精品解析：陕西省西安市第八十五中学2024-2025学年高二上学期1月期末检测数学试题

2024~2025学年度第一学期期末检测 高二数学（人教A版） 注意事项： 1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟； 2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号； 3．第Ⅰ卷选择题必选使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰； 4．考试结束，监考员将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程得到直线的斜率，然后可得答案. 【详解】由可得此直线的斜率为，倾斜角为， 故选：A 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ）． A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】解：因为，，且， 所以，解得. 故选：A 3. 圆心为，半径的圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】根据题意，圆心为，半径 圆的标准方程为； 故选：B． 4. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由依次算出、、即可. 【详解】因为，，所以，， 故选：A 【点睛】本题考查的是根据数列的递推公式计算数列的前几项，较简单. 5. 若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）． A. 有相等的长轴长 B. 有相等的焦距 C. 有相等的短轴长 D. 有相等的离心率 【答案】B 【解析】 【分析】先确定两椭圆的长轴和短轴，计算其，比较即可. 【详解】因为，所以，所以椭圆中，，故A,C错误；椭圆的，椭圆的，故两椭圆相等，所以有相等的焦距，故B正确；离心率，两椭圆不相等，相等，显然离心率不一样，故D错误. 故选：B 6. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由，即可求出答案. 【详解】连接如下图： 由于是的中点， . 根据题意知. . 故选：C. 7. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ）. A. B. C. 或 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线开口向左， 依题意，抛物线上的点与点间的距离为3， 所以，抛物线方程为， 令，得，解得， 故选：C 8. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，， 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线与直线夹角的正弦值. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 记为等差数列的前n项和若，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先利用等差数列通项公式及前n项和公式得，求解首项和公差d，然后分别写出数列的通项公式和前n项和公式． 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，， 即，所以故A正确，B错误． 则数列的通项公式为，故C正确． 前n项和为故D正确． 故选：ACD． 10. 已知曲线，则（ ） A. 若，则C是圆 B. 若，则C是椭圆 C. 若，则C是双曲线 D. 若，，则C是两条直线 【答案】CD 【解析】 【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当或时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 11. 设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则双曲线C的两条渐近线的方程是 B. 若点P的坐标为，则双曲线C的离心率大于3 C. 若，则的面积等于 D. 若双曲线C为等轴双曲线，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A双曲线的两条渐近线的方程是即可判断，对于B将点代入双曲线方程即可得，由即可判断，对于C若，则有，根据双曲线的定义有，最后由面积公式即可判断，对于D若双曲线C为等轴双曲线，则，得，由，得，，代入余弦定理即可判断. 【详解】对于A：当，时，双曲线的两条渐近线的方程是，故A错误； 对于B：若点，则，故B正确； 对于C：若，则有，根据双曲线的定义有， 所以有 ， 所以的面积为，故C正确； 对于D：若双曲线C为等轴双曲线，则，所以，因为，，， 在中，由余弦定理有，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为等比数列，且，，则公比________． 【答案】3 【解析】 【分析】由即可求出. 【详解】设公比为，则有. 故答案为：3. 13. 在平行六面体中，，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先用向量线性表示出，然后求出即可. 【详解】设,，，则， ， 又因为， 所以，则. 故答案为：. 14. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为. 【点睛】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的值． 【答案】（1）；（2）165. 【解析】 【分析】（1）联立题干两条件，可求出，即可求出； （2）令，求出即可 【详解】（1）因为是等差数列，， 所以． 解得 则； （2）∵， ∴. 16. 已知圆过点、，且圆周被直线平分． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可知直线过圆心，AB的垂直平分线也过圆心，求出其方程后与已知直线方程联立，求出圆心坐标及半径，便可写出圆的标准方程. （2）根据垂径定理求出点到直线的距离，斜率存在时设直线方程为，利用点到直线距离公式求得，求出直线方程，斜率不存在. 【小问1详解】 解：由题意得： ∵，，且直线过圆心 ∴AB的中点坐标为 又 ∴AB的垂直平分线方程为，即 联立，解得 ∴圆C的圆心坐标为， 则圆C的标准方程为． 【小问2详解】 当斜率存在时，设直线方程为，即． 圆心，到直线的距离 解得 ∴直线l的方程为 当斜率不存在时，也满足条件 则直线l的方程为或． 17. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：在三棱柱中，有， 因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形得，平面平面，平面平面，得平面，在三棱柱中，有即得证； （2）分别求平面的法向量为，平面的法向量为，则根据夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，，得，∴． 以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 得，，． 设平面的法向量为，平面的法向量为． 则，令，则，， ∴平面的一个法向量为． ，令，则，， ∴平面的一个法向量为． ∴． ∴平面与平面夹角的余弦值为． 18. 如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． （1）求证：为定值； （2）求证：． 【答案】（1） 由题可设直线l的方程为（）， 与抛物线方程联立得 消去y可得， 其中， 由根与系数的关系得，即为定值． （2） 因为，，所以． 又因为，所以． 设，的斜率分别为，， 则，，有，则． 【解析】 【分析】（1）设直线：，代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得为定值. （2）根据（1）的结论，通过求证得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 设数列的前项和为，已知．数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列． （1）求数列和的通项公式； （2）若，数列的前项和为，且恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式可得，再由等差数列的通项公式以及等比的定义，解方程可得公差，进而得到所求通项公式； （2）利用错位相减法求出，易得，进而可得结果. 【详解】（1）∵， 当时，，两式相减化简可得：, 即数列是以3为公比的等比数列， 又∵，∴，解得，即， 设数列的公差为，， ∵成等比数列，∴， 解得或（舍去），即， ∴数列和的通项公式为，. （2）由（1）得， ∴， ， 两式相减得： ∴，即有恒成立， 恒成立，可得， 即的范围是. 【点睛】一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期末检测 高二数学（人教A版） 注意事项： 1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟； 2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号； 3．第Ⅰ卷选择题必选使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰； 4．考试结束，监考员将答题卡收回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ）． A. 4 B. C. 2 D. 3. 圆心为，半径的圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 4. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 5. 若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）． A. 有相等的长轴长 B. 有相等的焦距 C. 有相等的短轴长 D. 有相等的离心率 6. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ）. A. B. C. 或 D. 4或 8. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 记为等差数列的前n项和若，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线，则（ ） A. 若，则C是圆 B. 若，则C是椭圆 C. 若，则C是双曲线 D. 若，，则C是两条直线 11. 设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则双曲线C的两条渐近线的方程是 B. 若点P的坐标为，则双曲线C的离心率大于3 C. 若，则的面积等于 D. 若双曲线C为等轴双曲线，且，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为等比数列，且，，则公比________． 13. 在平行六面体中，，，，则___________. 14. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的值． 16. 已知圆过点、，且圆周被直线平分． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 17. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，O为坐标原点，过点且斜率为k的直线l与抛物线分别交于，两点． （1）求证：为定值； （2）求证：． 19. 设数列的前项和为，已知．数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列． （1）求数列和的通项公式； （2）若，数列的前项和为，且恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $