第3模块 第10讲 一次函数及其应用 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

3.星期天早上8时，小莹骑车到郊外游玩，她 变式：（由图象确认信息变为由信息识别函数 离家的距离(km)与时间(h)的关系如图所 图象)（跨学科融合·化学）(2024河北沧 示，请根据图象回答下列问题. 州三模)为了响应国家“双减”政策，育华中 (1)小莹到达离家最远的地方是什么时间？ 学适当改变学习方式，通过各学科知识的 (2)她何时开始第一次休息？休息了多长 综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融 时间？ 会贯通的学习效果.如图，化学课上用pH (3)她可能在哪段时间休息，并吃午餐？ 表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时 (4)她骑车速度最快是在什么时候？车速 溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性，若 是多少？ 将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下 列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH +距离km) 与所加水的体积V之间对应关系的是… 30 25 20 15 PHt PH 10 5 A 089101112131415时间h) C. 通用通法 (1)实际间题的图象，要将实际间题情 境与函数图象相互转换，从图象的横、 纵两个方向分别获取信息，判断相应的 实际意义，运用数形结合的思想，找到 解题的途径； (2)动点问题的图象，要根据动点的路 径进行分段讨论，分别求出每一段的函 数解析式和自变量的取值范围，再根据 函数类型确定图象， 第10讲 一次函数及其应用 【2022课标要求】 L.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系 数法确定一次函数的表达式. 2.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx十b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象 的变化情况：理解正比例函数， 3.体会一次函数与二元一次方程的关系， 4.能用一次函数解决简单实际问题， 河北中考。考点梳理 考点一、正比例函数的图象和性质 1.定义：形如① (k是常数，k≠0)的函数 2.图象和性质 正比例函数 y=k.x(k≠0)，图象必经过原点(0,0) k>0,直线的倾斜方向为“/”，y k决定函数的倾 k<0,直线的倾斜方向为“\”，y随着 随着x的增大而② (形 斜方向和增减性 x的增大而③ (形如“捺”) 如“撇”) 图象 经过象限 第④ 象限 第⑤ 象限 考点二、一次函数的图象和性质☆重点 1.定义：形如⑥ (k,b是常数，k≠0)的函数. 失分警示：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 2.图象和性质 一次 y=kx+b(k≠0) 函数 k,b的 k>0 k<0 符号 b⑦0 b⑧ 0 b⑨ 0 b00 b① 0 b② 0 图象 位置 、二、三象限 一、三象限 一、三、四象限一、二、四象限 二、四象限 二、三、四象限 增减性 y随x的增大而⑧ y随x的增大而@ 温馨提示：图象不经过第一或第三象限，则<0：图象不经过第二或第四象限，则k>0. 3.直线y=k.x与y=kx十b的关系 直线y=kx十b可以看作由直线y=kx上下平移⑤ 个单位长度而得到.当b>0时， 向⑩平移：当b<0时，向⑦ 平移. -35 温馨提示：两直线平行一一次项系数k相等，且b不相等， 考点三、确定一次函数解析式☆重点 1.先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中⑧ ,从而得出函数解析式的方 法，叫作待定系数法。 2.由于一次函数y=k.x十b中有k和b两个待定系数，因此用待定系数法时需要根据两个条件 列二元一次方程组（以k和b为未知数）.解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 3.一次函数图象的平移 （1)直线y=kx十b向左平移m(m>0)个单位长度直线y=k(红十m)十6 x左加右减 (2)直线y=x十6向右平移mm>0)个单位长度，直线y=(:一m)十b （3)直线y=k红十b向上平移mm>0)个单位长度直线)=k红十b十n 解析式右侧整体上加下减 （④)直线y=红十6向下平移ma>0)个单位长度-直线)=红十6-n 考点四、一次函数与方程（组）、不等式的关系 元一次方程kx十b=0的根就是一次函数y=kx十b(k≠0)的 一次函数与一元一次方程 图象与x轴的交点的© 坐标 直线y=k:x十b和y=k2x十b,的交点坐标就是关于x,y的 次函数与二元一次方程组 方程组④ 的解 元一次不等式kx十b>0(或kx十b<0)的解集可以看作是一 次函数y=k.x十b当y④ 0(或y<0)时自变量x的取值范 一次函数与不等式 围或直线y=kx十b在x轴(y=0)上方（或下方）部分所对应的 x的取值范围 考点五、一次函数的应用☆重点 (1)函数图象是直线（或直线的一部分）： 判断等量关系为 (2)当自变量x“匀速”变化时，函数值y也呈现“匀速”变化，而且当自 一次函数的情况 变量x每增加1时，函数值y就相应变化k (1)最优方案或方案选择问题：常通过比较函数值的大小关系确定 方案： 常见类型 (2)利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值： 注意：根据实际情况确定变量的取值范围 36 自主复习，方法提炼 L.已知一次函数y=kx十b的图象经过点 2.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 (1,6),(-2,0). 7 y=2x+2的图象1，与y轴交于点A,一 (1)求一次函数y=kx十b的解析式： (2)图象与x轴的交点A的坐标是 次函数y2=kx十b的图象I2经过点(3,0) 与y轴的交点B的坐标是 和点(0，一3)，直线11与lg交于点E. (3)在如图所示的平面直角坐标系中，画出 (1)直接写出直线l2的解析式和点E 函数的图象： 坐标： (4)求出△AOB的面积： (2)直线1与x轴交于点B,直线l与y (5)利用图象直接写出：当y<0时，x的取 轴交于点C,则四边形OBEC的面积 值范围是 (6)若函数y=(2十1)x+m一3的图象 (3)结合图象直接写出：当x 时， 平行直线y=kx+b,求m的值. yi<yz; y (4)如图2，已知矩形MNPQ,PQ=2,NP =1,M(a,1),矩形MNPQ的边PQ在x 32 轴上平移，若矩形MNPQ与I2有交点，直 5-43-2-12345 接写出a的取值范围： 4 NM a.1) B 0 P C E 图1 图2 通用通法 用待定系数法求一次函数解析式的一 般步骤： (1)设出含有待定系数的函数解析式： (2)把已知条件代入函数解析式得到关 于待定系数的方程（组）： (3)解方程（组），求出待定系数： (4)将求出的侍定系数的值代回原函数 解析式。 37 3.(跨学科融合·物理)如图，平面直角坐标 距离： 系中有一矩形平台，平台下边缘与x轴重 (3)将②中平移后得到的屏幕MN所在位 合，高度为1，平台上的点光源A发射的光 置再向左平移1个单位长度至屏幕M'N', 线AB经过屏幕MN的下端点M(1,2)后 并调整点光源A的发射方向，使得光线经 照射到y轴平面镜上的点B(0,)处，屏 过平面镜反射后恰好经过屏幕的上端点 N',求此时光线与平面镜的交点B'的 幕MN∥y轴，点N的坐标为(1,6). 坐标 平 屏 面 B A平冒 A平台 0 备用图 (1)求点光源A的坐标： (2)①直接写出屏幕MN的中点的坐标： ②若将屏幕MN向右平移，使得光线AB 经过平面镜反射后恰好能照射到屏幕MN 的中点处，求需将屏幕MN向右平移的 第11讲反比例函数及其应用 【2022课标要求】 1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式， 2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y=二(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的 变化情况， 3.能用反比例函数解决简单实际问题， 河北中考，考点梳理 考点一、反比例函数的概念 1.一般地，形如① (k为常数，且k≠0)的函数称为反比例函数. 2.反比例函数的三种形式 温馨提示：反比例函数 (1y=(k为常数，k≠0). 解析式的三种形式实质 是一样的，只是表现形 (2)y=② (k为常数，k≠0). 式不同，根据情况灵活 (3)xy=k(k为常数，k≠0). 选用 38m=6, (4)小莹郊游过程中，各时间段的速度分别为 由B2C,=BC,, 810时，地度为15÷(10-8)=7.5（千米/时）： .B:C=B:C2. 10~10.5时，速度为0： (3)如图，当m=8时，△AB,C1与△A2BC:一边重合， 10.5~一12时，速度约为(30一15)÷(12一10.5)=10（千米/时）： 则BC:与B,C,重合， 12一13时，逸度为0： 13~15时，递度为30÷(15-13)=15（千米/时）： 地骑车速度最快是在13~15时，车递是15千米/时 变式：B I-C (B i(C.) 第10讲一次函数及其应用 6543-2-101146 △AB1C,≌△AzB,C, 【河北中考·考点梳理】 ∠A,=∠A,AC1=A:C. ①y=kx:②增大③减小①一、三⑤二，四@y=kx 在△AC,P和△AC,P中， +b⑦>⑧=⑨<⑩>①=吧<B增大 ∠A1=∠A2, 减小⑤b⑥上⑦下⑧未知的系数9横 ∠A,PC,-∠A:PC, @/y=k:r+h, @> AC=AC:: y=k:x十b2 .△AC1P≌△A,C,P, 【自主复习·方法提炼】 .PA=PA:. 1.解：(1)：一次西数y=kx十b的图象经过点(1.6).（一2,0）， (4),B,(一6+m,0),C(一2十m,0》, 六6=+，解好 k=2, .(一6十m)十（一2十m)=0, 0=-2k+b. b=4, .m=4. ∴.一次函数y=kx十b的解析式为y=2x十4. 当m=4时，点B:,C:的横坐标是正数4的两个不同的平 (2)一次函数y=2x+4. 方根. .当r=0时，y=4,当y=0时，x=一2. 变式：解：(1)如图，线段A1B,即为所求， ,函数图象与x轴的交于点A,与y轴的交于点B, (2)如图.OP即为所求. 点A的坐标为（一2,0），点B的坐标为(0,4)， 故答聚为(-2,0)，(0,4) (3)函数图象如图所示」 B 方+1234 2.解：(1)在这个变化过程中，y是x的函数 -2 -3 (2)能，根据题意，得 -5 y=50-102 1 1 (4)SaMw=20B·0A 答：y与x的函数关系式为y=50一 10, 1 (3)-10r+50≥0且x≥0， =2×4X2 =4. .0≤x≤500， (5)由图象，可得 答：自变量r的取值范国是0≤x≤500 当y<0时，x<一2. (4)当x=200时，y=30: 故答案为x<一2. 当x=320时.y=18. 答：汽车行驶了200km时，油箱中还剩余30L汽油，行驶 （6)由已知，可得2m十1=2，解得m=2 1 了320km时，油箱中还制余18L汽油， 1 3.解：观察题图可知： 北时m一3=立 5 —3——之4、故m—一. (1)小莹到达离家最远的地方是在12时. 2.解：(1)把点(3,0)和点(0，一3)代入一次函数y:=kx+b, (2)10时开始第一次休息：休息了0.5小时， 得 3k十b=0, (3)她可能在12~13时休息，并吃午餐. 6=-3, 解得/作=1， 点光源A的坐标为(3,1) b=-3. (2)①M(1,2),N(1,6). .直线1：的解析式为y:=x一3， .MN的中点的坐标为(1,4)， 7 =2+2 故答案为(1.4). 联立方程组，得 ②如图1，由随意知，直线AB经过MN的像M1V:的 y=r-3, 中点， 解得 x=-2, y=-5, .E(-2,-5). 面 (2)如图，连接0E 幕 M M y 0 图1 B 10 1 5 直线AB的解析式为y= 1 5 令y=4,则一2x十？=4 解得x=一3， 直线11与x轴交于点B.直线l2与y轴交于点C, .需将屏幕MN向右平移的距离为一（一3）一1=2. 六B点的坐标为（号0），C点的坐标为0，一3 (3)如图2，设M'N,'为M'N的停， 1 4 1 平 =S+S6E=×7X5+X3X2 N' N 武答家为习 平阁 O (3):直线11与1：交于点E(-2,-5), 图2 .当T<-2时，y<y 由题意可知，此时点N'的坐标为(2,6)，则点N,'(一2， 故答案为<一2. 6), (4)矩形MNPQ继续向右平移，当点Q在12上时，“的值 设直线AB'的解析式为y=k'x十b', 为3， 3k+6'=1, 将点A(3,1》,N:'(-一2,6)代入，得 矩形MVPQ鏟续向右平移，当点N在I:上时，x一3=1， 、-2k'+b=6. 解得x=4,即点N(4,1), 解得1， ,a的值为4+2=6. b'=4, 编上所遂，当3≤a≤6，矩形MNPQ与直线l:有交点. ∴.直线AB'的解析式为y=一x+4, 故答案为3≤a≤6. 将x=0代入y=一r十4，得y=4, 3.解：(1)设克线AB的解析式为y=kx十b, 点B的坐标为(0,4) 将点B(0,号)和M1.2)代入 第11讲反比例函数及其应用 「5 【河北中考·考点梳理】 2=k+b, 0y=← ②kr1③双曲线④>⑤<⑥减小 ①增大⑧原点⑨y=一x⑩0⑩接近®k| 解得 5 b=2 © 【自主复习·方法提炼】 “克线AB的解析式为y=一2x十 1 5 1.解：(1)由题意，设点P的坐标为(m,2) 15 ”点P在正比例面数y=x的图象上， 令y=1,期一+豆=1： ,2=m,即m=2. 解得r=3, .点P的坐标为(2,2).