微专题十三 勾股定理中蕴含的几何模型（讲练）（思维导图+6种题型（含3种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第四章 三角形 微专题十三 勾股定理中蕴含的几何模型 （思维导图+6种题型（含3种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 风吹树折模型 ►题型02 出水芙蓉 ►题型03 蚂蚁爬行（最短路径问题） ►题型04 垂美四边形 ►题型05 勾股树问题 ►题型06 赵爽弦图问题 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 风吹树折模型 例题1．如图， 在中， ， ， 平分交 于点，点E为上一动点，点是上一动点，连接 ，以 为斜边向上构造等腰 ，延长交于， 连接， 则 【答案】 【分析】过点F作，，垂足分别为M、N，根据角平分线性质可以证明，，从而可得，，进而可得，在中，在边上取一点K，使，设，用表示，，，由此即可计算出比值． 【详解】解：过点F作，，垂足分别为M、N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵在中， ， ， ∴， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 在上取一点K，使，设， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ 故答案为． 1．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即可． 【详解】解：如图所示：根据题意可知米，米， 根据勾股定理得． 所以树折断前有（米）． 故答案为：． 2．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深． 【详解】依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， ∵尺，芦苇生长在它的正中央， ∴尺， 在中，， 解得：， 即水深12尺， 故答案为：12． 0☛题型02 出水芙蓉 例题2．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题． 【答案】水池里水的深度是4米，芦苇长为米 【分析】根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】．解：设水池里水的深度是x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由题意得，x2+52=（x+1）2， 解得：x=12， x+1=13， 米，米， 答：水池里水的深度是4米，芦苇长为米 1．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，   尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 2．如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度． 【答案】筷子GE的长度是10cm． 【分析】根据题意可得DE=GE，EF=GE-2，在Rt△DFE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设筷子GE的长度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm， ∵杯子的直径为12cm， ∴杯子半径DF为6cm， 在Rt△DFE中，（x-2）2+62=x2， 即x2-4x+4+36=x2， 解得：x=10， 答：筷子GE的长度是10cm． 0☛题型03 蚂蚁爬行（最短路径问题） 例题3．如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解图示，掌握勾股定理求最短路径的计算是解题的关键． 根据题意，将长方体盒子展开，可得为最短路径，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵长方体盒子的宽为，高为，， ∴， 故答案为：． 已知：在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点P到点Q的最短路径。 第一种情况： 第二种情况： 第三种情况： 结论：长方体中，蚂蚁爬行的最短路径为. 正方体中，若棱长为a,蚂蚁爬行的最短路径为 1．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A． B．25 C． D．35 【答案】B 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1，    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3，    ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是25， 故选：B． 2．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m． 【答案】1 【分析】画出容器侧面展开图（见详解），作点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B， 则A′B为最短距离． 由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m， ∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m， ∴A′B＝ ＝ ＝1（m）． 故答案为：1． 0☛题型04 垂美四边形 例题4．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长． 【分析】（1）根据垂美四边形的定义判断即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理得出AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论； （3）先由SAS证明△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，进而证出CE⊥BG，再根据勾股定理、结合（2）的结论计算，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵正方形，菱形的对角线互相垂直， ∴正方形，菱形是垂美四边形， 故答案为：①③． （2）结论：AD2+BC2=AB2+CD2． 理由：∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2． （3）连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， ∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG=∠AEC， 又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∴CG2+BE2=CB2+GE2， ∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°， ∴AC==8， ∴CG=，BE=， ∴GE2=CG2+BE2-CB2=292， ∴GE=． 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.已知在四边形ABCD中，AC⊥BD 结论： 1．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”． 概念理解： （1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长． 性质探究： （2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程． 问题解决： （3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长． 【分析】解：（1）根据，可得和都是等腰直角三角形，则可求得 ，，利用勾股定理可得的长度； （2）由题意可知，，， ，，化简后可得； （3）连接，，易证，可得 可视为绕点逆时针旋转后得到的，由旋转的性质知，，得到四边形 为“垂美四边形”．根据， ，，可得，， ，可求得，根据为直角三角形， 为其斜边上的中线，可得． 【详解】解：（1）由题意知，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ． ∴． （2）由题意可知，，， ∴，① ，， ∴，② ∴由①②可知，“垂美四边形”的两组对边之间的数量关系是 （3）连接，． ∵， ，， ∴． ∴可视为绕点逆时针旋转 后得到的． 由旋转的性质知，． ∴四边形为“垂美四边形”． ∴由（2）知，． 又，， ∴，，． ∴， ∴， ∴ 又为直角三角形，为其斜边上的中线， ∴ 2．（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________； （4）【性质应用】如图3，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长． 【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可； （3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案； （4）证明△GAB≌△CAE，进而得出CE⊥BG，根据（3）的结论计算即可． 【详解】解：（1）∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形， ∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形， 故答案为：③④； （2）四边形ABCD是垂美四边形， 理由如下：如图2，∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （3）AD2+BC2＝AB2+CD2， 证明如下：如图①，∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； （4）如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∴CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AB＝10，AC＝8， ∴BC2＝AB2﹣AC2＝36，CG2＝AC2+AG2＝128，BE2＝AB2+AE2＝200， ∴GE2＝128+200﹣36＝292， 则GE＝2． 0☛题型05 勾股树问题 例题5．在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．0.6，0.8，1 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股数，注意：①一组勾股数中的三个数必须是正整数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．掌握勾股数的定义是解题的关键． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，不是整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 1．我国是最早了解勾股定理的国家，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、， ，2，3不是勾股数，不符合题意； B、， ，3，4不是勾股数，不符合题意； C、， ，4，5是勾股数，符合题意； D、， ，5，6不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．，，2 C．1，1，2 D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、∵，∴不能构成勾股数，不符合题意； D、∵，∴能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 0☛题型06 赵爽弦图问题 例题6．三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用所给的图形证明勾股定理； (2)若，，求小正方形的面积． 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、利用平方根解方程，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）方法一：利用正方形的面积公式计算大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和，根据两种方法计算的面积相等即可得证； （2）先利用勾股定理求出，从而可得的值，再利用正方形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）证明：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以． （2）解：由（1）已证：， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴小正方形的面积为． 在正方形ABCD中，分别在边AB,BC,CD,DA上取点E,F,G,H,使得BE=CF=GD=AH,过点E,F,G,H作EJ//AD,FK//AB,GL//BC,HI//CD. 结论1:四边形EFGH是正方形； 结论2:四边形IJKL是正方形； 结论3:; 结论4:正方形IJKL的边长为HI-EI; 结论5: 1．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图），连接，交、分别于点，，连接，已知，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积． 【详解】解：， ， 设， 则， ， ， 根据题意可知： ，， ， ， ， 阴影部分的面积之和为： ． 故选：B． 2．第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用两种方法表示出图形的面积，然后整理即可； （2）由勾股定理可得，再运用等面积的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ∴，整理，得． （2）解：在中，，， 由勾股定理，得：， 是边上的高， ， ∴． 1．如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，求出，再由勾股定理结合折叠的性质可得，，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴，，， ∵的面积为24， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， 故选：B． 2．如图，在矩形中，点是边上一点，连接，点分别是的中点，连接，若，则矩形的面积是（   ） A．200 B．196 C．192 D．188 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三边形斜边的中线的性质，勾股定理逆定理，根据矩形的性质可得，根据F，G分别是的中点，可得，是的中位线，求出和的长，进一步可知是直角三角形，，根据，求出的面积，根据和矩形同底等高，可知矩形的面积，即可求出矩形的面积． 【详解】解：在矩形中，， ∵F，G分别是的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴矩形的面积， 故选：C． 3．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ∴，四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴     ∴ ∴四边形的面积为， 故选：B 4．如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，证明，得出，通过导角证明，可判断①；根据可判断②；证明，根据对应边成比例可判断③；过点M作于点N，证明，结合勾股定理可判断④． 【详解】解：在正方形中，，， E，F分别为边的中点， ． 在和中，， ， ． ， ， 故①正确； 是的中线， ， ， 故②错误； 设正方形的边长为，则， 在中，． ，， ， ，即， 解得，， ， ， 故③正确； 如图，过点M作于点N， ，， ， ，即， 解得，， ． 根据勾股定理，得， ，， ． 故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④共3个， 故选B． 5．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9m远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6m处折断倒下，量得倒下部分的长是10m，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（    ） A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】直接将房子看作一个点，利用勾股定理分析得出答案． 【详解】解：如图， , 由勾股定理知：（米）． 由于8＜9， 所以，大树倒下时不能砸到张大爷的房子． 故选：A． 6．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ） A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm 【答案】A 【分析】在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可． 【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵AE＝A′E，A′P＝AP， ∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C， ∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm−4cm＋4cm＝12cm， 在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝ ＝15cm， 故选：A． 7．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】10 【分析】将正方体上表面如图展开（见详解），根据两点之间，线段最短，即可得到：连接PQ的线段是P到Q的最短路程，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：将正方体上表面展开，如图所示，    ∵PB＝AB＝6，AQ＝2， ∴BQ＝6+2＝8， ∴PQ＝＝＝10． ∴蚂蚁爬行的最短路程10． 故答案为：10． 8．如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为 ． 【答案】10 【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长． 【详解】如图所示，将其展开， ∵在圆柱的截面ABCD中：，， ∴，， 将其展开可得如下的矩形， 在中， ∴． 故答案为：10． 9．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为 ． 【答案】 【分析】设，则在中运用勾股定理列方程，就可以求出CD的长． 【详解】设，则． 在中，， ， ， 解得：． ． 故答案为． 10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 11．小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． (2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形的面积S与两对角线，之间的数量关系：______． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②直接写出四边形的面积． 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）四边形的面积=的面积+的面积； （3）①连接，证出，由证明，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可；②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形； 故答案为：菱形、正方形； （2）如图1所示： ∵四边形的面积=的面积+的面积 =； 故答案为：； （3）①证明：连接交于N，交于M，如图2所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； ②∵ ∴ ∴， 在中， ∴， ∵四边形为垂美四边形， ∴四边形的面积 12．王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答： (1)观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________． (2)探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到，若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，可得到四边形为平行四边形，再由旋转的性质得：，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再由四边形是矩形，可得，从而得到四边形是矩形，然后根据，即可解答； （3）先求得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由旋转的性质得：， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱形 （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （3）解：在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是矩形，得出，，再证明，即可得解； （3）过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出．设，则，设，则，由勾股定理可得，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点N作于点H， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作于点N，交的延长线于点M，连接， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得 (舍去)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． $$第四章 三角形 微专题十三 勾股定理中蕴含的几何模型 （思维导图+6种题型（含3种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 风吹树折模型 ►题型02 出水芙蓉 ►题型03 蚂蚁爬行（最短路径问题） ►题型04 垂美四边形 ►题型05 勾股树问题 ►题型06 赵爽弦图问题 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 风吹树折模型 例题1．如图， 在中， ， ， 平分交 于点，点E为上一动点，点是上一动点，连接 ，以 为斜边向上构造等腰 ，延长交于， 连接， 则 1．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是 米． 2．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 0☛题型02 出水芙蓉 例题2．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题． 1．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 2．如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度． 0☛题型03 蚂蚁爬行（最短路径问题） 例题3．如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为 ． 已知：在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点P到点Q的最短路径。 第一种情况： 第二种情况： 第三种情况： 结论：长方体中，蚂蚁爬行的最短路径为. 正方体中，若棱长为a,蚂蚁爬行的最短路径为 1．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ） A． B．25 C． D．35 2．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m． 0☛题型04 垂美四边形 例题4．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长． 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.已知在四边形ABCD中，AC⊥BD 结论： 1．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”． 概念理解： （1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长． 性质探究： （2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程． 问题解决： （3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长． 2．（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想__________________； （4）【性质应用】如图3，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长． 0☛题型05 勾股树问题 例题5．在下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．0.6，0.8，1 1．我国是最早了解勾股定理的国家，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．，，2 C．1，1，2 D．9，12，15 0☛题型06 赵爽弦图问题 例题6．三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为． (1)请利用所给的图形证明勾股定理； (2)若，，求小正方形的面积． 在正方形ABCD中，分别在边AB,BC,CD,DA上取点E,F,G,H,使得BE=CF=GD=AH,过点E,F,G,H作EJ//AD,FK//AB,GL//BC,HI//CD. 结论1:四边形EFGH是正方形； 结论2:四边形IJKL是正方形； 结论3:; 结论4:正方形IJKL的边长为HI-EI; 结论5: 1．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图），连接，交、分别于点，，连接，已知，且，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．5 C． D．10 2．第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： (1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； (2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 1．如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（   ） A．3.5 B． C．2 D．3 2．如图，在矩形中，点是边上一点，连接，点分别是的中点，连接，若，则矩形的面积是（   ） A．200 B．196 C．192 D．188 3．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 4．如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9m远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6m处折断倒下，量得倒下部分的长是10m，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（    ） A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对 6．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（ ） A．15cm B．16cm C．17cm D．18cm 7．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 8．如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为 ． 9．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为 ． 10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 11．小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． (2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形的面积S与两对角线，之间的数量关系：______． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②直接写出四边形的面积． 12．王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答： (1)观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________． (2)探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到，若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长． 13．【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 14．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． $$