专题08 全等三角形之倍长中线模型-2023年中考数学几何模型专项复习与训练（四川专用）

专题08 全等三角形之倍长中线模型 基本模型： 有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 例1．（2021·四川成都·一模）如图，在△ABC中，tan∠ACB=，D为AC的中点，点E在BC上，连接DE，将△CDE沿着DE翻折，得到△FDE，点C的对应点是点F，EF交AC于点G，当EF⊥EC时，△DGF的面积，连接AF，则AF的长度为__________． 例2．（2022·四川成都·一模）在中，，，是边上的中线，记且为正整数．则使关于的分式方程有正整数解的概率为______． 例3．（2022·四川德阳·一模）如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF． (1)请直接写出CF、DF的数量关系，不必说明理由； (2)将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转（），其它条件不变，如图2，试回答（1）中的结论是否成立？并说明理由； (3)若将图（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转90°，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，不必说明理由． 【变式训练1】（2020·四川·广安育才学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB， BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM=∠NBC＝90°，连接MN，则BD与MN的数量关系是_____． 【变式训练2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD． 【变式训练3】（2021·四川成都·九年级期末）问题提出： 如图①所示，在矩形和矩形中，，点A，O，D不在同一直线上，连接．是的中线，那么之间存在怎样的关系？ (1)问题探究：先将问题特殊化，如图②所示，当且时，的数量关系是________，位置关系是________． (2)问题拓展：再探究一般情形如图③所示，当，时，证明（1）中的结论仍然成立． (3)问题解决：回归图①所示，探究之间存在怎样的关系（数量关系用k表示）？ 课后训练 1．（2021·四川绵阳·八年级期中）如图，在中，是的中点，分别在上，若则的长为____________________. 2．（2018·四川省彭州中学实验学校（待删除）九年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________． 3.（2022·四川省渠县中学八年级期中）在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点E，F分别在边AC，AB上，且AF=AE，连接BE，CF．M为FC的中点，连接AM ． (1)如图（1），试猜想BE和AM的关系，请写出你所得到的结论； (2)如图（2），将△AFE绕点A逆时针方向旋转90°，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），若将△AFE绕点A逆时针方向旋转后（0＜＜90），（1）中的结论是还成立吗？请判断并说明理由． 4.（2021·四川达州·七年级期末）（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 　 　； （2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF； （3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明． 5．（2020·四川·石室中学八年级期中）如图1，在中，，，点E在AC上，，．连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE． （1）试猜想：PC与PE的数量关系是________，位置关系是________． （2）将绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为． ①如图2，当时，点D落在AB边上，（1）中PC与PE的数量关系和位置关系还成立吗？如果成立，写出结论，并证明；如果不成立，说明理由． ②如图3，当时，若，，直接写出的值．            6．如图，与均为等腰直角三角形， （1）如图1，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是 ，与的位置是 ． （2）如图2，在图1的基础上，将绕