第3模块 第9讲 函数初步 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

第三模块 函数及其图象 @块体家色国 位置 一般式 特殊形式 点的坐标特征 距离 系数的儿何意义上 平面直角坐标系 解析式 平移 点的坐标变换 待定系数法 对称 函数基础 概念 知识 形状 图象 自变量的 取值范围 函数 图象 位置（特殊点） 变换 解析式法 次函数 列表法 表示方法 二次函数 图象与系数的关系 图象法 反比例函数 增减性 求最值 性质 y与，函数图象交点 的横坐标 yy,的解 对称性 比较大小 y,图象在y,图象上方 函数与方程 方案选择 部分对应的x的范围 y>沙，的解集 不等式的关系 利润最值…… y图象在，图象下方 实际应用 抛物线形问题 部分对应的x的范周 y<,的解集 其他实际应用 第9讲 函数初步 【2022课标要求】 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义：了解函数的概念和表示法， 能举出函数的实例. 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析. 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值， 4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义， 5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论： 河北中考·考点流理 考点一、平面直角坐标系内点的坐标特征 1.定义：在平面内两条互相① 、原点② 的数轴组成平面直角坐标系，坐标平 面内的点与有序实数对③ 对应 30 2.点的坐标特征 点的位置 图示 坐标特征 ↑y 点P(x,y)在第一象限：x>0,y>0: 点在 (,+)(+,+) 点P(x,y)在第二象限：x④ 0,y⑤0： 象限内 0x 点P(x,y)在第三象限：x⑥ 0,y⑦0： ,-)(+-） 点P(x,y)在第四象限：x⑧ 0,y⑨0 点P(x,y)在x轴上：y=O 点在坐 0y)1 x,0) 点P(xy)在y轴上：x=0: 标轴上 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上台x=y=0 y x=n 平行于x轴的直线上的点台⑩ 坐标相同， 点在平行 (xm) ① 坐标为不相等的实数； 于坐标轴 y=1 0 平行于y轴的直线上的点台② 坐标相同， 的直线上 1,) B 坐标为不相等的实数 点在各象 B(b.-b) 点P(x,y)在第一，三象限的角平分线上台y=x; 限的角平 点P(x,y)在第二，四象限的角平分线上→ 分线上 温馨提示：(1)原，点既是工轴上的点，又是y轴上的点：(2)点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴或x轴上 考点二、点的坐标变换 类型 变换前 变换 变换后 平移 P(z.y) 向左（或右）平移m(m>0)个单位长度 P'(x-m,y)(或(x十m,y)) 变换 P(z.y) 向上（或下）平移n(>0)个单位长度 P'(x,y+n)(或(x,y-n) P(z.y) 关于x轴对称 P'(x.-y) 对称 P(z.y) 关于y轴对称 P'(-x,y) 变换 P(z.y) 关于原点对称 P'(-x,-y) 考点三、函数及其图象 1.自变量与函数：一般地，在某个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的⑤ 确 定的值，y都有⑥ 确定的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量， 31 温馨提示：理解函数时要注意：在一个变化过程中只有两个变量，而且变量y有唯一的值 与x的值对应 2.表示方法：列表法、解析式法和图象法。 3.函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 4.画函数图象的步骤：列表、描点、连线. 5.函数自变量的取值范围 类型 示例 自变量取值范围 整式型 如y=x一1 全体实数 分式型 1 如y= x+1 分母不为0(x⑦⑩ -1) 根式型 如y=√x-I 被开平方数大于或等于0(.x⑧ 1) 同时满足：①被开平方数大于或等于0：②分母不为0 分式十根式型 如y= 匠 (x0 0) 零指数幂或负 如y=x或y=x” 底数不为0 整数指数幂型 自主复习，方法提炼 1.如图，在平面直角坐标系中，△AB,C1与 △ABC关于y轴对称，将△ABC向右平 5引 移m个单位得到△A,B2C2,已知A(一3， 3引 4),B(-6,0),C(-2,0). 。430十方方4方 (1)在图中画出△A,B,C1: (2)m为何值时，点A1与A:重合？并说 明BC1=B,C: (3)m为何值时，△A1B,C1与△A2B2C2 哪一条边重合？若A,B1与A,B2交于P 点，请证明PA,=PA2; (4)m为何值时，点B2,C2的横坐标是某 正数的两个不同的平方根？ 32 通用通法 (2)能写出表示y与x的函数关系的式 (1)平移：左减右加，上加下减： 子吗？ (2)对称：点P(a,b)关于x轴的对称点 (3)这个变化过程中，自变量x的取值范围 为P(a,一b):关于y轴的对称点为 是什么？ P,(一a,b):关于原点的对称点为 (4)汽车行驶了200km时，油箱中还剩余 P,(一u,一b):关于y=x的对称点为 多少汽油？行驶了320km呢？ P,(b,a):关于y=一x的对称点为 P,(-b,-a). 变式：（由三角形的平移变为线段的平移） (2024安嫩合肥襟拟)如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中， 线段AB的顶点均在格点上（网格线的交 点). (1)将线段AB先向右平移2个单位长度， 再向下平移4个单位长度，得到线段 A,B1,请画出线段AB1(其中点A的对应 点为点A:): (2)借助网格过点O作出OP⊥AB,垂足 为P. 通用通法 确定函数自变量取值范围的方法： (1)解析式中有分式时，自变量要满足 分母不等于0： (2)解析式中有二次根式时，自变量要 2.一辆汽车油箱中现有汽油50L,它在高速 满足被开方数大于等于0： 公路上匀速行驶时每千米的耗油量固定不 (3)解析式中有零指数暴或负整数指数 变.行驶了100km时，油箱中剩余汽油 幂时，自变量要满足暴的底数不等于0： 40L.假设油箱中剩余的油量为y(单位： (4)解析式中有多种情况时，要分别求 L),已行驶的里程为x(单位：km). 各个部分的范围，再求其公共部分 (1)在这个变化过程中，y是x的函数吗？ 33 3.星期天早上8时，小莹骑车到郊外游玩，她 变式：（由图象确认信息变为由信息识别函数 离家的距离(km)与时间(h)的关系如图所 图象)（跨学科融合·化学）(2024河北沧 示，请根据图象回答下列问题. 州三模)为了响应国家“双减”政策，育华中 (1)小莹到达离家最远的地方是什么时间？ 学适当改变学习方式，通过各学科知识的 (2)她何时开始第一次休息？休息了多长 综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融 时间？ 会贯通的学习效果.如图，化学课上用pH (3)她可能在哪段时间休息，并吃午餐？ 表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时 (4)她骑车速度最快是在什么时候？车速 溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性，若 是多少？ 将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下 列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH +距离km) 与所加水的体积V之间对应关系的是… 30 25 20 15 PHt PH 10 5 A 089101112131415时间h) C. 通用通法 (1)实际间题的图象，要将实际间题情 境与函数图象相互转换，从图象的横、 纵两个方向分别获取信息，判断相应的 实际意义，运用数形结合的思想，找到 解题的途径； (2)动点问题的图象，要根据动点的路 径进行分段讨论，分别求出每一段的函 数解析式和自变量的取值范围，再根据 函数类型确定图象， 第10讲 一次函数及其应用 【2022课标要求】 L.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系 数法确定一次函数的表达式. 2.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx十b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象 的变化情况：理解正比例函数，M(3,4)=3+4=7. 故答案为：3,7. 解得=80. y=50. 2超意，得5号8… 答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为 50元. 解得13≤x<16, (4)设购买A种品牌的足球m个，则购买B种品牌的足球 .满足条件的所有整数为13,14,15. (50一m)个， (3)由题意，得[5x-2]十x=1, 依题意，得 .[5r-2]=1-x, /80×0.8m+(50-4)(50-m)≤2750. .1-r5x-2<2-x, m≥23， 解<<号 2 解得23≤m≤25， 又，m为正整数， x十y=m,①D (4)根据规定，可得 .m可以为23.24.25， x一y=21一4m,@ .共有3种购买方案. ①+@得2x=21-3m,即工=21-3m 2 方案1：胸买A种品牌的足球23个，B种品牌的足球27个，所 ①-@得2y=5m-21,即y=5m,2到 需总党用为80×0.8×23+(0-4)×27=2714（元）： 2 方案2：胸买A种品牌的足球24个，B种品牌的是球26个，所 :三元一次方程组的解是正整数， 需总货用为80×0.8×24+(50一4)×26=2732（元）： 21-3m≥1 方案3：购买A种品稗的足球25个，B种品牌的足球25个，所 2 需总童用为80×0.8×25+(50一4)×25=2750（元）： *2714<2732<2750. ·为了节约资金，学校应选择方案1：购买A种品牌的足 -19 球23个，B种品牌的足球27个. .m=5戏6 4.解：(1)设每台甲型设备的价格为x万元.每台乙型设备的 当m=5时，x=3,y=2, 价格为y万元， 当m=6时，x=1.5不特合题意，会去： 依题意，得/3-2y=16 解得=12， 3y-2x=6, y=10. .m=5. 答：每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格 5x一4m>0. 由不等式组《 x+2≤8， 为10万元. “,关于x的不等式组有且仅有2个整数解： (2)设购买m台甲型设备，则购买(10一m)台乙型设各，依 e号c5 题意，得12m十10(10一m)≤110，解得m≤5. 又，m为正签数，.m的最大值为5. 部得5<<孕 答：该公司甲种型号的设备至多购买5台 .m的值是5. 第三模块 函数及其图象 故m的值是5. 3.解：(1)根据方程可知，(T一30)表示的是B品牌足琼的 第9讲函数初步 单价， 【河北中考·考点梳理】 .A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 ①垂直②重合③一一 ④<D>@<①< .例题中被度盖的条件是②， ⑧>⑨<⑩纵①横®横⑧纵y=一x 故答案为②. ⑤每一个G唯一⑦≠®≥0> (2)解方程25.x十50(x-30)=4500. 【自主复习·方法提炼】 解得x=80, 1,解：(1)画图如图所示， ∴.80-30=50（元）. 答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为 5 50元. (3)设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌是球的单价 2 为y元， B 根据题意，得 6-54-3-2-10十23456 r-y=30, (2)当点A,与点A:重合时，A:(3,4) 25.x+50y=4500, A,(-3+m,4). m=6, (4)小莹郊游过程中，各时间段的速度分别为 由B2C,=BC,, 810时，地度为15÷(10-8)=7.5（千米/时）： .B:C=B:C2. 10~10.5时，速度为0： (3)如图，当m=8时，△AB,C1与△A2BC:一边重合， 10.5~一12时，速度约为(30一15)÷(12一10.5)=10（千米/时）： 则BC:与B,C,重合， 12一13时，逸度为0： 13~15时，递度为30÷(15-13)=15（千米/时）： 地骑车速度最快是在13~15时，车递是15千米/时 变式：B I-C (B i(C.) 第10讲一次函数及其应用 6543-2-101146 △AB1C,≌△AzB,C, 【河北中考·考点梳理】 ∠A,=∠A,AC1=A:C. ①y=kx:②增大③减小①一、三⑤二，四@y=kx 在△AC,P和△AC,P中， +b⑦>⑧=⑨<⑩>①=吧<B增大 ∠A1=∠A2, 减小⑤b⑥上⑦下⑧未知的系数9横 ∠A,PC,-∠A:PC, @/y=k:r+h, @> AC=AC:: y=k:x十b2 .△AC1P≌△A,C,P, 【自主复习·方法提炼】 .PA=PA:. 1.解：(1)：一次西数y=kx十b的图象经过点(1.6).（一2,0）， (4),B,(一6+m,0),C(一2十m,0》, 六6=+，解好 k=2, .(一6十m)十（一2十m)=0, 0=-2k+b. b=4, .m=4. ∴.一次函数y=kx十b的解析式为y=2x十4. 当m=4时，点B:,C:的横坐标是正数4的两个不同的平 (2)一次函数y=2x+4. 方根. .当r=0时，y=4,当y=0时，x=一2. 变式：解：(1)如图，线段A1B,即为所求， ,函数图象与x轴的交于点A,与y轴的交于点B, (2)如图.OP即为所求. 点A的坐标为（一2,0），点B的坐标为(0,4)， 故答聚为(-2,0)，(0,4) (3)函数图象如图所示」 B 方+1234 2.解：(1)在这个变化过程中，y是x的函数 -2 -3 (2)能，根据题意，得 -5 y=50-102 1 1 (4)SaMw=20B·0A 答：y与x的函数关系式为y=50一 10, 1 (3)-10r+50≥0且x≥0， =2×4X2 =4. .0≤x≤500， (5)由图象，可得 答：自变量r的取值范国是0≤x≤500 当y<0时，x<一2. (4)当x=200时，y=30: 故答案为x<一2. 当x=320时.y=18. 答：汽车行驶了200km时，油箱中还剩余30L汽油，行驶 （6)由已知，可得2m十1=2，解得m=2 1 了320km时，油箱中还制余18L汽油， 1 3.解：观察题图可知： 北时m一3=立 5 —3——之4、故m—一. (1)小莹到达离家最远的地方是在12时. 2.解：(1)把点(3,0)和点(0，一3)代入一次函数y:=kx+b, (2)10时开始第一次休息：休息了0.5小时， 得 3k十b=0, (3)她可能在12~13时休息，并吃午餐. 6=-3,