第3模块 第12讲 二次函数的图象和性质 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

2.(2024河南洛阳洛龙区一摸)在实验课上， (1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于 小明做了一个实验.如图，在仪器左边托盘 x的函数图象； A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B (2)观察函数图象，并结合表中的数据回答 (可左右移动)中放置一个可以装水的容 下列问题： 器，容器的质量为5g.在容器中加人一定 ①直接写出y,关于x的函数解析式； 质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘 ②当0<x≤60时，y1随x的增大而 B与点C的距离x(cm)(0<x≤60)，记录 (填“增大”或“减小”)，y2随x的增 容器中加入的水的质量，得到下表： 大而 (填“增大”或“减小”)： 托盘B与点C ③y2的图象与y1的图象有什么位置 30 25 20 15 的距离x/cm 9 关系？ 容器与水的 10 12 15 20 30 ④求y?关于x的函数解析式： 总质量y:/g 加入的水的 (3)若在容器中加入的水的质量y:(g)满 10 15 25 质量y:/g 足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离 把表中的x与y1各组对应值作为点的坐 x(cm)的取值范围. 标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用 光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y 关于x的函数图象。 25 20 10A 51015202530x(cm) 图 图2 第12讲 二次函数的图象和性质 【2022课标要求】 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义， 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称 轴的关系. 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值. 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 河北中考，考点梳理 考点一、二次函数的概念 1.形如y=a.x2十bx十c(a,b,c为常数，a≠0)的函数叫作二次函数，其中x是自变量. 41 失分警示：利用二次函数的定义解题时，尤其是含有字母系数的函数，应特别留意二次项的 系数4是否为0. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx十c(a,b,c是常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x一h)2十k(a,h,k是常数，a≠0)，其中顶点坐标为① ,对称轴 为② ,当x=h时，y有最值为③ (3)交点式：y=a(x一x1)(x-xz)(a,x1,x2为常数，a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴交 点的横坐标。 考点二、二次函数y=a.x”十bx十c的图象和性质☆重点 a a>0 a<0 y 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=④ 顶点坐标 ⑤ 最值 当x= 时w有最小值为⑥ b 当x= 2a时y有最大值为⑦ 在对称轴的左侧，即x< 2a时，y 在对称轴的左侧，即x< 2a时y随x的 随x的增大而⑧ 增大而① 增减性 b 在对称轴的右侧，即x>一 时，y b 在对称轴的右侧，即x>一 时y随x的 随x的增大而⑨ 增大而① 温馨提示：讨论二次函数的增减性，一定要指明是在对称轴的左边还是右边， 考点三、二次函数一般式中的系数与函数图象的关系 a>0台抛物线开口向上： 决定抛物线开口方向 a<0台→抛物线开口向下 b=0台对称轴为y轴 决定抛物线对称轴的 b,a ab>0(a,b同号)台对称轴在y轴左侧左同右异零中间 位置 ab<0(a,b异号)台对称轴在y轴右侧 c=0台→抛物线过点(0,0)： 决定抛物线与y轴交 c>0台抛物线与y轴交于正半轴： 点的位置 c<0→抛物线与y轴交于负半轴 42 考点四、二次函数y=a(x一h)P十k的平移 平移前的解析式 方向和距离(m>0,n>0) 平移后 规律总结 向左平移m个单位长度 y=@ x左加右减 y=a(x-h)'+ 向右平移m个单位长度 y=3 k(a≠0) 向上平移n个单位长度 y=0 表达式右侧 向下平移n个单位长度 y=⑤ 整体上加下减 温馨提示：平移前后，抛物线的开口方向、开口大小不变，即口的值不变，只是顶点坐标发生 了变化，因此可以用点的平移来代替抛物线的平移， 考点五、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 (1)二次函数y=a.x2十b.x十c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程a.x2+ bx十c=0的两个根. (2)当△=b2一4ac>0时，抛物线与x轴有G 个不同的公共点：当△=b2一4ac=0时， 抛物线与x轴有⑦个公共点：当△=b一4ac<0时，抛物线与x轴⑧ 公共点 2.二次函数与一元二次不等式的关系 设抛物线y=a.x2十bx十c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点(x1<x2),则不等式ax2+ bx十c>0的解集为x<x1或x>x,不等式ax2十bx十c<0的解集是x1<x<x2. 温馨提示：一元二次方程与一元二次不等式是二次函数y=4.r2十bx十c当y=0或y>0 (y<0)时的特殊情况， 考点六、用待定系数法确定二次函数的解析式☆重点 1.若已知抛物线上三点坐标，可设出一般式© ,利用待定系数法求得a,b,c. 2.若已知抛物线的顶点坐标，则可设出顶点式@ ,其中顶点为(h,k),对称轴为直 线x=h. 3.若已知抛物线与x轴的交点坐标，则可采用交点式@ ,其中与x轴的交点坐 标为(x1,0)和(x,0). 温馨提示：用待定系数法确定二次虽数解析式要先设出解析式，再列出有关系数的方程，求 出未知系数的值，最终解析式要化成一般式 43 自主复习·方法提炼 1.(2024河北石家庄新华区模拟)如图，x轴 变式：（由顶点式确定对称轴换为由两点式确 上依次有A,B,D,C四个点，且AB=BD 定对称轴)(2024河北沧州一模)若抛物线 =DC=2,从点A处向右上方沿抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(1,0),B(3, y=一(x+2)(x一6)发出一个带光的 0)两点，则抛物线的对称轴为直线() 点P A.x=1 B.x=2 (1)求点A的横坐标，且在图中补画出 C.x=3 D.x=4 y轴； 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= (2)通过计算说明点P是否会落在点C ax+bx+c(a≠0)的顶点为A(1,),且 处，并补全抛物线： (3)求抛物线的顶点坐标和对称轴： 经过点B(-1,),交y轴于点C,点D在 (4)在x轴上从左到右有两点E,F,且EF 抛物线上，且直线CD∥x轴. =2,从点F向上作GF⊥x轴，且GF=1, (1)求a,b,c的值： 在△GFE沿x轴左右平移时，必须保证沿 (2)求线段CD的长； 抛物线下落的点P能落在边EG(包括端 (3)过点(4,0)作平行于y轴的直线与抛物 点)上，直接写出点G横坐标的最大值与 线交于点E,抛物线在点C,E之间的部分 最小值. (包括点C,E)记作图象W,若图象W向 下平移m(m>0)个单位长度与直线AD 有唯一的公共点时，请求出m的取值 范围. A B D C E F 变式：（从一步平移到两步平移）将抛物线 次函数的图象与线段PQ有公共点，求淇 y=x2一2x十2所在的平面直角坐标系进 淇输入b的取值范围. 行平移，得到y=(x一3)2十2，下列平移正 确的是…() A.先向右平移2个单位长度，再向上平移 1个单位长度 B.先向左平移2个单位长度，再向上平移 1个单位长度 C.先向左平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度 D.先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度 通用通法 (1)平移顶点法：将原解析式顶点找出· 平移得到新顶点，代回顶点式得解 析式： (2)一般式直接法：左加右减自变量，上 加下减常数项· 通用通法 抛物线的图象与系数的关系： 3.(2024河北张家口一模)某课外小组利用 (1)由抛物线开口方向确定a的符号： 几何画板来研究二次函数的图象，给出二 (2)由对称轴的位置和4的符号确定b 次函数解析式y=x2+bx十c,通过输入不 的符号，若对称轴在y轴左侧，则a,b同 同的b,c的值，在几何画板的展示区内得 号：若对称轴在y轴右侧，则4，b异号： 到对应的图象。 (3)由抛物线与y轴交点的位置确定c (1)若输入b=2,c=一3，得到如图1所示 的图象，求顶点C的坐标及抛物线与x轴 的符号： (4)由抛物线与x轴的公共点个数确 的交点A,B的坐标： 定b一4ac的符号： (5)由图象上的点(1，a+b+c),(一1， a-b+c),(2,4a+2b+c),(-2,4a 0 2b十)等点的位夏确定对应点的纵坐 标的符号. 图1 图2 (2)已知点P(-1,10),Q(4,0). 4.(2024河南周口郸城四摸）如图，抛物线 ①若输入b,c的值后，得到如图2的图象 y=一x2+m.x与直线y=x十b交于点A 恰好经过P,Q两点，求出b,c的值： 和点B,直线AB与y轴交于点C(0,一2). ②淇淇输入b,嘉嘉输入c=一1，若得到二 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标. 45 (2)求点A的坐标，并结合图象直接写出 通用通法 关于x的不等式一x2+m.x≤x+b的 一元二次方程和一元二次不等式都是 解集。 二次函数的特殊情况，若y=0,二次函 (3)若关于x的方程一x2十m.x=n在一1 数为一元二次方程：若y>0或y<0, ≤x≤2的范围内只有一个实数根或两个 二次函数为一元二次不等式，因此结合 相等的实数根，直接写出的取值范围. 二次函数图象所提供的信息，可直接写 出相应方程（或不等式）的解（或解集） (1)若顶点在原点，可设为y=ax: (2)若对称轴是y轴（或顶点在y轴 上)，可设为y=a.x+c: (3)若顶点在x轴上，可设为y=4(x -h): (4)若抛物线过原点，可设为y=4x +b.x9 (5)若已知任意三个点的坐标，可设为 y=ax+bx+e: (6)若已知顶点(h,k),可设为顶点式 y=a(x-h)+k; (7)若已知抛物线与x轴的两交点坐 标为(x1,0),(x,0),可设为交点式 y=a(x-x)(x-x:). 第13讲二次函数的实际应用 【2022课标要求】 会利用二次函数解决实际问题. 河北中考 考点梳理 考点、二次函数的应用☆重点 1.二次函数y=a.x2十b.x十c的最值 (1)如果a>0,当x=① 时，函数有最小值，最小值为y=② (2)如果a<0,当x=③ 时，函数有最大值，最大值为y=④ 46null