第3模块 第13讲 二次函数的实际应用 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出 通用通法 关于x的不等式一x2+m.x≤x+b的 一元二次方程和一元二次不等式都是 解集。 二次函数的特殊情况，若y一0，二次函 (3)若关于x的方程一x2+m.x=n在一1 数为一元二次方程：若y>0或y<0, ≤x≤2的范围内只有一个实数根或两个 二次函数为一元二次不等式，因此结合 相等的实数根，直接写出的取值范围. 二次函数图象所提供的信息，可直接写 出相应方程（或不等式）的解（或解集） (1)若顶点在原点，可设为y=ax: (2)若对称轴是y轴（或顶点在y轴 上)，可设为y=a.x+c: (3)若顶点在x轴上，可设为y=4(x -h): (4)若抛物线过原点，可设为y=4x +b.x5 (5)若已知任意三个点的坐标，可设为 y=ax+bx+c: (6)若已知顶点(h,k),可设为顶点式 y=a(x-h)+k; (7)若已知抛物线与x轴的两交点坐 标为(x1,0),(x,0),可设为交点式 y=4(x-x1)(x-xg). 第13讲 二次函数的实际应用 【2022课标要求】 会利用二次函数解决实际问题. 河北中考，考点梳理 考点、二次函数的应用☆重点 1.二次函数y=a.x2+b.x十c的最值 (1)如果a>0,当x=① 时，函数有最小值，最小值为y=② (2)如果a<0,当x=③ 时，函数有最大值，最大值为y=④ 46 2.常见的问题 常见类型 关键步骤 建立方便求解析式的平面直角坐标系，找到图象上三点的坐标，用待定 抛物线型问题 系数法求二次函数的解析式 厘清各个量之间的关系，找出等量关系求得解析式，根据要求确定函数 销售利润问题 的最值或建立方程求解 利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值 图形面积问题 或建立方程求解 温馨提示：(1)求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对 称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值在自变量取值的端，点处取得： (2)建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式， 自主复习，方法提炼 1.(2024河北邢台威县模拟)某超市一段时 通用通法 期内对某种商品经销情况进行统计分析： 应用二次函数模型解决实际问题的 得到该商品的销售数量P(件)由基础销售 步骤： 量与浮动销售量两个部分组成，其中基本 (1)根据题意确定二次函效的解析式； 销售量保持不变，浮动销售量与售价 (2)根据已知条件确定自变量的取值 x(元/件，50<x<200)成正比例，销售过 范围： 程中得到的部分数据如下： (3)利用二次函数的性质和自变量的取 值范围确定最大（小）值，注意二次函数 售价x 8 10 的最大值不一定是实际问题的最大值。 销售数量P 96 95 要结合自变量的取值范围确定最值。 (1)求P与x之间的函数关系式： (2)当该商品销售数量为40件时，求每件 2.(2024河北邯郸丛台区模拟)高楼火灾越 来越受到重视，某区消防中队开展消防技 商品的售价： (3)设销售总额为W,求W的最大值. 能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10m 的点A和其正上方点B处各设置了一个 火源.消防员来到火源正前方，水枪喷出的 水流看作抛物线的一部分（水流出口与地 面的距离忽略不计)，第一次灭火时，站在 水平地面上的点C处，水流恰好到达点A 处，且水流的最大高度为12m.待A处火 47 熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进 3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线 行第二次灭火，使水流恰好到达点B处， 形，两个小孔形状、大小都相同.正常水位 已知点D到高楼的水平距离为12m,假设 时，大孔水面宽度AB为10m,顶点M距 两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距 水面6m(即MO=6m),小孔顶点V距水 离均为3m.建立如图所示的平面直角坐 面4m(即NC=4m),建立如图所示的平 标系 面直角坐标系。 (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物 (1)求出大孔抛物线的解析式： 线的解析式： (2)现有一艘船高度是4.5m,宽度是4m, (2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状 为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少 相同，求A,B之间的距离； 0.5m,则这艘船在正常水位时能否安全通 (3)若消防员站在到高楼水平距离为9m 过拱桥大孔？ 的地方，想要扑灭距地面高度12~18m范 (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此 围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平 时大孔的水面宽度EF 距离始终为3m时，直接写出a的取值 ↑y/m 范围 */m x/m B 10A O3 CD x/m 通用通法 解决批物线型实际问题： (1)用侍定系数法确定抛物线解析式： (2)把实际问题转化为点的坐标，代入 解析式求解。 483)当x=4时，y=之×-4+2=6， 4.解：(1)由题意，将点C(0,-2)代入y=x+b,得b=-2, .y=.x-2. ∴点E的坐标为(4,6). 当y=0时，x-2=0,解得x=2, 设直线AD的解析式为y=dr十. 点B(2,0). 3 ”点A的坐标为(1,2)点D的坐标为(22)， 将点B(2,0)代入y=-x2+m.x得-2+2m=0, .解得m=2. 「3 抛物线的解析式为y=一x+2r。 2=2d+n. y=-x2+2x=-(x-1)+1, .顶点坐标为(1,1). (2):直线y=x-2与抛物线y=一x2+2x的交点在第 n=1. 三象限， 直线AD的解新式为y=号十1 .-x2+2x=x-2. x=2(不符合题意，舍去)或x=一1， 1 1 当x=0时y=2x+1=2×0+1=1 .y=-3. .点A的坐标为（一1，一3）. 2-1=1. 观察图象，得不等式一x十m.x≤x十b的解集为x≤一1 ,图象W向下平移1个单位长度时，点C在直线AD上 或x≥2. 1 1 当r=4时，y=27+1=2×4+1=3, (3)由题意，方程一x十mx=n在一1≤x≤2的范围内只 有一个实数根可以理解为抛物线y=一x+2x与直线y 6-3=3. =n在一1≤x≤2的范围内只有一个交点. ,图象W向下平移3个单位长废时，点E在直线AD上， ∴，当1<m≤3时，图象W向下平移m个单位长度与直线 AD有唯一的公共点 变式：C 3.解：(1)y=x+br十c. 当6=2.c=-3时，y=x2+2xr-3=(x+1)2-4, 知图，当一3≤n<0时，直线y=n与抛物线y=一x+2x ,顶点C的坐标为（一1，一4）： 始终只有一个交点： 当y=0时，x+2r-3=0,脚(x+3)(r-1)=0, 当直线y■n经过抛物线顶点时，直线y=n与批物线y 解得x1=一3，x:=1, -x+2x只有一个交点， .A(3.0),B(1.0). .n的取值范围为一3≤n<0或n=1. (2)①抛物线恰好经过P,Q两点， 剩-6+c=10. 第13讲 二次函数的实际应用 116+4b+c=0 【河北中考·考点梳理】 b=-5, 解得 c=4. 0-品 ac-b ③一2a Aa ②当c=-1时，y=x”十x-1. 【自主复习·方法提炼】 当x=0时，y=-1, 1,解：(1)由题意，设P=b十kx, .抛扬线过点(0，一1)， 又，当x=8时，P=96,x=10时，P=95, 当x=-1时，y=1-b-1=-b, (96=b十8k, 当点（一1，一b)在点P上方，或与点P重合时，抛物线与 195=b+10k 线段PQ有公共，点， h=100, 即-b≥10， 1 解得b≤一10： k=一2· 当x=4时，y=16+4b-1=4b+15, P=一 当点(4,15十4b)在点Q上方，或与，点Q重合时，抛物线与 2x+100. 线段PQ有公共，点， (2)由题意.得40= 2r+100, 中15+h≥06≥-只 .x=120 等上6C-10或修-点 答：该商品销售数量为40件时，每件商品的售价为 120元. 10 (3)由题意：得W=(-之+10）)=-u-10)+ 把点A(一5,0)代入，得25a+6=0. 解得a= 5000. 25 :a= 2<0. 大孔抛物线的解新式为y=一云1+6， 又50<x<200. (2)当x=2时，y=- .当x=100,W最大，最大值为5000元. +6-×46- 25 2.解：(1)由题意可知：第一次灭火时水流最高点的坐标为 (3,12), -4.5 27 25 >0.5, 设水流所在抛物线的解析式为y=a(r一3)+12， 这粮船在正常水位时能安全通过拱桥大孔 ,点A(0.10)在抛物线上， (3)由NC=4m,可知点F的纵坐标为4， 6 6 ,10=a(0-3)2+12, 代入y= 云r+6,得-2522+6=4， 部得a一子 解得=士5 3 y=-号u-3)+12 答：消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为y一 南线对性可E为-)，点F为( -号-3y+12 ·EF=10 3 -m. (2)两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最 高点到高楼的水平距离均为3m, 答：大孔的水而宽度EF为10 3m. .可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为y一 第四模块 图形的认识与三角形 号-n+e 由题意可知被抛物线过点(12,0)， 第14讲几何初步及平行线、相交线 0-号2-3+… 【河北中考·考点梳理】 解得c=18, ①一条②线段③BM④平角⑤直角@60⑦60 y=-号-3r+18. ⑧相等⑨相等①一⑩内错角②同旁内角⑧一 相等⑤互补⑥题设结论⑥正确⑧错误 令x=0,则y=16, @假④结论②题设②反例④相等@角的平分线 .B(0,16). 上④相等@垂直平分线 A(0.10) 【自主复习·方法提炼】 .AB=16-10=6, 1.解：(1)，MN=30cm,AB=2cm,AM=16cm. 答：A,B之间的距离为6m .BN=MN-AB-AM=30-2-16=12(cm), (3)由题意，可知灭火过程中y与x始终满足y=a(x一 点C,D分别是AM,BN的中点， 3)1+h. AC=I AM=×16=8(cm,BD=2BN=×12 1 将(9,0)代入后可科0=36a+h, .h=-36a, =6(cm). .y=a(x-3)-36a. ,∴.CD=AC十AB十BD=8+6十2=16(cm). 当抛物线过，点(0,12)时，12=a(0一3)一36a, (2)①.OC和OD分别平分∠AOM和∠BON, 解得a=一子 六∠A0C=2∠A0M,∠B0D= 2∠BON. 当抛物线过点(0,18)时，18=a(0-3)2-36a, ·∠A0C+∠BOD=号∠A0M+专 ∠BON= 解得a=一3 2 吉∠AOM+∠ON. 又，∠M0N=150°，∠AOB=30°， 答：当水流最高，点到高接的水平距离始终为3m时，：的 ∴.∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB=150°-30 取位花调是-号<0<一吉 =120 ∴.∠AOC+∠BOD=60. 3.解：(1)设大孔抛物线的解析式为y=ax十6， ∴.∠COD=∠AOC+∠BOD十∠A(OB=60°+30°=90.