第4模块 第14讲 几何初步及平行线、相交线 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

(3)由题意：得W=(-之+10）)=-u-10)+ 把点A(一5,0)代入，得25a+6=0. 解得a= 5000. 25 :a= 2<0. 大孔抛物线的解新式为y=一云1+6， 又50<x<200. (2)当x=2时，y=- .当x=100,W最大，最大值为5000元. +6-×46- 25 2.解：(1)由题意可知：第一次灭火时水流最高点的坐标为 (3,12), -4.5 27 25 >0.5, 设水流所在抛物线的解析式为y=a(r一3)+12， 这粮船在正常水位时能安全通过拱桥大孔 ,点A(0.10)在抛物线上， (3)由NC=4m,可知点F的纵坐标为4， 6 6 ,10=a(0-3)2+12, 代入y= 云r+6,得-2522+6=4， 部得a一子 解得=士5 3 y=-号u-3)+12 答：消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为y一 南线对性可E为-)，点F为( -号-3y+12 ·EF=10 3 -m. (2)两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最 高点到高楼的水平距离均为3m, 答：大孔的水而宽度EF为10 3m. .可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为y一 第四模块 图形的认识与三角形 号-n+e 由题意可知被抛物线过点(12,0)， 第14讲几何初步及平行线、相交线 0-号2-3+… 【河北中考·考点梳理】 解得c=18, ①一条②线段③BM④平角⑤直角@60⑦60 y=-号-3r+18. ⑧相等⑨相等①一⑩内错角②同旁内角⑧一 相等⑤互补⑥题设结论⑥正确⑧错误 令x=0,则y=16, @假④结论②题设②反例④相等@角的平分线 .B(0,16). 上④相等@垂直平分线 A(0.10) 【自主复习·方法提炼】 .AB=16-10=6, 1.解：(1)，MN=30cm,AB=2cm,AM=16cm. 答：A,B之间的距离为6m .BN=MN-AB-AM=30-2-16=12(cm), (3)由题意，可知灭火过程中y与x始终满足y=a(x一 点C,D分别是AM,BN的中点， 3)1+h. AC=I AM=×16=8(cm,BD=2BN=×12 1 将(9,0)代入后可科0=36a+h, .h=-36a, =6(cm). .y=a(x-3)-36a. ,∴.CD=AC十AB十BD=8+6十2=16(cm). 当抛物线过，点(0,12)时，12=a(0一3)一36a, (2)①.OC和OD分别平分∠AOM和∠BON, 解得a=一子 六∠A0C=2∠A0M,∠B0D= 2∠BON. 当抛物线过点(0,18)时，18=a(0-3)2-36a, ·∠A0C+∠BOD=号∠A0M+专 ∠BON= 解得a=一3 2 吉∠AOM+∠ON. 又，∠M0N=150°，∠AOB=30°， 答：当水流最高，点到高接的水平距离始终为3m时，：的 ∴.∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB=150°-30 取位花调是-号<0<一吉 =120 ∴.∠AOC+∠BOD=60. 3.解：(1)设大孔抛物线的解析式为y=ax十6， ∴.∠COD=∠AOC+∠BOD十∠A(OB=60°+30°=90. @∠COD=z(∠M0N+∠AOB),理由如下： (3):∠1=∠2， .AB∥EF, OC和OD分别平分∠AOM和∠BON, .∠FEA+∠MAE=180. ∴∠A0c-∠A0M,∠0D-号 ∠BON. :EG平分∠AEC, ∴.∠CEG=∠AEG=∠FEA+∠FEG, :∠A0c+∠B0D=7∠A0M+号 ∠BON= ∴.∠FEC=∠CEG+∠FEG=2∠FEG+∠FEA. ABCD,AB∥EF. 号（∠AOM+∠B0N. ∴.EFCD, ∴.∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB .∠FEC+∠NCE=180°， 1 ∴.2∠FEG+∠FEA+∠NCE=180, =2(∠AOM+∠BON)+∠AOB ∴.∠MAE+∠FEA=2∠FEG+∠NCE+∠FEA, =∠NON-∠AOB)+∠AOB. .∠MAE=2∠FEG+∠NCE. 3.解：选取①②作为已知条件，能说明③成立， -∠AMON+∠A0B, .AE平分∠BAC, ∴.∠CAE=∠BAE. (3)∠M0N=150°.∠AOB=30°. :∠CAE=∠CEA, .∠AOM+∠B0N=120°， ∠BAE=∠CEA, :∠MOC=n∠AOC,∠NOD=k∠BOD, ..AB//CD. .∠AOM=∠MOC+∠AOC=(1+m)∠AOC, 故答案为①，@，③ ∠BON=∠NOD+∠BOD=(1+m)∠BOD, 选取①③作为已知条件，能就明②成立， ÷∠A0C+∠B0D=120 m十1 :AE平分∠BAC, ∴∠CAE=∠BAE ∠COD-∠A0C+∠B0D+∠AOB=120 +7十30 AB∥CD, 2.解：(1)EF∥CD.理由如下： ∴∠BAE=∠CEA, '∠1=∠2. ∴.∠CAE=∠CEA. .AB∥EF, 故答案为①，③，②， ∴.∠AEF=∠MAE 选取@③作为已知条件，能说明①成立， '∠MAE=50°，∠FEG=10', AB//CD. .∠AEF=50°，∠AEG=∠AEF+∠FEG=60. ∴∠BAE=∠CEA. :EG平分∠AEC, ∠CAE=∠CEA. .∠CEG=∠AEG=60, ·∠BAE=∠CAE, .∠CEF=∠CEG+∠FEG=60°+10°=70. ·AE平分∠BAC. :∠NCE=70°， 故答案为②，③，①. .∠NCE=∠CEF, 第15讲三角形的基本性质及全等三角形 ∴.EFCD (2).∠1=∠2， 【河北中考·考点梳理】 ∴AB∥EF, ①首尾顺次②等边③直角三角形④大于⑤小于 ,∴.∠FEA十∠MAE=180 ©180°”⑦360°⑧不相邻@大于⑩内心0三边 ∠MAE=150°， ②内部⑧直角边⑧外部⑥一半B相等⑦相等 .∠FEA=30. ⑧相等⑧相等@夹角①夹边 ,EG平分∠AEC, 【自主复习·方法提炼】 .∠CEC=∠AEG=∠FEA+∠FEG=∠FEG+3O°， 1.解：(1)根据三角形两边的和大于第三边，则x<5十2， ∴.∠FEC=∠CEG+∠FEG=2∠FEG+30. 即x<7. AB//CD.AB//EF. 根据三角形两边的差小于第三边，则5一2<x,即3<x, ..EF//CD. 综上所述，3<x<7. .∠NCE+∠FC=180. 故答聚为3<x<7. ∠NCE=80°， (2)第三边的长为奇数 .2∠FEG+30°+80°=180°， 第三边的长为5cm, .∠FEG=35 ∴.三角形的周长=5十5十2=12(cm). 12第四模块 图形的认识与三角形 国快体家包自 平行线 直线 三边关系 垂线H相交线 内角和、内外角关系 角平分线角 射线 几何初步 中线、高、角平分线、中位线 中点 线段 般三角形 稳定性 基本尺规作图 三角形 轴对称性 边 等腰（边 定义 三角形 角 性质 边 重要线段 斜 全等三角形 角 周长、面积 判定 四边形 线合 形 线 重要线段 应用 定义 直角三 角形 锐角三角函数 实际应用 性质 相似三角形 判定 图形的相似 位似 应用 第14讲 几何初步及平行线、相交线 【2022课标要求】 1.直线、射线、线段、角 (1)会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义. (2)掌握基本事实：两点确定一条直线 (3)掌握基本事实：两点之间线段最短. (4)理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离 (5)理解角的概念，能比较角的大小：认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算， 会计算角的和、差. 2.相交线与平行线 (1)理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角 (或等角)的补角相等的性质. (2)理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. (3)掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (4)理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离： -49 (5)识别同位角、内错角、同旁内角. (6)理解平行线的概念 (7)掌握平行线基本事实I:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. (8)掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线 平行 (9)探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角 互补)，那么这两条直线平行. (10)掌握平行线的性质定理I:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.·了解定理的 证明 (11)探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁 内角互补). (12)能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. (13)了解平行于同一条直线的两条直线平行. (14)理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 相等：反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上， (15)理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等：反之，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 3.定义、命题、定理 (1)通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义， (2)结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆 的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 (3)知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述 证明的过程，会用综合法的证明格式， (4)了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的. (5)通过实例体会反证法的含义 河北中考，考点梳理 考点一、直线、射线和线段 1.直线、射线和线段的区别与联系 端点 属性 表示方法 联系 直线 无 无长度，不可度量 用两个大写字母表示（射线的表 射线、线段是 示要注意：端点字母在前，方向字 射线 1个 无长度，不可度量 直线的一 母在后)，直线和线段也可以用一 部分 线段 2个 有长度，可度量 个小写字母表示 50 2.基本事实 (1)经过两点有一条直线，并且只有① 直线（两点确定一条直线）； (2)两点的所有连线中，② 最短（两点之间，线段最短） 3.两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫作这两点的距离. 4.线段的和与差：在线段AC上取一点B,则有AB+BC=AC;AB=AC一BC:BC=AC -AB. AB 5.线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB, 失分警示：所有的距离都 点M叫作线段AB的中点.几何语言：AM=③ =2AB, 是指相关线段的长度，不 要把线段当成距离。 B 考点二、角的有关概念 1.1周角=2④ =4⑤ =360°：1°=⑥ ',1'=⑦ 2.角平分线：从角顶点出发的一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平 分线。 3.余角和补角 定义 如果两个角的和等于90°，那么这两个角互余 余角 性质 同角或等角的余角⑧ 定义 如果两个角的和等于180°，那么这两个角互补 补角 性质 同角或等角的补角⑨ 温馨提示：互余（或互补）都是针对两个角而言，它们反映的是角的数量关系，与位置无关， 考点三、相交线与垂线 1.对顶角的性质：对顶角相等. 2.邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和等于180°. 温馨提示：对顶角是成 3.垂线的性质 对出现的同时具有特殊 (1)在同一平面内，过一点有且只有⑩ 条直线与已知直线位置关系和数量关系 垂直 的角. (2)垂线段最短. 温馨提示：(1)垂线是一条直线，不可度量长度；(2)垂线段是一条线段，可度量长度；(3)，点 到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 4.“三线八角” 如右图，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是① ,∠2与∠4是 ② 51 考点四、平行线的性质及判定 平行 公理 经过直线外一点，有且只有⑧ 条直线与这条直线平行 基本事实 推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (1)两直线平行台同位角相等： 性质和判定 (2)两直线平行台内错角④ (3)两直线平行台同旁内角⑤ 两平行线间的距离 两条平行线之间的距离处处相等 温馨提示：平行线的判定是由角的教量关系判断两直线的位置关系：平行线的性质是由平 行关系来寻找角的数量关系 考点五、命题与反证法 1.命题：判断一件事情的语句叫作命题，它包括⑥ 和⑦ 两部分.⑧ 的命题叫真命题，© 的命题叫@ 命题 2.互逆命题：两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的④ ,第一个命题的结论 是第二个命题的② ,那么这两个命题叫互逆命题 3.逆定理：将一个定理的条件和结论互换所得的定理，就是原来定理的逆定理 4.判断真命题需要推理证明，判断假命题只需举出一个② 温馨提示：命题一定有 5.反证法：不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不递命题，递命题的真假 成立，由此推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原与原命题无关 命题成立的方法 考点六、角平分线与线段垂直平分线 1.角平分线性质定理及其逆定理 (1)角的平分线上的点到角两边的距离④ (2)角的内部到角两边的距离相等的点在 西 温馨提示：（门）三角形三个内角的平分线交于 2.线段垂直平分线性质定理及其逆定理 一点（即内心），这一点到三角形三边的距离 (1)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点相等：(2)三角形三边的垂直平分线交于同一 的距离团 点（即外心），这一点到三角形三个顶点的距 (2)到线段两端点距离相等的点在这条线段的 离相等 ⑩ 上 自主复习方法提炼 1.【特例感知】 AM=16cm,求CD: (1)如图1，已知线段MN=30cm,AB= 【知识迁移】 2cm,点C,D分别是AM,BN的中点.若 (2)我们发现角的很多规律和线段一样.如 52 图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射 【问题探究】 线OC和射线OD分别平分∠AOM (1)如图1，∠MAE=50°，∠FEG=10°， 和∠BON. ∠VCE=70°，试判断EF与CD的位置关 ①若∠MON=150°，∠AOB=30°，求 系，并说明理由： ∠COD的度数. 【问题解决】 ②请你猜想∠AOB,∠COD和∠MON三 (2)如图2，∠MAE=150°，当AB∥CD, 个角有怎样的数量关系，并说明理由 ∠VCE=80时，求∠FEG的度数： 【类比探究】 【问题拓展】 (3)如图3，∠AOB在∠MON内部转动， (3)如图2，若AB∥CD,试说明∠MAE= 若∠MON=150°，∠AOB=30°，∠MOC 2∠FEG+∠NCE. =m∠AOC,∠NOD=m∠BOD,求 ∠COD的度数.（用含有m的式子直接表 示计算结果) MC AB D N 图1 图2 图3 3.如图，在①AE平分 ∠BAC,②∠CAE =∠CEA,③AB∥ D CD中试选取其中两个作为已知条件，能 够说明剩下的第三个成立 你选取 和 作为已知条 件，能说明 成立（填写序号）：并说 明其成立的理由. 2.【问题情境】已知，∠1=∠2，EG平分 ∠AEC交BD于点G. M 图 图2 53