第4模块 第17讲 等腰三角形与直角三角形 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

第17讲等腰三角形与直角三角形 【2022课标要求】 L.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等； 底边上的高线、中线及顶角平分线重合，探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等 的三角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.探索等 边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三 角形. 2.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 河北中考，考点梳理 考点一、等腰三角形 概念 有两条边① 的三角形是等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的② 线 性质1：等腰三角形的两底角③ ,简写成“④ 性质 性质2：等腰三角形顶角平分线，底边上的⑤ 底边上的⑥ 相互重 合，简写成“⑦ (1)有两条边⑧ 的三角形是等腰三角形 判定 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“⑨ 面积 S=- ah,其中a是底边长，h是底边上的高 温馨提示：(1)等腰三角形的顶角与底角、腰与底不确定时要分类讨论：(2)“三线合一”中的角 平分线必须是顶角的，中线和高线必须是底边上的， 考点二、等边三角形 概念 ⑩ 条边相等的三角形叫作等边三角形 三个内角都相等，每个角都等于① 性质 等边三角形是轴对称图形，有② 条对称轴 内心和外心重合 三边都相等的三角形是等边三角形 判定 三个角都⑧ 的三角形是等边三角形 有一个角是四 的等腰三角形是等边三角形 面积 S-/3 a,a是等边三角形的边长 61 考点三、直角三角形☆重点 概念 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 直角三角形的两个锐角⑤ 性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑥ 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的⑦ 勾股定理：直角三角形中，两条直角边a,b的⑧ 等于斜边c的 性质 0 ,即④ 有一个角是90°的三角形是直角三角形 有两个锐角互余的三角形是直角三角形 判定 勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角 形是① 三角形 面积 S= 2ab(a,b为两直角边长) 温馨提示：能够成为直角三角形三条边长的三个正整教，称为勾股数。 自主复习·方法提炼 1.概念学习：若经过一个三角形某一顶点的 (2)若△ABC是过顶点B的生成三角形， 一条直线可把它分成两个小等腰三角形， ∠C是其最小的内角，且BC是其中一个 那么我们称这个三角形为过该顶点的生成 小等腰三角形的底边，∠A是另一个小等 三角形. 腰三角形的底角，请探求∠A与∠C之间 (1)如图，在△ABC中， 的关系 ∠BAC=90°，∠B=67.5, 点D在线段AC的垂直 平分线上，请问△ABC是否是生成三角 形？请你说明理由. 62 通用通法 方法提炼 要证明三角形是等腰三角形必须得到 等边三角形是特殊的等腰三角形，各边 两边相等，而得到两边相等的方法主要 相等，各角相等为证全等和角计算提供 有：(1)通过等角对等边得到两边相等： 条件 (2)通过三角形全等得到两边相等： 3.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高 (3)利用线段垂直平分线的性质得到两 线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点 边相等。 G,CD=号AB,连接DE. 2.(2024河北唐山路南区二模)等边△ABC 的边长为2，P为△ABC内一点，连接 (1)求证：CG=EG: BP,PC,延长PC到点D,使CD=PC. (2)已知BC=13,CD=5. ①求△BEC的面积： ②求DG的长. (3)求证：∠B=2∠BCE. D 图1 图2 (1)如图1，延长BC到点E,使CE=BC, 连接AE,DE ①求证：BP∥DE: ②若BP⊥AC,求∠AED的度数： (2)如图2，连接AD,若BP⊥AD,BP= 1,则AD= 易楷警示 应用勾股定理要注意： (1)分清直角边与斜边，无法判断的情 况下要分情况讨论： (2)应用方程思想，当已知一边的长和 另外两边的关系时，常设出未知数列方 程求解， 63(+ :x410=20 (2)如图1所示，当BD=CD=AB时， 部得一器 小凯头顶离地而的最大高度行m 变式：解：，AD∥EG,∴.∠ADO=∠EGF 图1 :∠AOD=∠EFG=90°.∴.△AODc∽△EFG, ·∠C=∠CBD,∠A=∠ADB. 0-20器40-15m ∠ADB=∠C+∠CBD=2∠C=∠A..∠A=2∠C, 如图2，当CD=BD=AD时，剩∠C=∠CBD,∠A 同理，得△BC∽△AOD. BO 16 =∠ABD, 把器0品 .∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠A+∠C, .B0=12m+ 又：∠A+∠C+∠ABC=180°.∴∠A+∠C=90 ∴.AB=A0-B0=15-12=3(m). 答：旗杆的高AB是3m 4.解：I)△A,B,C,和△ABC的相似比是7， (2)如图所示，△A,B,C,即为所求 9 图2 棕上所述，∠A=2∠C戎∠A+∠C=90°， CD-PC. 2.(1)①证明：在△DEC和△PBC中，∠DCE-∠PCB. CE=BC. ∴△DEC≌△PBC(SAS), 234556立.8.923x .......... .∠DEC=∠PBC, ∴.BPDE. (3)BC边上有一点M(a,b),在B,C,边上与点M对应点 ②四解：廷长AC交ED的延长线于点F,如图1所示： 的皇标是（分，）： （△A,B,C的面积是号X2X3=3. 变式：C 第17讲等腰三角形与直角三角形 图 【河北中考·考点梳理】 :△ABC为等边三角形， ①相等②垂直平分③相等④等边对等角⑤中线 .BC=AC,∠ACB=60 ⑥高⑦三线合一⑧相等⑨等角对等边⑩三 又，CE=BC, ①60°0三B相等60°B互余6一半D一半 ∴.AC=CE. ⑥平方和0平方@a+b=c3①直角 ∴.∠CAE=∠CEA. 【自主复习·方法提炼】 ∠CAE+∠CEA=∠ACB=60°. 1.解：(1)∠BAC=90°.∠B=67.5. .∠CAE=∠CEA=30. .∠C=90°-∠B=90°-67.5°=22.5°. 由①可知：BP∥DE, 点D在线段AC的垂直平分线上，AD=CD·即 BP⊥AC· △ACD为等腰三角形， ∴DE⊥AC,即∠F=90. .∠C=∠CAD=22.5°，.∠ADB=∠C+∠CAD 又：∠ECF=∠ACB=60°， 22.5°+22.5°=45°， .∠CED=90-∠ECF=30, .∠DAB=180°-∠ADB-∠B=180°-45°-67.5°- ∴.∠AED=∠CEA+∠CED=30°+30°=60 67.5, (2)解：延长BC到点E使CE=BC,连接AE,DE,如图2 .BD=AD,即△ABD为等腰三角形，.AD將△ABC 所示： 分成两个等腰三角形. ,根据生成三角形的定义，△ABC是生成三角形， 15 △CDE的面教=2CE·DG- 1 2 “号×8V而×DG- 2· ·DG=y 2 图2 (3)证明：：DE=BE, 由(1)②可知：∠CAE=30°， .∠B=∠EDB :△ABC为等边三角形，且边长为2， .DE=DC. .AB=BC=AC=CE=2,∠BAC=60°. ∴.∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，BE=BC+CE=4, .∠DEC=∠DCE, .∠EDB=2∠BCE 在R1△ABE中，由勾胶定理，得AE=√BE一AB= .∠B=2∠BCE. 25. 由(1)①可知：△DEC≌△PBC, 第18讲锐角三角函数及其应用 BP=DE=1. 文，BP⊥AD,BP∥DE, 【河北中考·考点梳理】 ∴.DE⊥AD, ①② ⑥5⑦a2+b=c 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD=/AE一DE =IT. 图e-a @nA=兰⑩上方0下方心高度 故答案为√T ⑧水平宽度 3.(1)证明：，AD⊥BC 【自主复习·方法提炼】 ..∠ADB=90 1.解：(1)∠B=90°，AB=8.BC=6. E是AB的中点， .AC=10. 六DE=BE=AB, ∠DCB=∠B=90°· .DC∥AB, 又GD-Ae. ∴·∠DCA=∠CBA. CA⊥AD, ..CD=DE. ∴∠DAC=∠B, :DG⊥CE, .△DACc△CBA. ..EG=GC. (2)解：①过点E作EF⊥BC,垂足为F, 梁福0是 .AD 10 AD=号 (2)如图，设AP=x,则PB=AB一AP=8一x,过点P作 PH⊥AC, :BC=13,DC=5, .BD=BC-DC=8. :BE=DE,EF⊥BD. CP为∠ACB的平分线，∠B=90°， ∴DF=2BD=, :.PH=PB=8-x. 在Rt△EFD中，DE=DC=5, :∠CAB=∠CAB,∠AHP=∠B, ∴.△APH∽△ACB. ∴.EF=√DE-DF=√5-4=3， ,x8-x 六△BC的面积=号BC·BR= 1 2×13×3 39 0肥高8号 21 AP=5. ·△BEC的面积为2 39 (3)分两种情况： .EF=3.CF=CD+DF=5+4-9. 当点P在AB边上，如图， ∴CE=√EF+CF=√3+9=3√I0. :△CDE的面积=CD·EF- 2X5X3=5 16