第4模块 第18讲 锐角三角函数及其应用 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

△CDE的面教=2CE·DG- 1 2 “号×8V而×DG- 2· ·DG=y 2 图2 (3)证明：：DE=BE, 由(1)②可知：∠CAE=30°， .∠B=∠EDB :△ABC为等边三角形，且边长为2， .DE=DC. .AB=BC=AC=CE=2,∠BAC=60°. ∴.∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，BE=BC+CE=4, .∠DEC=∠DCE, .∠EDB=2∠BCE 在R1△ABE中，由勾胶定理，得AE=√BE一AB= .∠B=2∠BCE. 25. 由(1)①可知：△DEC≌△PBC, 第18讲锐角三角函数及其应用 BP=DE=1. 文，BP⊥AD,BP∥DE, 【河北中考·考点梳理】 ∴.DE⊥AD, ①② ⑥5⑦a2+b=c 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD=/AE一DE =IT. 图e-a @nA=兰⑩上方0下方心高度 故答案为√T ⑧水平宽度 3.(1)证明：，AD⊥BC 【自主复习·方法提炼】 ..∠ADB=90 1.解：(1)∠B=90°，AB=8.BC=6. E是AB的中点， .AC=10. 六DE=BE=AB, ∠DCB=∠B=90°· .DC∥AB, 又GD-Ae. ∴·∠DCA=∠CBA. CA⊥AD, ..CD=DE. ∴∠DAC=∠B, :DG⊥CE, .△DACc△CBA. ..EG=GC. (2)解：①过点E作EF⊥BC,垂足为F, 梁福0是 .AD 10 AD=号 (2)如图，设AP=x,则PB=AB一AP=8一x,过点P作 PH⊥AC, :BC=13,DC=5, .BD=BC-DC=8. :BE=DE,EF⊥BD. CP为∠ACB的平分线，∠B=90°， ∴DF=2BD=, :.PH=PB=8-x. 在Rt△EFD中，DE=DC=5, :∠CAB=∠CAB,∠AHP=∠B, ∴.△APH∽△ACB. ∴.EF=√DE-DF=√5-4=3， ,x8-x 六△BC的面积=号BC·BR= 1 2×13×3 39 0肥高8号 21 AP=5. ·△BEC的面积为2 39 (3)分两种情况： .EF=3.CF=CD+DF=5+4-9. 当点P在AB边上，如图， ∴CE=√EF+CF=√3+9=3√I0. :△CDE的面积=CD·EF- 2X5X3=5 16 期PB=6,则an∠PCB一BC PB =1, CH=24米， ∴.DN=MH=CM+CH=(x十24)米， 当点P在AD边上，如图，过点P作PELBC于点E,作 在Rt△ACM中，tan∠ACM=3, PF⊥BA交BA的延长线于点F, .AM=CM·1an∠ACM=3r(米). 7 在R△ADN中，an∠ADN=g ∴AN=DN·Hn∠AND=。(E+24)米 ∠B=90°， ∴.四边形PFBE为矩形， AM-AN+MN. ∴.PF=BE,PE=BF, 7 3x-gr+24)+10, '∠F=∠B=∠PAC· ∴.∠PAF+∠APF=∠PAF+∠CAB=90°， 解得x=12.9, .AM=3x=38.7(米)， ∠APF=∠CAB. .顶点A到水平地而的垂直高度为38.7米。 .△APF△CAB. 任务3：若选择小组一的方案。 是腊能品罗华 在Ri△BCM中an∠BCM=三，CM=12.9来 PF-AF- BMCM·an∠BCM=12.9X名=8.6（米）， 飞CE=CB-BE=6-。=号，PE=BF=AB+AF=8 .AB=AM-BM=38.7-8.6=30.1(米)， +- .旗杆AB的高度为30.1米. 若选择小组二的方策， tan∠PCB-E-i' PE 23 在R△DNB中，ian∠NDB=5DN=MH=CM+CH 路上片接，an∠PCB=-得发 ■12.9十24=36.9（米）， 1 2.解：任务1：过点D作DH⊥CF,垂足为H· BN=DN·an∠NDB=36.9×5=2.46(米)， ,纤城CD的坡比为1；2.4， 在Rt△ADN中，tan∠AND=Z ,设DH=x米，别CH=2.4x来 7 在R△CDH中，CD=√CH+DHT=2.6.x(来)， AN=DN·n∠ADN=36.9×日=28.7（米）， .AB=AN+BN=28.7+2.46=31.16(米)， .狼杆AB的高度为31.16来. D 第五模块 四边形 B 图1 第19讲多边形 CD=26米，∴.2.6x=26, 【河北中考·考点梳理】 解得x=10, .DH=10米，CH=24来， ①(n-2)×180°②360° ③(n-3)④360 ,C,D两点的垒直高度差为10米， 任务2：延长AB交FE的延长线于点M,延长IDG交AB 0360 于点N, 【自主复习·方法提炼】 1.(1)30°2V5 (2)60°3 (3)60°直角三角形 (4)< 图2 (6)3vg 2 由题意得VM=DH=10米，DN=MH, 2.(1)解：如图，过点)作(OM⊥CD于点M,连接()'， 设CM=x米， OC.OD, 17第18讲锐角三角函数及其应用 【2022课标要求】 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30°，45°，60°角 的三角函数值. 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角. 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 河北中考，考点梳理 考点一、锐角三角函数的概念 正弦 sin A= ∠A的对边 斜边 ① 余弦 cosA=∠A的邻边 斜边 ② 正切 tan A= ∠A的对边 ∠A的邻边 ③ 温馨提示：锐角三角函数的值是一个比值，没有单位，它只与角的大小有关，而与三角形的 三边长无关， 考点二、特殊角的三角函数值 a 30° 45° 60° 三角函数 1 sin a 3 2 ④ 2 cos a ⑤ 2 2 tan a 1 ⑥ 3 温馨提示：锐角的正弦、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）锐角的余弦值随 着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点三、解直角三角形☆重点 1.在直角三角形中，由已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形， 2.直角三角形的边角关系（在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c): (1)三边关系：⑦ .(2)两锐角关系：∠A十∠B=90° (3)边角关系：sinA=c0sB=名c0sA=simB=么，tanA= ，tanB= a -64一 3.解直角三角形的几种常见类型 条件 图形 解法 已知两直角边a,b c=V+6,由mA=公得∠A,∠B 90°-∠A 已知斜边c和一直角 b=⑧ ,由⑨ 得∠A, 边a ∠B=90°-∠A 已知一直角边a和锐 ∠B=90°-∠A,c= sin A6= tan A 角∠A (或b=√c2-a) 已知斜边c和锐 ∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c· 角∠A cosA(或b=√-a) 温馨提示：解直角三角形时，已知的两个元素中至少要有一条边， 考点四、解直角三角形的应用☆重点 1.俯角、仰角 视线 铅 在视线与眼睛所在的水平线所成的锐角中，视线在水平线© 的角叫 角水平线 线 俯角 作仰角，视线在水平线① 的角叫作俯角. 视线 2.坡度（坡比）、坡角 坡面的垂直② h和③ l之比叫坡度（坡比），用字母i表h 示，坡面与水平面的夹角a叫坡角，坡度i=tana= ,坡度越大，坡角越大， h 坡面越陡。 3.方向角 北北偏东30° 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫作方向角. 北偏西70 709 30° 温馨提示：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏东5方向， 东 45045 西北方向指北偏西45”方向，西南方向指南偏西5°方向 西南方向「南偏东45 自主复习，方法提炼 1.(2024河北承德兴隆期末)如图，在四边形 ABCD中，∠DCB=∠B=90°，对角线CA ⊥AD,AB=8,BC=6,点P为折线BA 图1 备用图 备用图 AD上的点 (1)求AD的长： 65 (2)若点P在∠ACB的平分线上，求AP 7 测得顶点A的仰角∠ADG的正切值为 的长： (3)若AP=2,求tan∠PCB的值. 斜坡CD的坡比为1：2.4，两观测点CD 的距离为26m. 学习小组成员对问题进行如下分解，请探 索并完成任务。 任务1：计算C,D两点的垂直高度差， 任务2：求顶点A到水平地面的垂直高度 【问题解决】 为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组 在共同解决任务1和2后，采取了不同的 方案： 小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B 通用通法 解直角三角形时，首先要明确已知哪些 的仰角∠BCE的正切值为子： 边角，要求哪些边角，根据已知的条件 小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点 能否直接用三角函数或勾股定理求出， 当不能直接求出时，可以通过作辅助线 B的俯角∠GDB的正切值为5 求解，解直角三角形时所作的辅助线往 任务3：请选择其中一个小组的方案计算旗 往是一条垂线，通过所作的垂线构造出 杆AB的高度. “双直角三角形”，然后借助三角形边角 之间的关系解决问题 2.(2024浙江宁波模拟)【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地 面上（如图1）.两个学习小组为了测量旗杆 的高度，准备利用附近的小山坡进行测量 估算. G B EC 图1 图2 【问题探究】 如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的 仰角∠ACE的正切值为3，山坡上点D处 66