第4模块 第15讲 三角形的基本性质及全等三角形 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

第15讲三角形的基本性质及全等三角形 【2022课标要求】 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性， 2.探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角 的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 10.探索并证明三角形的中位线定理. 河北中考，考点梳理 考点一、三角形的概念和分类 1.定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段① 相接所组成的图形叫作三 角形， 2.三角形的分类 三边都不相等的三角形 温馨提示：等边三角形 (1)按边分类：三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 属于等腰三角形，具有 ② 三角形 等腰三角形的一切 锐角三角形 性质 (2)按角分类：三角形③ 钝角三角形 考点二、三角形的边和角的关系☆重点 1.三边关系：三角形的任意两边之和④ 第三边，任意两边之差⑤ 第三边. 2.角的性质 (1)内角和定理：三角形的内角和等于⑥ 温馨提示：三角形的外角大 (2)外角和定理：三角形的外角和等于⑦ 于与它“不相邻”的内角，与 (3)三角形的一个外角等于与它⑧ 的两个内角之和. 其“相邻”的内角是互补的. (4)三角形的一个外角⑨ 与它不相邻的任何一个 内角 54 3.三角形具有稳定性。 考点三、与三角形有关的重要线段 名称 性质 三条角平分线的交点叫作三角形的⑩ 它到三角形① 的距离 角平分线 相等 中线 三角形的一条中线平分三角形的面积 锐角三角形的三条高都在三角形② :直角三角形有两条高和 高线 3 重合：钝角三角形有两条高在三角形@ 中位线 中位线平行于第三边，且等于第三边的⑤ 温馨提示：(1)三角形的角平分线是线段不是射线；(2)三角形的一条中线可以把三角形分成 两个等底同高的三前形 考点四、全等三角形☆重点 1.全等形的定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形. 2.全等三角形的定义 温馨提示：平移或旋转 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 前后的图形是全等图 3.全等三角形的性质 形，故对应的角相等，对 (1)全等三角形的对应边 ,对应角⑦ 应的边相等. (2)全等三角形的对应边的中线相等，对应角的角平分线相等，对应边的高线相等。 (3)全等三角形的周长⑧ ,面积四 4.全等三角形的判定 (1)三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” (2)两边和它们的@ 分别相等的两个三角形全等，简写成失分警示：两边和其 “边角边”或“SAS”. 中一条边的对角分别 (3)两角和它们的① 分别相等的两个三角形全等，简写成相等的两个三角形不 “角边角”或“ASA” 一定全等。 (4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. (5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”. 自主复习·方法提炼 1.如果一个三角形的一边长为5cm,另一边 的周长，并指出它是什么三角形（按边分 长为2cm,若第三边长为xcm. 类). (1)第三边x的范围为 (3)当第三边长为偶数时，求出这个三角形 (2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形 的周长. 55 (4)若AB=2cm,BC=5cm,已知BD是 3.(2024河北邢台模拟)(1)【问题情境】课外 △ABC的中线，△ABD的周长为9cm,求 兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如 △BCD的周长. 图1.在△ABC中，若AB=13,AC=9,求 (5)化简|x+1-x-8-2.x-2. BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的 解决方法，延长AD至点E,使DE=AD, 连接BE,容易证得△ADC≌△EDB,再由 “三角形的三边关系”可求得AD的取值范 通用通法 围是 (1)判断三条线段能否组成三角形，关 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条 键看这三条线段长度是否满足较小的 件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分 两条线段长度之和大于最长的线段 散的已知条件和所求证的结论集中到同一 长度： 个三角形之中， (2)已知三角形两边长度求第三边长度 (2)【初步运用】如图2，AD是△ABC的中 范围的方法：根摇三角形三边关系列出 线，BE交AC于点E,交AD于点F,且 不等式组，然后解不等式组，确定取值 ∠FAE=∠AFE.若AE=4,EC=3,求线 范围， 段BF的长. 2.如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D (3)【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为 在边AB上（不与点A,B重合），CD与 BC的中点，DE⊥DF分别交AB,AC于 BE交于点O. 点E,F.求证：BE十CF>EF. (1)若CD是中线，BC=4,AC=3,则 △BCD与△ACD的周长差为 (2)若∠ABC=64°，CD是高，求∠BOC的 图1 图2 度数： (3)若∠A=80°，CD是角平分线，求 ∠BOC的度数. 图3 56@∠COD=z(∠M0N+∠AOB),理由如下： (3):∠1=∠2， .AB∥EF, OC和OD分别平分∠AOM和∠BON, .∠FEA+∠MAE=180. ∴∠A0c-∠A0M,∠0D-号 ∠BON. :EG平分∠AEC, ∴.∠CEG=∠AEG=∠FEA+∠FEG, :∠A0c+∠B0D=7∠A0M+号 ∠BON= ∴.∠FEC=∠CEG+∠FEG=2∠FEG+∠FEA. ABCD,AB∥EF. 号（∠AOM+∠B0N. ∴.EFCD, ∴.∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB .∠FEC+∠NCE=180°， 1 ∴.2∠FEG+∠FEA+∠NCE=180, =2(∠AOM+∠BON)+∠AOB ∴.∠MAE+∠FEA=2∠FEG+∠NCE+∠FEA, =∠NON-∠AOB)+∠AOB. .∠MAE=2∠FEG+∠NCE. 3.解：选取①②作为已知条件，能说明③成立， -∠AMON+∠A0B, .AE平分∠BAC, ∴.∠CAE=∠BAE. (3)∠M0N=150°.∠AOB=30°. :∠CAE=∠CEA, .∠AOM+∠B0N=120°， ∠BAE=∠CEA, :∠MOC=n∠AOC,∠NOD=k∠BOD, ..AB//CD. .∠AOM=∠MOC+∠AOC=(1+m)∠AOC, 故答案为①，@，③ ∠BON=∠NOD+∠BOD=(1+m)∠BOD, 选取①③作为已知条件，能就明②成立， ÷∠A0C+∠B0D=120 m十1 :AE平分∠BAC, ∴∠CAE=∠BAE ∠COD-∠A0C+∠B0D+∠AOB=120 +7十30 AB∥CD, 2.解：(1)EF∥CD.理由如下： ∴∠BAE=∠CEA, '∠1=∠2. ∴.∠CAE=∠CEA. .AB∥EF, 故答案为①，③，②， ∴.∠AEF=∠MAE 选取@③作为已知条件，能说明①成立， '∠MAE=50°，∠FEG=10', AB//CD. .∠AEF=50°，∠AEG=∠AEF+∠FEG=60. ∴∠BAE=∠CEA. :EG平分∠AEC, ∠CAE=∠CEA. .∠CEG=∠AEG=60, ·∠BAE=∠CAE, .∠CEF=∠CEG+∠FEG=60°+10°=70. ·AE平分∠BAC. :∠NCE=70°， 故答案为②，③，①. .∠NCE=∠CEF, 第15讲三角形的基本性质及全等三角形 ∴.EFCD (2).∠1=∠2， 【河北中考·考点梳理】 ∴AB∥EF, ①首尾顺次②等边③直角三角形④大于⑤小于 ,∴.∠FEA十∠MAE=180 ©180°”⑦360°⑧不相邻@大于⑩内心0三边 ∠MAE=150°， ②内部⑧直角边⑧外部⑥一半B相等⑦相等 .∠FEA=30. ⑧相等⑧相等@夹角①夹边 ,EG平分∠AEC, 【自主复习·方法提炼】 .∠CEC=∠AEG=∠FEA+∠FEG=∠FEG+3O°， 1.解：(1)根据三角形两边的和大于第三边，则x<5十2， ∴.∠FEC=∠CEG+∠FEG=2∠FEG+30. 即x<7. AB//CD.AB//EF. 根据三角形两边的差小于第三边，则5一2<x,即3<x, ..EF//CD. 综上所述，3<x<7. .∠NCE+∠FC=180. 故答聚为3<x<7. ∠NCE=80°， (2)第三边的长为奇数 .2∠FEG+30°+80°=180°， 第三边的长为5cm, .∠FEG=35 ∴.三角形的周长=5十5十2=12(cm). 12 :三角形两条边的长为5cm,另外一条边的长为2cm, :AD是△ABC中线， 这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形. ∴.BD=DC: (3)第三边长为偶数，设第三边的长为xcm,则根据题 DC=BD. 意可得5一2<x<5十2，即3x7,.r的位为4或6，当 在△ADC和△MDB中，∠AIDC=∠BDM, x=4时，这个三角形的周长为5+4+2=11(cm),当x=6 AD-DM. 时，这个三角形的周长为5十6+2=13(m).即当这个三角形 ,.△ADC≌AMDB(SAS). 第三边的长是偶数时，这个三角形的同长为11cm或13cm .BM=AC,∠CAD=∠M. (4)若AB=2cm,BC=5cm,已知BD是△ABC的中线， N∠AFE=∠FAE △ABD的周长为9cm,则BD十AD=BD十DC=9一2 ∴.AE=EF=4. 7(cm),于是△BCD的周长为BC+BD+DC=5+7=12(m), .AC=AE+CE=7, (5)由(1)可知3<r<7,于是x十1一x-8|一2x一21=x .BM=AC=7. +1-(8-x)-2(.x-2)=x+1-8+x-2x+4=-3. ∴∠CAD=∠AFE. 2.解：(1)，CD是中线..BD=AD, :∠AFE=∠BFD, BC=4,AC=3. ∴∠BFD=∠CAD=∠M, ∴.C△mn=BC+BD+CD=4+AD+CD,C△m=AD+ ∴BF=BM=AC.即BF=7. CD+AC-3+AD+CD. (3)证明：如图3，延长ED到点G,使GD=ED,连接 六Camn一C2w=1, CG.GF. 故答案为1. (2),CD是△ABC的高， .∠CDB=90 :∠ABC=64°，BE是△ABC的角平分线， ∠ABE=号∠ABC-×64=32 图3 D是BC边上的中点， ∴.∠BOC=∠CDB+∠ABE=90°+32=122 ∴CD=BD (3)∠A=80, GD-ED. ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°. 在△CDG和△BDE中， ∠CDG=∠BDE. :BE,CD是△ABC的角平分线， CD=BD. ·.∠OBC= ∠ABC,∠OcB= 1 2∠ACB, .△CDG2△BDE(SAS). .CG-BE. 1 ∠0BC+∠0CB=z(∠ABc+∠ACB)=2X10=50C, CG+CF>GF. ∴.∠B0C=180°-（∠OBC+∠0CB)=180°-50°=130. .BE+CF>GF 3.(1)解：延长AD至点E,使DE= DE⊥DF,GD=ED, AD,连接BE,如图1， .DF垂直平分EG, 在△ADC和△EDB中， .GF-EF, DC=BD, .BE+CF>EF ∠ADC=∠BDE. 第16讲 相似三角形 AD=DE. .△ADC≌△EDB(SAS)· 【河北中考·考点梳理】 ..BE=AC=9. G①x ④成比例⑤成比例⑤相等 AB-BE<AE<AB+BE .4<AE<22,.2<AD<11. ⑦成比例⑧相等⑨成比例⑩相似①成比例②夹角 故答案为2<AD<11. ⑧角图成比例0相似比⑥相似比⑦相似比的平方 (2)解：延长AD到点M,使AD=DM,连接BM,如图2， ⑥相似四位似中心@同一点①同一条直线上 @(kx,ky)@(一kxr,一ky) 【自主复习·方法提炼】 1.解：(1)AD∥BECF, 提膘-号 DE 2 图2 六DE+107 13