第2模块 第8讲 一元一次不等式{组)及其应用 (精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习(河北专用)

第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【2022课标要求】 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质：能用不等式的基本性质对不等式 进行变形：能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一 元一次不等式组成的不等式组的解集；能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式， 解决简单的实际问题.建立模型观念 河北中考考点梳理 考点一、不等式的基本概念及性质 1.不等式的基本概念 (1)不等式的定义 用不等号表示① 关系的式子叫不等式，如2x十√②>0等。 (2)不等式的解、解集 能使不等式成立的② 的值叫不等式的解；满足不等式成立的未知数的③ 的值组成这个不等式的解的④ ,简称不等式的⑤ 2.不等式的性质 (1)不等式的性质1：如果a>b,那么a士c⑥ b±c. (2)不等式的性质2：如果a>b,c>0,那么ac⑦ bc(或⑧ (3)不等式的性质3：如果a>b,c<0,那么ac⑨ bc(或“⑩ 失分警示：应用不等式的性质3时，要注意不等号改变方向. 考点二、一元一次不等式（组）及其解法 1.一元一次不等式定义 含有一个未知数，未知数的次数是① 的不等式，叫作一元一次不等式 2.解一元一次不等式的步骤 (1)去分母：(2)去括号：(3)移项，合并同类项；(4)系数化为1. 失分警示：()在去分母时，注意不要漏来不含分母的项：(2)在最后系数化为1时，要注意不等 号的方向 3.一元一次不等式组 一般地，关于② 个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不 等式组 26 4.一元一次不等式组的解集情况 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况，如表所示：已知0<a<b. 不等式组 数轴表示 解集 般规律 r>a: 3 同大取大 r>b 。于 I<a, 。。 ④ 同小取小 I<b x>a, x<b ò。卡 ⑤ 大小小大中间找 I<a, 品。6 ⑥ 大大小小找不着 x>b 温馨提示：(1)用数轴表示解集时，有等号用实点，无等号用圆图，大于向右拐，小子向左拐： (2)不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，含有字母时，要注意，对字母的取值进行 讨论。 考点三、一元一次不等式的实际应用☆重点 L.关键是找出题目中的不等关系，要着重抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“至少”“至多” “不少于”“最多”等。 2.列一元一次不等式解应用题的步骤 (1)审题：(2)设出未知数：(3)找出不等关系：(4)列出不等式（组）：(5)解不等式（组）：(6)检 验并写出答案。 自主复习，方法提炼 L.定义一种新运算“a☆b”为：当a≥b时， ()求m的最小整数解： a☆b=a-b:当a<b时，a☆b=a十b. 例如：3☆（一4）=3-(-4)=7，(-6)☆3 =-6十3=-3. (1)填空：（一5）☆（一4）= (2)若(3x-2)☆(2-x)=6,求x的值； (3)若(2m+1)☆(m-2)>2, (1)求m的取值范围： (ⅱ)在数轴上表示m的取值范围； 27 通用通法 通用通法 求不等式的解集，系数化为1时不等式 根据给定解集或整数解确定待定系数 的两边除以负数，不等号的方向要改 的取值范围的步骤： 变，解不等式（组）求解集的方法有两 (1)将待定系数看作常数，分别求出不 种：口诀法和数轴法.在数轴上表示解 等式组中各个不等式的解集： 集时要注意“空心”圆圈与“实心”圆点 (2)结合所提供的解集或整数解，依据 的区别 不等式解集的确定方法，得出待定字母 2.阅读理解： 的大致范围： 材料一：对于任意实数a,我们规定[a]表 (3)验证特殊值（即临界点）是否满足要 示不大于a的最大整数.例如：[一1.4] 求，得出最后答案 -2,[5.7]=5,[3]=3. 3.(2024福建漳州模拟)下面是某数学兴趣 材料二：对于任意实数x,y,我们定义一种 小组探究用不同方程解决实际问题的讨论 新运算M(x,y)=x十y,等式右边是通常 片段，请仔细阅读，并解决相应的问题。 的四则运算，由这种运算得到的数我们称 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了 之为线性数，记为M(x,y),其中x,y叫 条件的一部分 作线性数的一个数对 (1)[π] ,M(3,4) 中招体育考试足球是非常重要的一个项目， 某中学为此专门开设了“足球大课间活动”， (2)如果 =5,求满足条件的所有整 学校现决定购买A种品牌的足球25个， 数x B种品牌的足球50个，共花费4500元，已 (3)若线性数M([5.x一2]，x)的值为1，求 知 ,求A,B两种品牌足球的单价各多 x的取值范围； 少元 (4)已知关于x,y的二元一次方程M(x, y)=m,M(x,一y)=21一4m,组成的方程 [情境引入] 组的解是正整数，且关于x的不等式组 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品 5.x-4m>0, 牌足球的单价为x元，则列出一元一次方 有且仅有2个整数解，求整 x+2≤8 程：25.x十50(x-30)=4500”. 数m的值. (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是 (填序号)： ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的 单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的 单价高30元 (2)根据所列方程“25x十50(x一30)= 4500”,求A,B两种品牌足球的单价： 28 [迁移类比] 4.(2023河北石家庄新华区一模)每年的6月 (3)小军看了解析后对比发现，二元一次方 5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某 程组能够更直接地表示出等量之间的关 公司决定购买节省能源的新设备，现有甲、 系，从而解决该问题，请你列出方程组并求 乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买 A,B两种品牌足球的单价； 3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16 [拓展探究] 万元：购买2台甲型设备比购买3台乙型 (4)老师在例题的条件下，增设了一个问 设备少花6万元 题：根据需要，学校决定再次购进A,B两 (1)求甲、乙两种型号设备的价格： 种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞 (2)公司决定购买甲、乙两种型号的设备共 “优惠促销”活动，A种品牌的足球单价打8 10台，且该公司经预算决定购买节省能源 折，B种品牌的足球单价优惠4元.若此次 的新设备的资金不超过110万元，你认为 学校购买A,B两种品牌足球的总费用不 该公司甲种型号的设备至多购买几台？ 超过2750元，且购买A种品牌的足球不 少于23个，请通过计算，设计一种符合购 买要求且节约资金的购买方案. 通用通法 列一元一次不等式（组）解应用意步骤： 根据不等关系列出不等式，求出实际问 题的取值范围：或列出不等式组，再求 出其整数解.在方案选择类问题中则根 据整数解确定方案，通常有几个符合条 件的未知数的值就有几种方案 29x-8=0,戏r-4=0, .30-2b=30-20=10(cm).46-4b=46-4×10= 所以x,=8,x:=4. 6(cm). (2)方程有两个实数解 .折成的有盖的长方体收钠盒的长为10m,宽为6m,高 理由如下： 为5cm. b-4ac=(-4t)°-4(31+2t-1)=16t-12r2-8:+4 10>8.6=6,5<7, =42-81+4=4(1-1)2. ,玩具机械狗不能完全放入该收纳盆， 当1=1时，b2一4ac=0,方程有两个相等的实数解： (4)设每个售价为a元，则销售量为[200+20×10(10 当1≠1时，b2一4ac>0,方程有两个不相等的实数解； a)]个，则 缩上所述，方程有两个实数解， (a-4)[200+200(10-a)]=2400, (3)岁r=2时，将x=2代入x2一41x十32十21一1=0可 整理.得a3一15a+56=0. 得4一81+32十21一1=0.整理，得12一21十1=0，解得1 解得a1=7,a:=8, 1.将1=1代入x2-4tx+312+21-1=0,可得x2-4x+ 但是要尽可能诚少库存， 4=0,解得x1=「：=2，故知1的值为1，另一个根也为2. .a=8不符合题意，取a=7, (4)解方程，得x=31一1，或x=1十1， 答：波厂家将售价定为每个7元时，每天的销售利洞为 =n1 2400元. .3t-1=n(t+1),或(+1=n(3t-1), 当3-1=n1+1)时，n=3一十 4 第8讲一元一次不等式（组）及其应用 【河北中考·考点梳理】 n,1为正整数， ①不等②未知数③所有④集合⑤解集⑤> ∴.当1十1=2时，n=1:当1十1=4时，n=2: ⑦>⑧>⑨<⑩<①1②同一Bx>b 当1十1=m(31一1)时，n=t=1,不满足条件，合去。 ④.x<a⑤a<x<b0无解 综上所远，n的值为1或2. 【自主复习·方法提炼】 (5)对于关于x的一元二次方程x2一41x十31十21一1 1.解：(1)由题意，一5<-4. 0.由一元二次方程根与系数的关系，可得x:十x2=, ∴.(-5)☆(-4)=-5十(-4)=-9 x1x2=32+2-1.x1+xi=(x1+x:)2-2xx1= 故答案为一9 1012-4(+2,3(x+x)=10x1x2,.3(101-4t+2) (2)由题意，分两种情形， 10(3+21-10.解得2=， ①当3x一2≥2一x时，即x≥1， 变式1：无实数根变式2：D变式3：一5 (3x一2)☆(2-x)=3r-2-(2-x)=6. 2.解：(1)设剪去的正方形的边长为xcm .x=2.5>1,符合题意. 根据题意列方程为(30一2x)(16一2x)=240, 当3.x一2<2一x时，即x<1, 解得x1=20,x2=3, (3r-2)☆(2-x)=3.x-2+(2-x)=6. 当x=20时，30-2x<0,16-2x<0, ,x=3>1,不符合题意. 所以不符合题盘舍去， 踪上x=2.5. 答：剪去正方形的边长为3cm. (3)(「)由题意，分两种情形 (2)①画出的图形如图所示： ①当2n十1≥m一2时，即m≥一3， (2m+1)☆(m-2)=(2m+1)-(m-2)>2. .m>一1. 故此时m>一1. ②当2m+1<m-2时，即m<-3, ②设剪去的正方形的边长为ycm. (2m+1)☆(m一2)=(2m+1)+(m-2)>2 根据题意可列方程为30×16-2y-2×0y=412, .m>1. 故此时无解。 解得y1=-17(含)，y:=2, 棕上.m>一1. 答：剪去的正方形的边长为2cm, (川)其在数轴上表示为： (3)玩具机械狗不能完全放入孩收钠金，理由如下： 设剪去小长方形的宽为bcm(b<15),别折成的有盖的长 方4方立0十立34方 方体救纳盒的底面长为(30一2h)cm,宽为(46一4b)cm, (m)M的最小整数解为0. 根据题意，得(30-2b)(46一4b)=60。 2.解：(1)规定[a]表示不大于4的最大整数。 整理，得2b2-536+330=0, .[x]=3. 解得b1=10,b:=16.5>15(不符合题意，舍去)， M(r.y)=x+y. M(3,4)=3+4=7. 故答案为：3,7. 解得=80. y=50. 2超意，得5号8… 答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为 50元. 解得13≤x<16, (4)设购买A种品牌的足球m个，则购买B种品牌的足球 .满足条件的所有整数为13,14,15. (50一m)个， (3)由题意，得[5x-2]十x=1, 依题意，得 .[5r-2]=1-x, /80×0.8m+(50-4)(50-m)≤2750. .1-r5x-2<2-x, m≥23， 解<<号 2 解得23≤m≤25， 又，m为正整数， x十y=m,①D (4)根据规定，可得 .m可以为23.24.25， x一y=21一4m,@ .共有3种购买方案. ①+@得2x=21-3m,即工=21-3m 2 方案1：胸买A种品牌的足球23个，B种品牌的足球27个，所 ①-@得2y=5m-21,即y=5m,2到 需总党用为80×0.8×23+(0-4)×27=2714（元）： 2 方案2：胸买A种品牌的足球24个，B种品牌的是球26个，所 :三元一次方程组的解是正整数， 需总货用为80×0.8×24+(50一4)×26=2732（元）： 21-3m≥1 方案3：购买A种品稗的足球25个，B种品牌的足球25个，所 2 需总童用为80×0.8×25+(50一4)×25=2750（元）： *2714<2732<2750. ·为了节约资金，学校应选择方案1：购买A种品牌的足 -19 球23个，B种品牌的足球27个. .m=5戏6 4.解：(1)设每台甲型设备的价格为x万元.每台乙型设备的 当m=5时，x=3,y=2, 价格为y万元， 当m=6时，x=1.5不特合题意，会去： 依题意，得/3-2y=16 解得=12， 3y-2x=6, y=10. .m=5. 答：每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格 5x一4m>0. 由不等式组《 x+2≤8， 为10万元. “,关于x的不等式组有且仅有2个整数解： (2)设购买m台甲型设备，则购买(10一m)台乙型设各，依 e号c5 题意，得12m十10(10一m)≤110，解得m≤5. 又，m为正签数，.m的最大值为5. 部得5<<孕 答：该公司甲种型号的设备至多购买5台 .m的值是5. 第三模块 函数及其图象 故m的值是5. 3.解：(1)根据方程可知，(T一30)表示的是B品牌足琼的 第9讲函数初步 单价， 【河北中考·考点梳理】 .A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 ①垂直②重合③一一 ④<D>@<①< .例题中被度盖的条件是②， ⑧>⑨<⑩纵①横®横⑧纵y=一x 故答案为②. ⑤每一个G唯一⑦≠®≥0> (2)解方程25.x十50(x-30)=4500. 【自主复习·方法提炼】 解得x=80, 1,解：(1)画图如图所示， ∴.80-30=50（元）. 答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为 5 50元. (3)设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌是球的单价 2 为y元， B 根据题意，得 6-54-3-2-10十23456 r-y=30, (2)当点A,与点A:重合时，A:(3,4) 25.x+50y=4500, A,(-3+m,4).