则一定具有性质 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可． 【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质 B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G , 当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义， 如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项， 将整数分成这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类， 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义， 如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确． 故选：BCD. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上. 12. 计算：__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则求解. 【详解】, 故答案为： 13. 定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性判断出函数的单调性，再由单调性求解即可. 【详解】因为定义在上的奇函数在上递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 又， 则， 即的取值范围是. 故答案为： 14. 在中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件，利用三角恒等变换化简求出即可得解. 【详解】由， 化弦可得, 又，, 所以，解得， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求的值； （2）若角满足，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，利用三角函数定义求解； （2）由同角三角函数的基本关系及角的变换、两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为在角的终边上， 所以由三角函数定义知， 所以. 【小问2详解】 ，， ， 又， 16. 已知函数，（且）. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用函数奇偶性的定义即可判断； (2)将利用对数运算性质进行化简，再利用对数函数单调性解对数不等式即可. 【小问1详解】 偶函数，理由如下： 根据题意，要使有意义，则有，， 的定义域为，关于原点对称，， 是偶函数； 【小问2详解】 ， 当时，，，； 当时，，； 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知函数. （1）求； （2）把图象上的所有的点向右平移个单位，得到函数的图象，求，的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法1：将拆分化简得到最代入求解；法2：先代入计算，再应用两角和余弦公式计算； （2）通过平移得到新函数的方程，再结合正弦函数的性质得到值域. 【小问1详解】 法1： 法2： 【小问2详解】 ，， ， . 18. 某市轨道交通线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万．经市场调研测算，线列车载客量与发车间隔（单位：分钟）有关．当时，载客量为（为常数），且发车间隔时的载客量为344人；当时列车为满载状态，载客量为800人． （1）为响应低碳出行，要求载客量达到满载的一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？ （2）已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时，线列车在运营期间每分钟的收益最大，并求出最大值． 【答案】（1）列车发车间隔至少为6分钟. （2）元 【解析】 【分析】（1）先求出，再解方程可得列车发车间隔时间的最小值； （2）设线列车在运营期间每分钟的收益为，则，据此可求最大值. 【小问1详解】 由题设有，故， 故， 若载客量为满载量的一半即，则，且， 故，所以列车发车间隔至少为6分钟. 【小问2详解】 设线列车在运营期间每分钟的收益为， 则， 整理得到：， 当时，， 当时，，当时等号成立， 故当发车间隔为分钟时，线列车在运营期间每分钟的收益最大且最大值元. 19. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； （3）是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）单调递增，证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明； （2）由可得，再由基本不等式得证； （3）根据已知结合函数的单调性求解. 【小问1详解】 在单调递增，证明如下： 设，且，则 ， ，，， ，， 在单调递增. 【小问2详解】 得：， 化简得：， 又，， 而，， ， . 【小问3详解】 不妨设存在满足题意的实数，b， ，或 当时，由（1）同理可证：在单调递减， 在上的最小值为， 故，，在上单调递增， ，是在的两根. 由，得 即：，， 又，，， 当时，由（1），当时，，故在单调递减， ，即：，即：， ，，矛盾， 综上所述，存在满足题意的正实数：，. 【点睛】关键点点睛：假设存在满足题意实数a，b，由定义域中无0，分类讨论， 再由定义法判断函数的单调性，利用单调性建立方程求解是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$