第5模块 第20讲 平行四边形 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

通用通法 (1)求点O与点O'之间的距离： 和正多边形有关的计算和证明主要有两 (2)判断CE'所在的直线与AB所在直线 种解题方法和思路：一是转化思想，可以 的位置关系，并说明理由； 利用其对角线将其分割成三角形，再利用 (3)现将正六边形A'B'C'DE'F'绕点D顺 三角形的知识加以解决：二是运用方程的 时针旋转（旋转角<180°）. 思想，可以设未知数，建立方程求解。 ①当△CDE'为直角三角形时，求点C的 2.两个边长均为4的正六边形ABCDEF和 运动路径长； 正六边形A'B'C'DE'F'按如图方式放置， ②当△CDE'为等边三角形时，求证：C,D, 点O,O分别为其中心点，点C‘与点E重 C三点共线， 合，点O',A'在射线CD上，连接CE E(C 第20讲 平行四边形 【2022课标要求】 L.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（新增）的概念及它们之间的关系. 2.了解四边形的不稳定性。 3.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分：探 索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：两组对边分 别相等的四边形是平行四边形：对角线互相平分的四边形是平行四边形 河北中考，考点梳理 考点、平行四边形的概念、性质与判定☆重点 概念 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 1.边：(1)两组对边分别平行： (2)两组对边分别相等： 2.角：(1)两组对角分别① 性质 (2)四组邻角分别② 3.对角线：对角线互相③ 4,对称性：是中心对称图形，但不是轴对称图形 69 续表 1.边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形： (2)两组对边分别④ 的四边形是平行四边形： (3)一组对边⑤ 的四边形是平行四边形： 判定 2.角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形： 3.对角线：两条对角线互相⑥ 的四边形是平行 四边形 面积计算公式 SaAD=BC·AE=AD·AE 温馨提示：平行四边形中辅助线的作法 1.连接对角线或平移对角线，构造相等线段或平行： D 2.过顶，点作对边的垂线，构造直角三角形： D B 3.连接对角线交点与另一边中点或过对角线交点作一边的平行线，构造中位线或平行线： D 0 4,连接顶点与边上一点或连接顶点与一边延长线上一点，构造相似三角形， D 自主复习·方法提炼 1.已知：四边形ABCD是平行四边形，点E 的周长为 是BC边上一点. (3)如图3，AE⊥BC于点E,若∠D=45°， (1)如图1，若AE平分∠BAD,∠D=50°， AE=4,AC=5,则平行四边形ABCD的 则∠AEC= 周长为 (2)如图2，若E是BC边的中点，O为对角 (4)如图4，若AB=2,BC=3,∠ABC= 线的交点，△CEO的周长为6，则△ABC 60°，则 70 ①平行四边形ABCD的面积为 (3)如图4，作AN,CM分别平分∠BAD, △AOB的面积为 ∠BCD分别交BD于点N,M,求证：四边 ②若点E为BC边上一动点，连接AE, 形ANCM为平行四边形； DE,则AE十DE的最小值为 (5)如图5，若AB⊥AC,AB=8,BD=20, 则AC的长为 ,AD,BC之间的距 图1 图2 离为 图3 图 图3 图 提分技法 图5 (1)求角度：先将题中的已知角找出来， (4)如图5，连接AC,过O作一直线分别交 再结合平行四边形的性质（即对角相 AD,BC于点M,N,AB=13. 等，邻角互补及对边平行)，将所求角与 ①求证：OM=ON; 已知角逐浙联系起来 ②当四边形ABNM为平行四边形时，OM (2)求线段长： 长为多少？ ①根据平行四边形的性质将已知条件 转化到一个三角形中，利用勾股定理、 直角三角形的性质、等腰三角形的性质 或三角形面积公式等进行求解： ②根据平行四边形的性质，利用中位线 定理、平行线分线段成比例定理、全等 三角形的判定与性质或相似三角形的 判定与性质，求线段长或线段比值」 2.如图1，已知平行四边形ABCD,连接BD. 方法点拔 (1)如图2，取BD中点O,作BN=NO, 涉及动点问题，常见的命题模式是“某 OM=MD,求证：四边形ANCM为平行四 线段取何值时，以某四个点为顶点的四 边形： 边形为平行四边形”，解题时要注意运 (2)如图3，作AN⊥BD于点N,CM⊥BD 用逆向思维，即将要判定的平行四边形 于点M,求证：四边形ANCM为平行四 作为已知条件，利用其性质求线段的 边形： 长，其要注意正向检验，,六边形ABCDEF和六边形A'B'C'DE'F'都是正六 【自主复习·方法提炼】 边形， 1.(1)115(2)12(3)14+82(4)①33 33 ∠C0D=360 =60°，OC=OD 6 2413 .△OCD是等边三角形， ②√2T(5)12 13 .∠OCD=60°，OC=CD=4, 解析：(1)如图1，：∠D=∠B=50,且AE平分∠BAD,故 同理可得OD=DC'=4. ∠1=∠2=65，则∠AC=∠1+∠B=50°+65°=115. 'OM⊥CD, M是CD的中高，MD=言CD=2 ∴.OM=OCX sin60°=25，MO'=MD+O'D=6. 图1 ∴.O0=√OM+MOF=4V3,即点0与点0'之间的距 (2)由平行四边形对角线相互平分且E为BC的中，点，可 离为45. 知OE为△ABC的中位线，”C△a,=6,Cm=OC十 OE+CE.CAAD=AC+AB+BC=2(0C+OE+CE)= 2×6=12. 0. (3):∠B=∠D=45”,AE⊥BC,放△ABE为等腰直角三 角形.AE=BE=4,在Rt△AEC中，由句股定理得CE= AC-AE=√-4=3.∴BC=BE+CE=7:同 (2)解：CE所在直线与AB所在直线互相垂直.理由如下： 理，在Rt△ABE中，由勾股定理科AB=4区，∴Cah 如图，分别延长EC,AB交于点P, 2(AB+BC)=2×(7+42)=14+82. :∠ABC=120. (4)①如图2，作AH⊥BC,垂是为H,:∠ABC=60°， ∴∠PBC=60. ∠AHB=90,AB=2,在Rt△ABH中，AH=AB sin60 ∠CDE=∠E'DC'=120°， =√3，Saaw=AH·BC=3V3.作OM∥BC,且ON⊥ .∠CDE'=120, AB,:O为AC中点，∴.OM为△ABC的中位线，.OM= CD=DE', 1 .∠DCE'=30. 2·且∠AM0=60,MN=OM=子，在 ∠BCD=120°. ∠PCB=30, RaoN中.0N-9.sn-号AON-36 ∴.∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=90°， D ,CE⊥AB,即CE所在直线与AB所在直线垂直： (3)①解：由题意得点C在以D为圈心，DC长为半径的 B H 圆上运动， 图2 DC=DE' ②如图3，以BC为对称轴作点A的对称点A'交BC于点 .当△CDE为直角三角形时，∠CDE=90°， F,连接A'D,BF为中垂线，故BF=1:在Rt△ABF中，由 由(2)得旋转前∠CDE'=120°， 勾股定理胖AF=√5，AA'=2AF=25,AD=BC=3,在 .旋转角为30°， Rt△ADA'中，A'D=√AD+AAF=√2T,由图可知 ·点C'的运动路径长为30xX42 1803 AE+DE=A'E+DE>A'D=2T. ②证明：，△CDE为等边三角形， .∠CDE'=60°. ∠C'DE'=120, .∠C'DE'+∠CDE=180, C,D,C‘三点共线. 图3 第20讲平行四边形 (5)'BD=20,.BO=10,又AB⊥AC,.∠BAC=90° 在Rt△ABD中，由句股定理得AD=6,故AC=2AO= 【河北中考·考点梳理】 12,如图4，过点A作AM⊥BC,垂是为M,SAwm=AC ①相等②互补③平分④相等⑤平行且相等 ·BA=BC·AM,在R1△ABC中，由勾股定理，得BC=4 国平分 VE,2X8=vE·AM,AM-24南AD与C 18 之间的距离为24V丽 .△AMO2△CNO(ASA) 13 ..OM=ON. ②解：：四边形ABNM为平行四边形， ∴.AB=MN. OM=ON. 图4 13 2.(1)证明：题图2中，连接AC,如图所示： 0M=AB=X18=2 D 直回边形ABNM为手行四边衫时，OM的长为只 B 第21讲矩形、菱形及正方形 ,四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点， 【河北中考·考点梳理】 ..OB=OD.OA=OC. ①直角②直角③相等①三⑤相等⑥邻边 .BN=NO.OM=MD. ⑦相等⑧垂直平分⑨平分四一半⑩相等 .NO-OM. ®垂直⑧邻边心直角⑥相等⑧直角⑦垂直平分 .四边形AVCM为平行四边形. ⑧4©矩形图菱形④互相垂直平分且相等 (2)证明：题图3中， 【自主复习·方法提炼】 “四边形ABCD是平行四边形， ..AB=CD.AB//CD. 1k.1D080(2)①12②3v5等边@青 ④.10 ∴∠ABN=∠CDM. b.2 ,'AN⊥BD.,CM⊥BD 2.解：(1)四边形ABCD是菱形。 .ANCM,∠ANB=∠CMD 在△ABN和△CDM中， AD/BC,∠CAD=∠CAB=∠BAD, I∠ABN=∠CDM. ∴.∠BAD+∠ABC=180. ∠ANB=∠CMD, 若∠ABC=40°，别∠BAD=180°-∠ABC=140° AB-CD. ∠CAD=Z∠BAD-0 .△ABN≌△CDM(AAS). 故答案为70 ∴.AN=CM (2)①在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD, 又，ANCM .四边彩ANCM为平行四边形. ACLBD.OA-(-FAC. (3)证明：题图4中，四边形ABCD是平行四边形， .∠BAD=∠BCD,AB=CD,ABCD, OB-OD-BD, ∴.∠ABN=∠CDM. .∠AOB=90 AN平分∠BAD,CM平分∠BCD, 若AC=6,BD=8,剩 ∴.∠BAN=∠DCM. 在△ABN和△CDM中， 0A=0c=2AC=3. I∠ABN=∠CDM. 0B=0D-2BD=4 AB=CD. 在R:△AOB中，由勾股定理，得 ∠BAN=∠DCM. .△ABNa△CDM(ASA). AB=√OA-+OB=√3+4=5. ∴.AN=CM,∠ANB=∠CMD, .AB=BC=CD=AD-5. ∴.∠ANM=∠CMN, .AB+BC+CD+AD=5+5+5+5=20, .AN∥CM. 即菱形的周长为20， ∴.四边形ANCM为平行四边形. 故答案为20 (4)①证明：在平行四边形ABCD中，OA=OC,AD∥BC, ②四设AD,BC之间的距离为h,则由 ∴.∠MAO=∠NCO. Sm=BCh=AC·BD,得 在△AMO和△CNO中， ∠MAO=∠NCO. h-AC·BD6×824 2BC 2×55 OA=OC. ∠A)M=∠CON(对顶角相等)， 即AD,BC之间的距离为号， 19