第4模块 第16讲 相似三角形 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

:三角形两条边的长为5cm,另外一条边的长为2cm, :AD是△ABC中线， ∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形. ∴.BD=DC: (3)”第三边长为偶数，设第三边的长为xcm,则根据题 DC=BD. 意可得5一2<x<5十2，即3x<7,,x的值为4或6，当 在△ADC和△MDB中，∠ADC=∠BDM, x=4时，这个三角形的周长为5+4十2=11(cm),当x=6 AD-DM. 时，这个三角形的周长为5+十6+2=13(m),即当这个三角形 ,.△ADC≌△MDB(SAS). 第三边的长是偶数时，这个三角形的周长为11cm或13cm .BM=AC,∠CAD=∠M. (4)若AB=2cm,BC=5cm,己知BD是△ABC的中线， .∠AFE=∠FAE △ABD的周长为9cm,则BD十AD=BD十DC=9一2 ∴.AE=EF=4. 7(cm),于是△BCD的周长为BC+BD+DC=5+7=12(cm), ∴.AC=AE十CE=7 (5)由(1)可知3<r<7,于是x十1一1x-8|一2x一21=x .BM=AC=7. +1-(8-x)-2(.x-2)=x+1-8+x-2x+4=-3. ∴∠CAD=∠AFE. 2.解：(1)：CD是中线..BD=AD, :∠AFE=∠BFD, BC=4,AC=3, ∴∠BFD=∠CAD=∠M, .C△mD=BC+BD+CD=4+AD十CD,C&m=AD十 ∴BF=BM=AC.即BF=7. CD+AC-3+AD+CD. (3)证明：如图3，延长ED到点G,使GD=ED,连接 六.Camm一C么kw=1， CG.GF. 故答案为1 (2)CD是△ABC的高， .∠CDB=90 :∠ABC=64°，BE是△ABC的角平分线， ∠ABE=号∠ABC-×64=32. 图3 D是BC边上的中点， .∠BO0C=∠CDB+∠ABE=90°+32°=122 ∴CD=BD (3)∠A=80°， GD-ED. ∴.∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-80°=100°. 在△CDG和△BDE中， ∠CDG=∠BDE. :BE,CD是△ABC的角平分线， CD=BD. ·.∠OBC= ∠ABC,∠OCB= 1 2∠ACB, .△CDG2△BDE(SAS). .CG-BE. 1 ÷∠OBC+∠CB=z(∠ABc+∠ACB)=2X10=50, CG+CE>GF. ∴.∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-50°=130. .BE+CF>GF 3.(1)解：延长AD至点E,使DE= DE⊥DF,GD=ED, AD,连接BE,如图1， .DF垂直平分EC, 在△ADC和△EDB中. .GF-EF. DC=BD, .BE+CF>EF ∠ADC=∠BDE. 第16讲 相似三角形 AD=DE. .△ADC≌△EDB(SAS). 【河北中考·考点梳理】 ..BE=AC=9. ①x ④成比例⑤成比例⑤相等 AB-BE<AE<AB+BE, .4<AE<22,.2<AD<11. ⑦成比例⑧相等⑨成比例@相似①成比例②夹角 故答案为2<AD<11. ⑧角图成比例0相似比⑥相似比⑦相似比的平方 (2)解：延长AD到点M,使AD=DM,连接BM,如图2， ⑥相似四位似中心@同一点①同一条直线上 @(kx,ky)⑧（一kx,一ky) 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)AD∥BECF. 提器-号 图2 13 .DE=4, ∴∠B=∠C. ∴.DF=DE+EF=4+10=14 ∴△ABP∽△PCQ. (2)G是DE的中点，AD∥BE,QG=3, 提铝音高 52 DG QG 1 D证0m-2 .Q月=6. c0-号 AD∥BE∥CF, 開器 ②0<<3浅r=想理南动下。 :点Q在AC上，当PQ∥BC时， p前可 64 .0≤x<3: 当PQ∥AB时，∠BAP=∠APQ ∴.PH=15 .AB=AC, 变式：解：(1)DEBC, .∠B=∠C 能品 又'∠APQ=∠B. ∴∠BAP=∠C, 12 .△ABP△CBA, BC-号cm 提-器营-吧 85 (2),DE∥BC 温怎 p-容 =+9-号 中号华 3.解：(1)EF/CD. .△GFEC∽△GDC, AE=号cm .GE GC=EF CD. 812 .GE=6 m.EF=1.5 m.CD=10 m. :.EC-AC-AE4-5-(cm). .6÷(6+EC)=1.510, 2.(1)①证明：，点P在MB上，∠APQ=∠B. 解得EC-34m. .PQ∥BC, (2)如图， 裙肥 D ②解：：PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分， G-H 由(1)可得EHHA=GE:GC=EFCD=1.5t10, .HE:AE=GE:CE. 'PQ∥BC, 又∠GEH=∠CEA, .△APQ∽△ABC. ∴.△GHE△CAE, 站号 .∠ACE=∠11GE, .GH∥AC AB=5. 90 (3)9m,理由如下： Ap- 同(2)可得△GHE∽△CAE. :AM=2, ..GH:AC=GE EC. MP-AP-AM- :GH=9m,AC=40m,CE=34, ∴.GE:EC=GH:AC=9:40: (2)解：①当x=5时，点P在BC上，且BP=2十5一5=2， .GE:GC=940. ∴.PC=BC-BP=6. :∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ,∠APQ aE-器 =∠B. 又△GFE∽△GDC, .∠BAP=∠CPQ 设最大高度为x, AB=AC. .DC=GE GC. x410=20 (2)如图1所示，当BD=CD=AB时， 郎得一器 小就夹项高地面的最大高定智即 变式：解：，AD∥EG,∠AIDO=∠EGF 图1 :∠AOD=∠EFG=90°.∴.△AODc△EFG, ∴·∠C=∠CBD,∠A=∠ADB, 架器02器40-15m ∠ADB=∠C+∠CBD=2∠C=∠A..∠A=2∠C, 如图2，当CD=BD=AD时，剩∠C=∠CBD,∠A 同理，得△BC△AOD. =∠ABD, 需器船品 .∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠A+∠C, .B0=12m, 又，∠A+∠C+∠ABC=180°.∴∠A+∠C=90 .AB=A0-B0=15-12=3(m). 答：旗杆的高AB是3m 、4.解：)△AB,C,和△ABC的相似比是2 (2)如图所示，△A,B,C,即为所求 9 图2 棕上所述，∠A=2∠C戎∠A+∠C=90 CD-PC. 2.(1)①证明：在△DEC和△PBC中，∠DCE-∠PCB, CE=BC. ∴.△DEC≌△PBC(SAS), 2456方893x .t.......i.. ∴∠DEC=∠PBC, ∴.BPDE. (3)BC边上有一点M(a,b),在B,C,边上与点M对应点 ②解：廷长AC交ED的延长线于点F,如图1所示： 的皇标是（分，） （△A,B,C,的面积是号X2X3=3. 变式：C 第17讲等腰三角形与直角三角形 图 【河北中考·考点梳理】 :△ABC为等边三角形. ①相等②垂直平分③相等④等边对等角⑤中线 ∴.BC=AC,∠ACB=60 ①高⑦三线合一图相等⑨等角对等边①三 又，CE=BC, ①60°0三B相等60B互余6-一半D一半 AC-CE. ⑧平方和0平方@a2+b=3①直角 ∴.∠CAE=∠CEA, 【自主复习·方法提炼】 ∠CAE+∠CEA=∠ACB=60°， 1.解：(1)∠BAC=90°.∠B=67.5. .∠CAE=∠CEA=30 .∠C=90°-∠B=90°-67.5°=22.5°. 由①可知：BP∥DE, 点D在线段AC的垂直平分线上，AD=CD·即 BP⊥AC. △ACD为等腰三角形， ∴DE⊥AC,即∠F=90. .∠C=∠CAD=22.5°，.∠ADB=∠C+∠CAD 又：∠ECF=∠ACB=60°， 22.5°+22.5°=45°， ∴.∠CED=90-∠ECF=30, .∠DAB=180°-∠ADB-∠B=180°-45°-67.5°- ∴.∠AED=∠CEA+∠CED=30+30°=60° 67.5, (2)解：延长BC到点E使CE=BC,连接AE,DE,如图2 .BD=AD,即△ABD为等腰三角形，.AD將△ABC 所示： 分成两个等腰三角形. .根据生成三角形的定义，△ABC是生成三角形. 15第16讲相似三角形 【2022课标要求】 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段：通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 2.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比， 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似：两边成比例且夹角相等的两 个三角形相似：三边成比例的两个三角形相似.·了解相似三角形判定定理的证明， 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比：面积比等于相似比的平 方.（不要求证明） 6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小 7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 河北中考，考点梳理 考点一、比例线段的相关概念及性质 1.成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线 段的比相等，如分-台（即ad=c),我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. 6=a那么ad=① 2.比例的性质：(1)如果4=C、 (2如果号-行那么“店 =② (3)如果4=S =6+d+…+n0).那么十十…十机=圆 6-d 11 3.黄金分制：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果AC一AB, BC AC 那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金 比，黄金比为5，，线段AB有2个黄金分制点C和C',且它们关于线段中点中心对称 5 -5B 考点二、平行线分线段成比例 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段④ 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 ⑤ 57 考点三、相似多边形 1.定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别⑥ ,边⑦ ,那么这两个多 边形叫作相似多边形 2.性质：相似多边形的对应角⑧ ,对应边⑨ ,周长比等于相似比，面积比等于 相似比的平方. 考点四、相似三角形☆重点 1.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形⑩ (2)三边① 的两个三角形相似， 温馨提示：直角三角形 (3)两边成比例且@ 相等的两个三角形相似. 被斜边上的高分成的两 (4)两⑧ 分别相等的两个三角形相似， 个直角三角形和原三角 (5)斜边和一条直角边@ 的两个直角三角形相似， 形相似. 2.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于⑤ ,即对应 线段的比等于相似比， (2)相似三角形周长的比等于⑥ ,面积的比等于⑦ 考点五、图形的位似 1.定义：两个图形不仅⑧ ,而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相 平行或共线，这两个图形叫作位似图形，这个点叫作© 2.性质：(1)两个图形是相似图形，具有相似图形的一切性质.(2)对应点的连线所在的直线都 经过 ·(3)对应边互相平行或在@ 3.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，且相似比为 k,则原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为② 或⑧ 失分警示：位似图形是相似的一种特殊形式，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定 是位似图形，位似图形具有相似图形的所有性贡。 4.已知位似中心和位似比可以作出两个位似图形，并且它们两个关于位似中心成中心对称. 自主复习，方法提炼 1.如图，已知AD//BE//CF,它们依次交直线 的长 1,l2,lx于点A,B,C和点D,E,F和点 Q,H,P,l:与l3相交于DE的中点G,若 AB 2 B G AC7 H (1)如果EF=10,求DE,DF的长： (2)在(1)的条件下，如果QG=3,求PH 58 变式：（变换图形）如图，已知：△ABC中，DE (2)设点P移动的路程为x, ∥BC. ①当x=5时，求CQ的长： (1)AD=2 cm,DB=3 cm.AE=1 cm, ②当PQ与△ABC的边平行时，请直接写 求EC的长； 出x的取值范围. (2)AB=5 cm,AD=2 cm,AC=4 cm, 求EC的长. 3.晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏 路灯AB,CD的照射下，地面上形成了他 的两个影子EH,EG.已知光源B,D的高 通用通法 均为10m,小凯的身高E℉为1.5m,两盏路 (1)若已知条件中有平行线，求两条线 灯相距40m,A,C,E,G,H在同一平面内. 段的比或某条线段的长度，常考虑应用 (1)当影子EG长为6m时，求此时小凯到 平行线分线段成比例的性质求解： 路灯CD的距离EC; (2)应用定理时，看清平行线组，找准对 (2)连接GH,判断GH与AC的位置关 应线段，防止出错。 系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中GH最 2.如图1、图2，在△ABC中，AB=AC=5, 长达到9m,直接写出小凯跳起的最大 BC=8,点M,N分别在AB,BC上，且 高度。 AM=CN=2.点P从点M出发沿折线 MB一BN匀速移动，到达点N时停止；而 点Q在边AC上随点P移动，且始终保持 ∠APQ=∠B. M 图1 图2 (1)若点P在MB上. ①求证号侣， ②当PQ将△ABC的面积分成上下4：5 两部分时，求MP的长. 59 变式：（变换方法）小明和小华利用阳光下的 4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶 影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图 点的坐标分别是A(4,8),B(4,4),C(10, 所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测 4),△A,B,C1与△ABC关于原点O位 得该建筑物OB的影长OC为16m,OA 似，A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1,其 的影长OD为20m,小明的影长FG为 中B,的坐标是(2,2) 2.4m,其中O,C,D,F,G五点在同一直 (1)△A1B,C1和△ABC的相似比是： 线上，A,B,O三点在同一直线上，且AO (2)请画出△A:B,C: ⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为 (3)BC边上有一点M(a,b),在B,C1边上 1.8m,求旗杆的高AB. 与点M对应点的坐标是 (4)△A,B,C1的面积是 91 2 -202345中89123x 变式：（原点异侧）如图，在平面直角坐标系 中，△ABC与△A'B'C位似，位似中心为 原点O,相似比为1：2，若点C(一2,3)，则 点C的坐标为 A.(6,-3) B.(3,-6) 通用通法 C.(4,-6) D.(6,-4) 应用三角形相似解决实际问题的步骤： 通用通法 (1)建立数学模型，把实际问题转化为 (1)确定位似中心的方法：各对应点连 数学问题： 线所在直线的交点是位似中心：(2)以 (2)找到相似三角形并证明： 一点为位似中心把图形放大或缩小时， (3)由相似三角形对应边成比例列出等 要考虑到两种情况：位似图形在位似中 式，代入数据计算： 心的同侧：位似图形在位似中心的两 (4)不能直接计算时可设出未知数，列 侧.所作出的两个位似图形关于位似中 方程求解 心成中心对称 60