专题06导数比大小与构造函数型（12题型+提分快招）2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题06导数比大小与构造函数型 目录 题型01 比大小：超复杂构造函数 1 题型02 比大小：函数与方程零点型 2 题型03比大小：三角函数与幂指对型 3 题型04比大小：幂指对中间值型 3 题型05 比大小：泰勒与麦克劳林展开 4 题型06 构造函数：幂函数构造 5 题型07 构造函数：指数函数构造 6 题型08构造函数：三角函数型 7 题型09 构造函数：复合型构造 8 题型10 构造求参：同构型 9 题型11 构造求参：二次构造型 10 题型12构造求参：数列型构造 11 题型01 比大小：超复杂构造函数 【解题规律·提分快招】 利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题 构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下： ①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字， ②将看成变量，构造函数， ③分析包含的某个区域的函数单调性， ④根据函数单调性比较大小. 【典例1-1】 （23-24天津经济技术开发区第一中学）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （天津市实验中学2024届高三下学期考前）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 2024·天津河西·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （22-23高三上·河南·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2022·四川广安·二模）设，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 比大小：函数与方程零点型 【典例1-1】 （22-23高一上·北京·期末）已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 2023·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2024·四川遂宁·二模）已知a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高一上·江苏泰州·期中）已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2024·四川广安·二模）已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型03比大小：三角函数与幂指对型 【解题规律·提分快招】 三角函数与三角函数值比较大小： 1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小 2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当(0，)时， 3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小。 【典例1-1】 （2019·天津北辰·一模）已知，令，那么之间的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2023·山东·模拟预测）已知，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （24-25高三上·安徽·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2024·浙江绍兴·模拟预测）现有，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型04比大小：幂指对中间值型 【解题规律·提分快招】 求解幂指对比大小这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手： ①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”； ②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到对应的函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论. 【典例1-1】 （24-25高三上·天津河西·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （24-25高三上·天津·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2023·天津南开·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （22-23高三上·天津河东·期中）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （21-22高三上·江苏泰州·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型05 比大小：泰勒与麦克劳林展开 【解题规律·提分快招】 麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下： ， ， ， ， ， . 【典例1-1】 （22-23高三上·江苏无锡·期末）设，，，这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 ，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2022年新Ⅰ卷高考真题第7题） 设，，则（       ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2021·全国·统考高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 题型06 构造函数：幂函数构造 【解题规律·提分快招】 幂函数积形式构造： 1.， 2. 幂函数商形式构造： 1.， 2. 【典例1-1】 （23-24高二下·天津·期中）已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （23-24高二下·天津·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （19-20高三上·天津·期中）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （19-20高二下·安徽黄山·期中）已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型07 构造函数：指数函数构造 【解题规律·提分快招】 指数型构造，主要以e的指数型为核心 ex函数积形式构造： 1.， 2. 【典例1-1】 （22-23高二下·天津西青·期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （23-24高二下·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （23-24高二下·天津·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （19-20高三上·天津·开学考试）定义在上的函数满足：，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【变式1-3】 （17-18高三下·天津·阶段练习）设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 题型08构造函数：三角函数型 【解题规律·提分快招】 三角函数形式构造： 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 三角函数形式构造： 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 【典例1-1】 （24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （20-21高三上·重庆·阶段练习）已知是定义域为R的奇函数，是的导函数，，当时，，则关于x的不等式解集为 . 【变式1-3】 （19-20高三·天津·周测）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型09 构造函：复合型构造 【解题规律·提分快招】 混合型构造，属于构造函数求导解不等式的超难题型。为了寻找原函数的构造配凑方向，可以从以下几方面入手： 1. 常见函数与f（x）的和差积商型，如幂指对以及对勾等等 2. 复合型甚至多重复合型函数与f（x）的和差积商型 求导结果的逆向思考，如见到常数b，则有可能是bx形式。 【典例1-1】 （24-25高三上·湖南·阶段练习）已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2018·辽宁朝阳·三模）设函数f（x）是定义在区间上的函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且，则不等式 的解集是 A． B．（1，＋∞） C．（－∞，1） D．（0，1） 【变式1-1】 （2013·辽宁·高考真题）设函数满足则时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【变式1-2】 （16-17高三上·山西朔州·期中）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1-3】 （20-21高二下·天津武清·期末）若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围 ． 题型10 构造求参：同构型 【解题规律·提分快招】 同构法： 对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解. 【典例1-1】 （23-24高二下·天津·期中）对，当时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （23-24高二下·天津·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2022高二下·河南南阳·专题练习）已知，若对任意两个不等的正实数、都有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2018·吉林·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2022·福建南平·三模）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型11 构造求参：二次构造型 【解题规律·提分快招】 多参型： 1.两个（较多）或者两个以上（较少）参数； 2.参数看作常数，求最值---恒成立； 3.求完最值，转化为构造所求的参数式子，转化为“存在”型 简单理解：2与3的最值是相反的 【典例1-1】 （24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数没有极值点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．e 【典例1-2】 （2024·四川成都·模拟预测）已知函数没有极值点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （22-23高三上·陕西西安·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-2】 （21-22高二上·江苏盐城·期末），不等式恒成立，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】 （2021·四川成都·模拟预测）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型12构造求参：数列型构造 【解题规律·提分快招】 数列型构造，需要借助数列的性质，寻找有关数列的不等关系，一是用数学归纳法进行证明，二是需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系，考查了学生的逻辑能力，运算求解能力， 【典例1-1】 （2022·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足，记表示数列的前n项乘积.则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2022·浙江绍兴·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，，则数列（    ） A．无最小项，无最大项 B．无最小项，有最大项 C．有最小项，无最大项 D．有最小项，有最大项 【变式1-1】 （2022·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足：，且，则下列关于数列的叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足递推关系，且，若存在等比数列满足，则公比为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2022·浙江·模拟预测）已知数列满足．若有无穷多个项，则（    ） A． B． C． D． 冲高考 1．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）若对恒成立，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高三上·辽宁·期中）已知a，b为实数，，若恒成立，则的最小值为 ． 3．（24-25高三上·上海·期中）若存在实数，，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 4．（2024·浙江·二模）当，为锐角时，恒有，则的取值范围是 ． 5．（23-24高二下·天津·期中）已知函数的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若当且时，不等式恒成立，则实数k的取值范围 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06导数比大小与构造函数型 目录 题型01 比大小：超复杂构造函数 1 题型02 比大小：函数与方程零点型 4 题型03比大小：三角函数与幂指对型 6 题型04比大小：幂指对中间值型 10 题型05 比大小：泰勒与麦克劳林展开 11 题型06 构造函数：幂函数构造 14 题型07 构造函数：指数函数构造 16 题型08构造函数：三角函数型 18 题型09 构造函数：复合型构造 21 题型10 构造求参：同构型 23 题型11 构造求参：二次构造型 25 题型12构造求参：数列型构造 29 题型01 比大小：超复杂构造函数 【解题规律·提分快招】 利用导数比较大小，解题的关键是对已知的数变形，然后合理构造函数，通过导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，考查数转化思想和计算能力，属于难题 构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下： ①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字， ②将看成变量，构造函数， ③分析包含的某个区域的函数单调性， ④根据函数单调性比较大小. 【典例1-1】 （23-24天津经济技术开发区第一中学）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，，求导得到其单调性，结合，得到；构造，，求导得到其单调性，结合得到，即，从而得到答案. 【详解】构造，，则在上恒成立， 故在上单调递减，又， 故，故， 构造，， 则在上恒成立，故在单调递减， 又，，故，即， 故， 综上： 故选： D 【点睛】构造函数比较大小是常考内容，以下时常用的不等式放缩，，，，，等，观察要比较的式子结构，选择合适的不等式. 【典例1-2】 （天津市实验中学2024届高三下学期考前）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小. 【详解】，，，令，， 则，因为，所以， 令，，在上恒成立，故， 所以在上恒成立，故在上单调递减， 所以，即故选：D 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到，，，所以构造，，达到比较大小的目的. 【变式1-1】 2024·天津河西·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出需要比较大小的数，找中间变量结合指数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为所以 由得，故， 构造，又，故单调递增， 则有，显然，所以故选：A. 【变式1-2】 （22-23高三上·河南·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】与可看作与，从而可构造函数比大小， 与可看作与，从而可构造函数比大小. 【详解】构造函数，则，令，则．令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，故，因此在上单调递增，所以．令x＝0.4，则，所以，即a＜b． 构造函数，则，因此在上单调递减，所以，令x＝0.4，则，所以，所以c＜a．故b＞a＞c．故选：C． 【变式1-3】 （2022·四川广安·二模）设，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于，，，所以只要比较的大小即可，然后分别构造函数，，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可 【详解】因为，，， 所以只要比较的大小即可， 令，则，所以在 上递增， 所以，所以，所以，即， 令，则， 因为在上为减函数，且， 所以当时，，所以在上为减函数， 因为，， 要比较与的大小，只要比较与的大小， 令，则， 所以在上递增，所以， 所以当时，，所以， 所以，所以， 所以当时，，所以在上递增，所以，所以， 所以，所以，所以，所以，故选：D 题型02 比大小：函数与方程零点型 【典例1-1】 （22-23高一上·北京·期末）已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到，，的大小关系. 【详解】在同一平面直角坐标系内作出 的图像 过点；过点；过点；过点， 则与图像交点横坐标依次增大， 又与图像交点横坐标分别为，则. 故选：C 【典例1-2】 2023·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解. 【详解】，，即，， 下面比较与的大小，构造函数与，由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，    当时，；当时， 由，故，故，即，所以，故选：A 【变式1-1】 （2024·四川遂宁·二模）已知a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可将所给式子变形成、、，则可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得. 【详解】由，可得，由，可得， 由可得，令，，故在上单调递增，令，，故在上单调递增， 令，，故在上单调递减，令，则，则时，，，， 故在上单调递增，在上单调递减， ，，，， ，，，， 为函数与函数的交点横坐标， 为函数与函数的交点横坐标， 为函数与函数的交点横坐标，结合函数图象可得.故选：A. 【变式1-2】 （23-24高一上·江苏泰州·期中）已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以 所以根据幂函数的性质可得， 因为都是正数， ，， 因为是递增函数，又因为，作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以   故，故选：B 【变式1-3】 （2024·四川广安·二模）已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求拆分成，，，令，，，，且，可看作函数与，，的交点，通过函数单调性以及函数的增长速度结合零点存在性定理可比较出的大小. 【详解】解：可变形为：，可变形为：，可变形为：， 令，，，，且， 可知分别为函数与，，的交点横坐标， 当时，单调递增且，， ，，这三个函数全部单调递减，且，，，， 由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大， 由图象可知，下降速度最慢，所以最大， ，，时，，所以交点，故选：B    题型03比大小：三角函数与幂指对型 【解题规律·提分快招】 三角函数与三角函数值比较大小： 1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小 2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当(0，)时， 3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小。 【典例1-1】 ．（2019·天津北辰·一模）已知，令，那么之间的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合函数，，的单调性，可判断出，，，进而可以得结果. 【详解】∵，∵在上单调递增，∴，即， 又在上单调递增，∴，即， 又∵在单调递增，，即，∴，故选D． 【典例1-2】 （2023·山东·模拟预测）已知，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造的结构特征，构造，，求导后得到其单调性，得到，再构造，和，，求导得到其单调性，得到，即，从而得到. 【详解】， 令，， 令，则， 当时，，所以在上单调递增，又，所以，又，所以在上恒成立，所以，即，即，令，，所以， 因为，所以，所以在上单调递减，所以，即在恒成立，所以，令，， 所以，因为，所以， 故在上单调递减，所以，即在恒成立， 当时，，故，即，综上， 故选：B 【变式1-1】 （24-25高三上·安徽·阶段练习）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个数进行恒等变形，使三个数中都出现，结合三个数据的形式构造定义域在上的函数，通过求导分析函数单调性，确定时的函数值与的大小关系，即可比较三个数的大小. 【详解】由题意得，.令，则，令，则， 令，则，当时，， ∴在上是减函数，且，， ∴，使得，∴当时，，当时，， ∴在上为增函数，在为减函数.∵，， ∴当时，，∴在上为增函数.∵， ∴，∴. ②令，则， ∴在上为增函数.∵,∴，∴.故选：B. 【变式1-2】 （2024·浙江绍兴·模拟预测）现有，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，，则，，，然后求解和的单调性即可判断出的大小关系. 【详解】设，. 由于，故，，.记，. 由于，故，从而对有，故在上单调递增，所以，即；我们知道，对函数，表示的导数，在下面的解答中，我们进一步使用记号表示的导数，使用记号表示的导数. 由于，故，从而进一步求导有，. 此时，对，有，所以在上单调递减. 从而对，有，结合，就有.而，. 故对，有. 所以在上单调递增，从而对，有，这表明在上单调递增. 所以， 即对有，故在上单调递增，所以，即. 综上，有，C正确. 故选：C. 题型04比大小：幂指对中间值型 【解题规律·提分快招】 求解幂指对比大小这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手： ①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”； ②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到对应的函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论. 【典例1-1】 （24-25高三上·天津河西·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合中间值0和1比较大小即可 【详解】由于，， 所以. 故选：B 【典例1-2】 （24-25高三上·天津·阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得． 【详解】，，， 又， 因为函数，在上单调递减，且， 又因为，所以，所以，即，所以， ，即．故选：C 【变式1-1】 （2023·天津南开·一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再根据对数函数的单调性结合中间量分别比较和的大小即可. 【详解】由，得，因为，所以，即， 因为，所以，则， 所以，即，所以.故选：C. 【变式1-2】 （22-23高三上·天津河东·期中）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，因此要比较，的大小，作差，通分，利用对数的运算性质，即可求得，的大小；利用对数函数的单调性，可知，然后利用不等式的可乘性，即可得出，的大小. 【详解】解：，∴， 而，∴，即，因此.故选：C. 【变式1-3】 （21-22高三上·江苏泰州·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，，再利用，即得. 【详解】∵， ∴， ∴ ，又， ∴，,所以.故选：C. 题型05 比大小：泰勒与麦克劳林展开 【解题规律·提分快招】 麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下： ， ， ， ， ， . 【典例1-1】 （22-23高三上·江苏无锡·期末）设，，，这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式得到，结合的单调性，比较出，先利用多次求导，得到，，从而得到，比较出. 【详解】，∵，而在上单调递增， ∴且时，，以下是证明过程： 令，， ，令， 故，令， 故，令， 则，令， 故，令，故在上恒成立， 故在上单调递增，所以，故在上单调递增，所以，故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以，故在上单调递增， ∴，∴，∴.故选：C． 【典例1-2】 ，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间值进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 由泰勒展开得，， 所以， 故，综上所述a，b，c的大小关系是.故选：C 【变式1-1】 （2022年新Ⅰ卷高考真题第7题） 设，，则（       ） A． B． C． D． 泰勒公式法： 因为，所以，所以 因为 所以 综上所述：.故选：C 【变式1-2】 （2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】 泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. 【变式1-3】 （2021·全国·统考高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】 由泰勒公式, 可知 将 , 分别相应代入估 算, 得 . 由此可知 . 题型06 构造函数：幂函数构造 【解题规律·提分快招】 幂函数积形式构造： 1.， 2. 幂函数商形式构造： 1.， 2. 【典例1-1】 （23-24高二下·天津·期中）已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据已知条件判断的单调性，奇偶性，结合的模拟草图，数形结合即可求得结果. 【详解】令，则，由题可知，当时，，故在单调递减；又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增； 又，则，画出的模拟草图如下所示：   当时，，则，数形结合可知，此时； 当，因为为上的奇函数，故，不满足题意； 当，，则，数形结合可知，此时； 综上所述：的解集为.故选：A. 【典例1-2】 （23-24高二下·天津·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，构造函数，判断其单调性，将化为，根据函数单调性即可求得答案. 【详解】令，，则， 故在上单调递减，结合，得， 由，得，即，则， 即的解集是，故选：A 【变式1-1】 （19-20高三上·天津·期中）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据条件判断的奇偶性与单调性，进而比较的大小关系. 【详解】根据题意，设， 因为为奇函数，则，即函数为偶函数. 当时，，则函数在上为减函数. ，，， 且，则有.故选：B． 【变式1-2】 （19-20高二下·安徽黄山·期中）已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用奇函数的定义得函数是偶函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论. 【详解】解：因为函数满足，即，且在上是连续函数，所以函数是奇函数， 不妨令，则，所以是偶函数， 则，因为当时，成立， 所以在上单调递减， 又因为在上是连续函数，且是偶函数，所以在上单调递增， 则，，， 因为，，，所以，所以，故选：D. 【变式1-3】 （23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式. 【详解】构建，则， 因为，则，即， 可知在上单调递减，且，由可得，即，解得， 所以不等式的解集是.故选：A． 题型07 构造函数：指数函数构造 【解题规律·提分快招】 指数型构造，主要以e的指数型为核心 ex函数积形式构造： 1.， 2. 【典例1-1】 （22-23高二下·天津西青·期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，由此构造函数，判断其单调性，将化为，即，即可求得答案. 【详解】由题意对任意的，都有，即， 令，则，即为R上的增函数， 而，故，又即，即， 所以，即不等式的解集为，故选：D 【典例1-2】 （23-24高二下·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，根据导数研究单调性，结合已知将问题化为，再根据的单调性即可求出结果. 【详解】设，则，对任意实数x，有， 所以，则在上单调递减. 因为为奇函数，且的定义域为R， 所以，所以，所以. 因为，所以求不等式的解集， 即求的解集，即求的解集， 因为在上单调递减，所以的解集为， 所以不等式的解集为.故选：B 【变式1-1】 （23-24高二下·天津·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据已知讨论导数符号可得单调性，由可得，将不等式转化为，然后利用单调性可解. 【详解】记，则，因为， 所以当时，，则，在上单调递增； 当时，，则，在上单调递减. 又，即，所以， 因为， 所以，解得.故选：B 【变式1-2】 （19-20高三上·天津·开学考试）定义在上的函数满足：，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，构造函数，求出函数的单调性得解. 【详解】由题得构造函数，所以 所以函数在R上单调递减., 由函数的单调性得，当时，，即当时，恒有， 即.所以不等式的解集为.故选A 【变式1-3】 （17-18高三下·天津·阶段练习）设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：构造函数g（x）=exf（x）+ex，（x∈R），求函数的导数，研究g（x）的单调性，将不等式进行转化求解即可． 详解：设g（x）=exf（x）-ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）+1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，不等式ln（f（x）-1）＞ln2-x等价为不等式ln[f（x）-1]+x＞ln2， 即为ln[f（x）-1]+lnex＞ln2，即ex（f（x）-1）＞2，则exf（x）-ex＞2，∵y=f（x）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f（0）-3=0，得f（0）=3，又∵g（0）=e0f（0）-e0=3-1=2，∴exf（x）-ex＞2等价为g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）， 故选D． 点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度． 题型08构造函数：三角函数型 【解题规律·提分快招】 三角函数形式构造： 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 三角函数形式构造： 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 【典例1-1】 （24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，，则， 在上单调递增，对于A，，化简得，A正确； 对于B，，化简得，B错误； 对于C，，化简得，C错误； 对于D，，化简得，D错误.故选：A 【典例1-2】 （24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性，比较函数值的大小即可. 【详解】因为时，，所以可化为， 设，，则， 所以函数在上的单调递减，因为，所以， 所以，即，所以.故选：B. 【变式1-1】 （2024高三·全国·专题练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，则，则在上单调递增， 对于A，，化简得，错； 对于B，，化简得，错； 对于C，，化简得，对； 对于D，，化简得，错.故选：C 【变式1-2】 （20-21高三上·重庆·阶段练习）已知是定义域为R的奇函数，是的导函数，，当时，，则关于x的不等式解集为 . 【答案】 【解析】构造函数，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质即可求解． 【详解】令，求导 时，，则当时，，即在上单调递减， 又为奇函数，即，则，故为偶函数且在上单调递增， 因为，故，作出的图像性质类似下图所示， 由，由图可知，或. 故答案为：. 【变式1-3】 （19-20高三·天津·周测）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集. 【详解】当时，，则 则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数 则是上的偶函数，且在单调递减， 由，可得，则， 则时，不等式 可化为 又由函数在上单调递增，且，， 则有，解之得故选：D 题型09 构造函数：复合型构造 【解题规律·提分快招】 混合型构造，属于构造函数求导解不等式的超难题型。为了寻找原函数的构造配凑方向，可以从以下几方面入手： 1. 常见函数与f（x）的和差积商型，如幂指对以及对勾等等 2. 复合型甚至多重复合型函数与f（x）的和差积商型 求导结果的逆向思考，如见到常数b，则有可能是bx形式。 【典例1-1】 （24-25高三上·湖南·阶段练习）已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，令，可得在上单调递增，进而可得，，可得结论. 【详解】由题意可得，即， 令，则， 所以在上单调递增，因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 又，故与2的大小关系不确定.故选：D. 【典例1-2】 （2018·辽宁朝阳·三模）设函数f（x）是定义在区间上的函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且，则不等式 的解集是 A． B．（1，＋∞） C．（－∞，1） D．（0，1） 【答案】D 【分析】构造函数，求导，结合，可得在上单调递增，则不等式，可变为，则，结合单调性即可求解． 【详解】构造函数，则，由，所以，即在上单调递增．因为，则不等式，可变为，则，所以，所以，故选D 【变式1-1】 （2013·辽宁·高考真题）设函数满足则时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【答案】D 【详解】函数满足，，令， 则，由，得，令， 则在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D. 【变式1-2】 （16-17高三上·山西朔州·期中）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数,再将存在性问题转化为对应函数最值问题，通过求最值得实数的取值范围. 【详解】令，则存在，使得,即的最大值，因为在上单调递减，在上单调递增，所以最大值为,因此，选C. 【点睛】利用导数解决数学问题，往往需要需要构造辅助函数.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 【变式1-3】 （20-21高二下·天津武清·期末）若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】由已知当时，，可构造函数，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解． 【详解】，， 设，则，则，为奇函数， 又当时，，在上是减函数，从而在上是减函数， 又,等价于， 即，，解得,故的取值范围为， 故答案为： 题型10 构造求参：同构型 【解题规律·提分快招】 同构法： 对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解. 【典例1-1】 （23-24高二下·天津·期中）对，当时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先不等式转化为，，再构造函数，由函数的单调性，转化为不等式，参变分离后，转化为最值问题，即可求解. 【详解】由题意可知，不等式等价于， 两边取对数得，即， 则，，， 设，由题意可知，函数在区间上单调递增， ，在区间上恒成立，即恒成立，，所以.故选：A 【典例1-2】 （23-24高二下·天津·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先不等式通过变形，再构造函数，转化为利用导数判断函数的单调区间，即可求参数的取值范围. 【详解】设，不等式，变形为， 设函数，则函数在区间单调递减，由，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以.故选：D 【变式1-1】 （2022高二下·河南南阳·专题练习）已知，若对任意两个不等的正实数、都有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得出，令，可知函数在单调递增或为常函数，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】若对任意两个不相等的正实数、都有恒成立, 不妨设，所以，即， 令，则，所以函数在上单调递增或为常函数， 则对任意的恒成立，则， 又函数，当时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围是． 故选：B. 【变式1-2】 （2018·吉林·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求其最值，可得答案. 【详解】当时，不等式恒成立，则， 即函数在上单调递增，则， 整理可得，令，则. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ，.故选：D. 【变式1-3】 （2022·福建南平·三模）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答. 【详解】依题意，，令，， 则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减， 因此，，，而，则， 所以实数的取值范围是.故选：C 题型11 构造求参：二次构造型 【解题规律·提分快招】 多参型： 1.两个（较多）或者两个以上（较少）参数； 2.参数看作常数，求最值---恒成立； 3.求完最值，转化为构造所求的参数式子，转化为“存在”型 简单理解：2与3的最值是相反的 【典例1-1】 （24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数没有极值点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．e 【答案】A 【分析】分析可知，，可知在上恒成立，故需要有在上恒成立（等号不恒成立），，求出函数的斜率为的切线方程，可得出，令，则，利用导数求出的最大值，即为所求. 【详解】因为，依题意在上没有变号零点，令，其中，若，则，则函数在上为减函数，当时，；当时，，所以，存在，使得， 且当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，不合乎题意，所以，，从而， 因为当时，，所以需满足在上恒成立， 故需要有在上恒成立（等号不恒成立）， 设，令，得， 所以函数的斜率为的切线方程为， 即，所以只需要， 所以只需要即可，令，则， 故，当时，，当时，， 所以，函数的单调递增区间为，递减区间为， 所以当时取得唯一的极大值，即最大值，所以，所以． 所以，的最小值为.故选：A. 【典例1-2】 （2024·四川成都·模拟预测）已知函数没有极值点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到，故，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案. 【详解】函数没有极值点，，或恒成立， 由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0， 恒成立． 令，则， 当时，恒成立，为上的增函数， 因为是增函数，也是增函数， 所以，此时，不合题意； ②当时，为增函数，由得， 令 在上单调递减，在上单调递增， 当时，依题意有，即， ，，令，， 则，令，令，解得， 所以当时，取最大值故当，，即，时，取得最大值综上，若函数没有极值点，则的最大值为故选：B. 【变式1-1】 （22-23高三上·陕西西安·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】 讨论的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解. 【详解】 设，， 若，对任意恒成立，则，对任意恒成立， 当时，在同一坐标系中作出函数的图象， 显然，由图可知，对任意不恒成立； 当时，在同一坐标系中作出函数的图象， 由图可知，临界条件是直线与曲线的图象相切时， 由，求导，设，解得，且， ∴当的切线斜率为1时，切点坐标为，故，所以 即两边同除以，，令 求导令，得，即 当，，函数单调递增，当，，函数单调递减， 所以当，函数取到最大值，且 故的最大值为故选：C. 【变式1-2】 （21-22高二上·江苏盐城·期末），不等式恒成立，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导函数研究其单调性，得到，进而得到恒成立，求出函数，的最值，得到答案. 【详解】令，，，显然， 当时，恒成立，即在上单调递增，无最小值，舍去； 当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，因为，不等式恒成立，所以，所以， 恒成立，令，，，当时，，当时，，所以，所以，则的最大值为.故选：D 【变式1-3】 （2021·四川成都·模拟预测）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可. 【详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立，令，则 在上恒成立，令， 所以，若，则 ， 在递增，当时， ，不等式不成立，故，当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 所以，所以，所以， 令，则，所以， 当时，当时，，所以当时，取得最小值， 所以的最小值是故选：D 题型12构造求参：数列型构造 【解题规律·提分快招】 数列型构造，需要借助数列的性质，寻找有关数列的不等关系，一是用数学归纳法进行证明，二是需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系，考查了学生的逻辑能力，运算求解能力， 【典例1-1】 （2022·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足，记表示数列的前n项乘积.则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用数学归纳法证明.构造函数，利用导数证明出.记，证明出得到，即，用累加法得：，即可求出.记，证明出.得到，求出，即可得到. 【详解】因为，所以.下面用数学归纳法证明. 当n=1时，符合.假设时，结论成立，即. 当时，，所以显然成立； 因为，所以，所以，即， 所以结论成立. 综上所述：对任意的均成立. 记函数.. 因为，所以（x=1取等号），所以在单调递增， 所以，即，所以，即， 所以数列为单调递增函数，所以. 记，则（x=1取等号），所以在上单调递增，所以，即. 所以，所以， 所以，累加得：. 因为，所以，即，所以， 所以，即. 记，则，所以在上单调递减，所以，即. 所以，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以 即.综上所述：.故选：C 【典例1-2】 （2022·浙江绍兴·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，，则数列（    ） A．无最小项，无最大项 B．无最小项，有最大项 C．有最小项，无最大项 D．有最小项，有最大项 【答案】D 【分析】由数学归纳法得数列从第2项开始都大于1，这样是最小项，利用不等式放缩得出，引入函数利用导数证明其在时是减函数，得数列有上界，时，，再引入函数，由零点存在定理说明，从而确定这6项中的最大值是数列的最大项． 【详解】数列各项均为正， ，由得，一般地由数学归纳法知当时，由得（否则若，则，，，矛盾）， 所以数列中，时，，是最小项． 又，，所以，， 记，则，两边求导得，即， 时，，是减函数， 所以时，是递减数列，因此有上界，时，， 即， 设，，时，，是增函数， 经过计算，得，而，所以时满足的满足，即， 从而，而这6个数中一定有最大值，此最大值也是数列的最大项． 故选：D． 【点睛】本题考查由数列的递推关系确定最大项和最小项，解题关键一是由数学归纳法证明数列有下界，再利用不等式的性质确定数列每一项满足，难点在于引入函数，利用导数证明在时是单调递减数列，再引入函数利用零点存在定理证明，从而说明有上界并在最大项．对学生的逻辑思维能力，创新意识要求较高，属于困难题． 【变式1-1】 （2022·浙江宁波·模拟预测）已知数列满足：，且，则下列关于数列的叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数（），由导数确定其单调性，从而利用数学归纳法证明，然后构造函数（），利用导数证明，得，利用此不等式可直接判断A，对选项B，由数列的单调性与有界性知其极限存在，设，对数列的递推关系求极值可得，从而判断B，对选项C，引入函数设，由导数证明，得，从而利用不等式性质得出数列的不等关系，判断C，利用判断选项C所得正确不等式变形，并换元引入新数列，得前后项关系（求对数再变化），类比等比数列的通项公式的方法得出结论后判断D． 【详解】首先我们证明：，利用数学归纳法．事实上，当时，； 假设当时，，则当时，． 设函数（），则，则在上单调递增， 从而． 当时，设（）， 则，设， ，则在上单调递减，又， 所以存在，使得，时，，时，， 故在上先增后减，从而，从而． 对于A选项：由于，，故数列单调递增，选项A错误． 对于B选项，由于单调递增且，从而存在，由可得，故，从而．故选项B错误． 对于C选项，由于时， 设，， 所以是增函数，，所以（）， 时，，因此有（）， 从而，故，故选项C错误． 对于D选项，由于，即，令，则，即，其中，故，从而，即，，即，故．从而选项D正确．故选：D． 【变式1-2】 （2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足递推关系，且，若存在等比数列满足，则公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设，，，，分析得，，所以，又分析得，再用数学归纳法证明得，，再设函数，分析得函数在单调递增，所以，得到，即，再利用条件得，分析得，再设函数，，分析得在单调递减，所以，得到，即，即，再结合条件得到，分析得，即可求解. 【详解】设，，， 因为，所以，所以， 所以，所以．因为，所以． 下面用归纳法证明．当时，， 假设当时，，那么对，，所以， 因为，所以，所以．因此，. ，所以，， 综上，． 再设，所以， 所以函数在单调递增， 所以，所以，所以，所以， 所以，所以，而， 所以取足够大，易知，即．设，， ，所以在单调递减， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以，即， 而，所以，所以， 所以，当足够大时，易知须满足，即．综上，． 故选：A. 【变式1-3】 （2022·浙江·模拟预测）已知数列满足．若有无穷多个项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先考虑时，显然成立，当时，利用放缩变形，得到，累加可知定会存在某项． 【详解】∵，即； 令，则，易证：当时，，所以当时，，所以， 当时，，易得， 即，此时有无穷多个项，故合题； 当时，则， 设，则， 则， 所以为单调递减数列，故， 即， 令，，当时，， 即在上单调递增，因为， 所以， 不妨令，显然，即， 即，累加可得，即， 故当时，，此时不存在，不是无穷多个项，故不合题； 综上：．故选：B． 冲高考 1．（24-25高三下·吉林长春·开学考试）若对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题可通过对的正负性进行分类讨论，结合构造函数法，利用导数研究函数的单调性、最值等知识来求解实数的取值范围. 【详解】令，，， 要使对恒成立，则与需异号. 当时： 对于，因为，，所以恒成立. 对于，其导数，因为，， 所以，在上单调递增.则，此时与同号， 不满足恒成立，所以舍去，当时：令，解得. 对求导得.令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值. 因为对恒成立，分以下两种情况讨论： 情况一：当时（的零点在的左侧或与重合）， 则需且，由，可得.由，可得.综合可得. 情况二：当时（的零点在的右侧）， 由，可得， 当时，；当时，；当时，. 在单调递增，在单调递减，，①当，即时， 则，即，，则，解得， 此时，，则；，则； ，则，均使得在上成立. ②当，即时， ，所以， 而时，，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 2．（24-25高三上·辽宁·期中）已知a，b为实数，，若恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将问题转化为“函数与有相同的零点”，利用零点列方程后，构造函数，结合导数来求得的最小值. 【详解】依题意，函数与在上都单调递增， 且函数的值域是，，不等式恒成立， 当且仅当函数与有相同的零点，因此， 由得，由得，于是得， 则，令，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上递减，在上递增， 当时，， 从而得， 所以ab的最小值为. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）若存在实数，，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】不等式等价于， 原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立， 等价于存在实数，，不等式成立， 分别讨论，，，的情况，先求出， 再求出即可解决问题. 【详解】不等式等价于即， 原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立， 等价于存在实数，，不等式成立， 记，则， （1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减 ①当，即时，， ②当，即时，， 从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以； （2）当时，令，解得， 在区间上单调递增，在上单调递减， ，，， ①当时，此时，     当即时，， 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增, 所以； 令，则，，记， 则， 当时，恒成立， 即在区间上单调递减，即， 即； ②当时，此时， 当即时，， 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； （3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增， ①当，即时，， ②当，即时，，从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，所以； 综上所述，，所以.故答案为： 4．（2024·浙江·二模）当，为锐角时，恒有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，求出的最大值是；再设，时；代回可得，即可求出的取值范围. 【详解】令，， ，令，， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，有最大值，即 ， 设，， ， 而，，，， 在上单调递增，所以， 即，，， 因此，即，. 故答案为：. 5．（23-24高二下·天津·期中）已知函数的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数，结合和，可求得，利用导数求出的单调区间和极值，画出的图象，结合图象可求得结果. 【详解】由，得， 令，则，所以，因为，所以， 所以，所以，故， 令，则或，当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以的极大值为，极小值为， 因为，，， 当时，，所以的图象如图所示，   因为不等式的解集中恰有3个整数， 所以时，不等式的解集中恰有3个整数， 即实数的取值范围为.故答案为：. 6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若当且时，不等式恒成立，则实数k的取值范围 ． 【答案】 【分析】将不等式转化为等价于式（1），根据不等式的性质即可判断需满足，即可求导，根据二次函数的性质，对判别式讨论，即可求解. 【详解】当且时，，等价于（1）， 令（且），若时，当时，， 由于，所以，这与（1）矛盾，故， 接下来只需要考虑的情况；， 令，则开口向下，， 若，则或（舍去），此时，进而， 故在单调递减，当时，，满足要求， 当时，，满足要求， 故符合题意，当时，此时，故方程有两个不相等的实数根，不妨设由于， 故，因此当时，，故进而， 故在单调递增，故， 这与（1）矛盾，故不符合题意，综上可得.故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$